☉江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué) 關(guān)余友

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的始終.最常用的數(shù)學(xué)思想有方程思想、不等式思想、函數(shù)思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法之一，它在高考中占有非常重要的地位，通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.很多數(shù)學(xué)問(wèn)題用此方法來(lái)解，可以達(dá)到化難為易的目的.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視這種思想方法的滲透，從而幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及：（1）考查集合及其運(yùn)算問(wèn)題；（2）考查用函數(shù)圖像解決有關(guān)問(wèn)題（如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等）；（3）考查用向量解決有關(guān)問(wèn)題；（4）考查三角函數(shù)的圖像及其應(yīng)用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合.

一、數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用

在解集合問(wèn)題中要注意圖形與符號(hào)、圖形與文字之間的轉(zhuǎn)譯，充分發(fā)揮圖像在解題中的作用.

例1 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M，N滿足M∩N={1，3}，（CUM）∩N={2}，CU（M∪N）={5}，則集合M=________

分析：集合M，N比較抽象，欲具體考察其關(guān)系有困難，若能借助集合的圖示（文氏圖），就能化抽象為具體，故可作出文氏圖（圖1）加以解決，集合M={1，3，4}.

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

方程或不等式的問(wèn)題常可轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)或位置關(guān)系的問(wèn)題.

分析：圖像法解不等式具有運(yùn)算量小，思維量小，簡(jiǎn)潔明了等優(yōu)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

從圖像中可以觀察出：原不等式的解為：當(dāng)a≥1時(shí)，x≥0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0≤x≤x0（其中x0為y=與y=ax+1的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

三、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

用解析幾何中的重要公式（如斜率、兩點(diǎn)間距離公式、定比分點(diǎn)公式等）與定義來(lái)謀求數(shù)式背景及相關(guān)性質(zhì).

例3 已知圓C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn).

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析：認(rèn)真分析和研究代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用類比聯(lián)想，將已知條件轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，或挖掘出代數(shù)式的幾何意義并使之形象化、具體化是數(shù)形結(jié)合運(yùn)用能力的體現(xiàn).本例中，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線斜率的最值問(wèn)題和直線在y軸上的截距的最值問(wèn)題，并作出相應(yīng)圖像，使問(wèn)題一目了然，迅速獲解.

四、數(shù)形結(jié)合在數(shù)列中的應(yīng)用

解：由任意的n∈N*，都有an≥a8成立，得a8為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng).

分析：以上解法錯(cuò)誤的原因就是對(duì)兩個(gè)函數(shù)的圖形畫(huà)得不準(zhǔn)確，當(dāng)然一般情況下我們也不可能畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形，那怎么辦？就必須借助已知條件所提供的信息.