☉江蘇省興化市戴南高級(jí)中學(xué) 趙亞兵

函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容之一，高考在利用函數(shù)模型處理實(shí)際問(wèn)題方面的考查有上升趨勢(shì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用是高考命題的常見(jiàn)題型.然而三次函數(shù)也已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨(dú)命題.我們通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析發(fā)現(xiàn)：利用三次函數(shù)模型處理實(shí)際問(wèn)題成為近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)之一，題目涉及的三次函數(shù)一般都是以其為載體，通過(guò)其性質(zhì)來(lái)解釋生活現(xiàn)象，主要涉及經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源等社會(huì)領(lǐng)域.筆者以高考試題的解析來(lái)說(shuō)明如何靈活運(yùn)用三次函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)處理實(shí)際問(wèn)題.

高中數(shù)學(xué)中由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的介入，使得研究函數(shù)的性質(zhì)變得簡(jiǎn)捷、易懂，通過(guò)求導(dǎo)可以直接研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，其操作的步驟學(xué)生易掌握，判別的方法也不難.尤其是：當(dāng)f（x）為三次函數(shù)時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)得到的f′（x）為二次函數(shù)，且原函數(shù)的極值點(diǎn)就是二次函數(shù)的零點(diǎn).同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率k=f′（x0），可得到斜率k為關(guān)于x0的二次函數(shù).根據(jù)這些特點(diǎn)，一般三次函數(shù)問(wèn)題，往往可通過(guò)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次方程問(wèn)題，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決.

性質(zhì)1：函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a＞0，當(dāng)Δ≤0時(shí)，y=f（x）是增函數(shù)；

當(dāng)Δ＞0時(shí)，其單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，x1］和［x2+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是［x1，x2］.

若a＜0，當(dāng)Δ≤0時(shí)，y=f（x）是減函數(shù)；當(dāng)Δ＞0時(shí)，其單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x2］和［x1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是［x2，x1］.

性質(zhì)2： 函數(shù)（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈［m，n］，若x0∈［m，n］，且f（x0）=0，則：f（x）max=max{f（m），f（0），f（n）}；f（x）min=min{f（m），f（x0），f（n）}.

下面通過(guò)一道高考試題來(lái)說(shuō)明利用三次函數(shù)性質(zhì)來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題.

（1）求a的值；

（2）若該商品的成品為3元/kg，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.

商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)為：

f′（x）=10 ［（x-6）2+2（x-3）（x-6）］-30（x-4）（x-6）.令f′（x）=0，得x=4.

函數(shù)f（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，在（4，6）上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（4）=42.

當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格x=4時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42元.

點(diǎn)評(píng)與反思：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性從而解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題.第二問(wèn)中，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)=每日的銷(xiāo)售量×銷(xiāo)售該商品的單利潤(rùn)，得出日銷(xiāo)售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值.

總之，利用三次函數(shù)模型處理實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是：先掌握三次函數(shù)的三條性質(zhì)，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，因此，考查三次函數(shù)能把導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)和二次函數(shù)的問(wèn)題巧妙地結(jié)合起來(lái)，具有一定的綜合性和很好的區(qū)分度，所以，全面認(rèn)識(shí)三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對(duì)于備戰(zhàn)高考意義重大，同時(shí)也有助于提高對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路.