☉安徽省長豐縣城關中學 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學 任保平

談談動態(tài)探究型問題

☉安徽省長豐縣城關中學 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學 任保平

探究幾何圖形在運動變化過程中與圖形相關的某些量的變化規(guī)律或其中蘊含的結(jié)論，這類題目叫動態(tài)探究型問題.它主要有以下幾種類型：動點問題、動直線問題、圖形變換問題等.對于動態(tài)幾何探究型問題，要注意用運動和變化的眼光去觀察和研究幾何圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系，并特別關注一些不變量、不變關系和特殊關系，善于化“動”為“靜”，由特殊情形入手，逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知識及各種數(shù)學思想方法加以解決.

題型一 動點問題

1.單動點問題

例1 如圖1，在直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個定點，點B是雙曲線y＝（x＞0）上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大時，△OAB的面積將會（ ）.

A.逐漸增大 B.不變

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析：本題中的不變量有兩個：△OAB中的底OA和反比例函數(shù)y＝中k＝3的值不變，其中的變量是點B的橫、縱坐標，當橫坐標不斷增大時，縱坐標不斷減小，所以相當于△OAB的高不斷減小，在底不變時，這個底邊上的高不斷減小，所以面積也就是不斷減小.

答案：C

點評：對于動態(tài)問題，關鍵是發(fā)現(xiàn)條件中的不變量與變量，抓住反比例函數(shù)中k的值不變這一條件是解決此問題的關鍵.

例2（2012年甘肅蘭州市）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦BC＝2cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC＝60°.若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→B→A的方向運動，設運動時間為t（s）（0≤t＜3），連接EF，當△BEF是直角三角形時，t的值為（ ）.

點評：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形ABC，再根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)，可求出AB的長.△BEF是直角三角形，則有兩種情況：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°.在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數(shù)，即可求得BE的長；由AE＝AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點運動的距離（有兩種情況），從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)，是一道動態(tài)題，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，有一定的難度.

2.雙動點問題

（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變（如圖5）.理由如下：

所以當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關鍵.

題型二 動線問題

例5（2012年廣東珠海市）如圖6①，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒.

點評：本題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想與函數(shù)思想的應用.解答問題時，要求對幾何元素的運動過程有一個完整、清晰的認識，不管點動、線動還是形動，要善于借助動態(tài)思維的觀點來分析，不被“動”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問題來解決，從而找到“動”與“靜”的聯(lián)系，揭示問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)運動中的各個變量之間互相依存的函數(shù)關系，從而找到解決問題的突破口，也就找到了解決這類問題的途徑.

題型三 動圖問題

例6 （2012年四川南充市）如圖7，在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA＝MB.

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）連接OM.證明△AMO S△AMO即可.（2）在Rt△AOB中，運用勾股定理求得AB的長，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題，運用二次函數(shù)的最值求解.

解：（1）如圖8，連接OM.

點評：本題以直角三角形為基本圖形，綜合考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點.考查學生綜合運用數(shù)學知識以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解決問題的能力.對于幾何知識與二次函數(shù)的綜合，是學生解題的難點之一.

例7 如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F.

（1）求證：CE=CF.

（2）將圖9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖10所示，試猜：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結(jié)論.

點評：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)等.證線段相等常用的方法：①全等三角形對應線段相等；②等量代換相等.

例8（2012年貴州省畢節(jié)市）如圖11①，有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′.

（1）如圖11②，將△ACD沿A′C′邊向上平移，使點A與點C′重合，連接A′D和BC，四邊形A′BCD是______形.

（2）如圖11③，將△ACD的頂點A與A′點重合，然后繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A、B在同一直線上，則旋轉(zhuǎn)角為______度；連接CC′，則四邊形CDBC′是______形.

（3）如圖11④，將AC邊與A′C′邊重合，并使頂點B和D在AC邊的同一側(cè)，設AB、CD相交于E，連接BD，四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請說明你的理由.

分析：（1）利用平行四邊形的判定，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可.（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可.（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CB，即可得出答案.

點評：此題主要考查圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識，熟練掌握判定定理是解題的關鍵.

*本文系2011年安徽省六安市教育科學規(guī)劃重點課題（LM11038）“與新課程相適應的學生作業(yè)設計研究”的部分研究成果.