王廣廷

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

設(shè)κn表示n維歐氏空間Rn中凸體的集合.對(duì)于K∈κn，泛函

表示隨機(jī)單形的體積的平均期望，其中V(K)表示K的體積，［x0，x1，…，xn］表示x0，x1，…，xn的凸包的體積.Sylvester問題是：尋找使得S(K，n)取得最大值和最小值的凸體.Blaschke［1］解決了當(dāng)n=2時(shí)的情況，即橢圓是S(K，2)取得最小值的唯一凸體，三角形是S(K，2)取得最大值的唯一凸體.當(dāng)n＞2時(shí)，Groemer［2］證明了橢球是使S(K，n)取得最小值的唯一凸體.尋找使得S(K，n)取得最大值的凸體，至今仍是一個(gè)公開問題.數(shù)學(xué)家們猜想，單形是S(K，n)取得最大值的唯一凸體.

Groemer給出了Sylvester泛函的一個(gè)自然的推廣，他考慮了如下形式的泛函：

Groemer［3］證明了當(dāng) m≥n及 p≥1時(shí)，橢球是使S(K;m，p)取得最小值的唯一凸體.當(dāng)p＞0及m=n時(shí)，Sch?pf［4］得到了相同的結(jié)果.當(dāng)n=2時(shí)，Dalla等［5］證明了三角形可使 S(K;m，1)取得最大值.Giannopoulos［6］證明了三角形是使S(K;m，1)取得最大值的唯一凸體.

對(duì)于K∈κn，支撐函數(shù)hK由下式定義：

式中，〈·〉表示標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積.

設(shè)凸函數(shù)φ：R→［0，∞)，使得φ(0)=0，則φ在(-∞，0］內(nèi)遞減，在［0，∞)內(nèi)遞增.設(shè)函數(shù)φ或者在(-∞，0］內(nèi)嚴(yán)格遞減，或者在［0，∞)內(nèi)嚴(yán)格遞增，用C表示這一族函數(shù).

假定K為Rn中包含原點(diǎn)為其內(nèi)點(diǎn)的凸體，凸體K的Orlicz質(zhì)心體Γφ(K)［7］為Rn中的一個(gè)凸體，其支撐函數(shù)由下式定義：

本工作將研究如下泛函：

并應(yīng)用影子系統(tǒng)［8-9］證明主要定理.給定一個(gè)方向v和任意一個(gè)指標(biāo)集I，使得對(duì)每個(gè)i∈I，ai為Rn中有界子集A中的一個(gè)點(diǎn).沿著方向v的一個(gè)影子系統(tǒng)為Rn中的一族凸體Kt，其定義為

式中，α為定義在I上的有界實(shí)值函數(shù)，t為時(shí)間參數(shù)，t∈［t1，t2］，α(i)為點(diǎn)ai沿v方向的速度函數(shù).

影子系統(tǒng)可以看作是一個(gè)給定集合的連續(xù)變換過程.一個(gè)特殊的影子系統(tǒng)是凸體的Steiner對(duì)稱.此時(shí)，速度函數(shù)α：K→R在每一個(gè)平行于方向v的弦上是常數(shù)，在每個(gè)時(shí)間t，這些弦的并就是Kt，具有這種性質(zhì)的影子系統(tǒng)稱為平行弦運(yùn)動(dòng).平行弦運(yùn)動(dòng)保持體積不變.如果平行弦運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)α：K→R是一個(gè)仿射函數(shù)，即α(x)=〈x，u〉+c，其中u∈v⊥，c∈R，那么對(duì)每個(gè)t，Kt為K的一個(gè)仿射象.

1 A(K)的極值

Rogers等［8］證明了如下引理.

引理1 一個(gè)影子系統(tǒng)的體積V(Kt)是t的凸函數(shù).

Li等［10］證明了如下定理，它在研究泛函A(K)的極值問題中起到重要作用.

引理2 如果{Kt：t∈［0，1］}是沿著方向v的平行弦運(yùn)動(dòng)，則Γφ(Kt)是沿著方向v的影子系統(tǒng)，并且V(Γφ(Kt))是關(guān)于t的嚴(yán)格凸函數(shù)，除非速度函數(shù)α(x)=〈x，u〉.

由式(3)和(4)容易得到如下的引理3.

引理3 A(K)在Hausdorff度量下關(guān)于K連續(xù).

引理4 A(K)是仿射不變的.

證明 設(shè)T∈GL(n)為一個(gè)線性映射，由式(3)可得

式中，TT為T的轉(zhuǎn)置矩陣.另一方面由支撐函數(shù)的定義，有

因此，Γφ(TK)=TΓφ(K).所以

又因?yàn)锳(K)是平移不變的，因此，A(K)是仿射不變的.

定理1 如果Kt：t∈［0，1］是一個(gè)平行弦運(yùn)動(dòng)，則A(Kt)是t的凸函數(shù)，并且A(Kt)是嚴(yán)格凸的，除非速度函數(shù)是一個(gè)仿射函數(shù).

證明 設(shè)平行弦運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為α，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)関，則

設(shè)

則

式中，s(t，x)1取值于 L1(K0).對(duì)每個(gè) x∈K0，{Kt-x-α(x)tv：t∈［0，1］}為具有速度函數(shù)α(·)-α(x)的平行弦運(yùn)動(dòng)，因此，由引理2知，s(t，x)為關(guān)于t的凸函數(shù).

由L1范數(shù)的Minkowski不等式，有引理2表明，上述第一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)α為一個(gè)仿射函數(shù)時(shí)取得，此時(shí)的α(z)-α(x)=〈z-x，u〉，其中u∈v⊥.這時(shí)，s(t，x)為關(guān)于t的常值函數(shù)，上式等號(hào)處處成立.

定理2 在所有的凸體中，A(K)取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)K是一個(gè)橢球.

證明 固定一個(gè)方向v，設(shè)K∈κn為一個(gè)凸體.用K|v⊥表示K在v⊥上的正交投影，則K可以表示為

式中，fv，-gv為定義在v⊥上的凸函數(shù).

凸體K關(guān)于v⊥的Steiner對(duì)稱可以用平行弦運(yùn)動(dòng)描述如下：在式(5)中，取α(x)=-(fv(x|v⊥)+ gv(x|v⊥))，t∈［0，1］;當(dāng)t=0時(shí)，Kt=K;當(dāng)t=1時(shí)，Kt=Kv，其中Kv為K關(guān)于v⊥的反射;當(dāng)t=時(shí)，Kt為K關(guān)于v⊥的Steiner對(duì)稱.

A(K)在K和Kv取得相同的值.由定理1知，在A(K)從K變?yōu)镵的Steiner對(duì)稱的過程中是不增的，并且A(K)是嚴(yán)格遞減的，除非平行弦運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)是一個(gè)仿射函數(shù)，即K的平行與v方向的弦的中點(diǎn)位于一個(gè)超平面上.Petty［11］證明了橢球是具有這種性質(zhì)的唯一凸體.

注意到A(K)是定義在緊集上的連續(xù)函數(shù)，A(K)的最小值存在.由 A(K)的仿射不變性知，A(K)在橢球上取常數(shù)值.

如下的定理3給出了A(K)在n=2時(shí)的最大值.

定理3 當(dāng)n=2時(shí)，在所有凸體中，A(K)取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)K是一個(gè)三角形.

證明 由A(K)的連續(xù)性，只需證明在所有的多邊形中，三角形使A(K)取得最大值.設(shè)P為一個(gè)具有n≥3個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，v1，v2，v3為P的3個(gè)連續(xù)的頂點(diǎn)，u為平行于v1和v3連線的方向，{Pt：t∈［t0，t1］}，t0＜0＜t1為沿著u方向的影子系統(tǒng)，并且Pt在v2的速度為1，在其余頂點(diǎn)的速度為0.如果t和t1充分接近0，則多邊形P中除三角形v1v2v3外，其余均保持不動(dòng).設(shè)［t0，t1］是使Pt，t∈［t0，t1］的面積保持不變的最大區(qū)間.因此，{Pt：t∈［t0，t1］}是平行弦運(yùn)動(dòng)的，且Pt0和Pt1有n-1個(gè)頂點(diǎn).由定理1知，

由于平行弦運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)不是仿射函數(shù)，因此，上述不等式中的不等號(hào)是嚴(yán)格成立的.當(dāng)n＞4時(shí)，重復(fù)上述過程可得，三角形使得A(K)取得最大值.

用類似于定理3的方法，有如下的定理4.

定理4 當(dāng)n=2時(shí)，在所有中心對(duì)稱的凸體中，A(K)取得最大值當(dāng)且僅當(dāng) K是一個(gè)平行四邊形.

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