文/胡曉東 袁亞湘 章祥蓀

中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 100190

1 引言

運(yùn)籌學(xué)是20世紀(jì)三四十年代發(fā)展起來的一門新興交叉學(xué)科。它主要研究人類對(duì)各種資源的運(yùn)用及籌劃活動(dòng)，以期通過了解和發(fā)展這種運(yùn)用及籌劃活動(dòng)的基本規(guī)律，發(fā)揮有限資源的最大效益，達(dá)到總體最優(yōu)的目標(biāo)。從問題的形成開始，到構(gòu)造模型、提出解案、進(jìn)行檢驗(yàn)、建立控制，直至付諸實(shí)施為止的所有環(huán)節(jié)構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)研究的全過程。運(yùn)籌學(xué)研究對(duì)象的客觀普遍性，以及強(qiáng)調(diào)研究過程完整性的重要特點(diǎn)，決定了運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用的廣泛性，它的應(yīng)用范圍遍及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理、工程技術(shù)、國(guó)防安全、自然科學(xué)等各個(gè)方面和領(lǐng)域。

運(yùn)籌學(xué)從創(chuàng)建開始就表現(xiàn)出理論與實(shí)踐結(jié)合的鮮明特點(diǎn)，在它的發(fā)展過程中還充分表現(xiàn)出了多學(xué)科的交叉結(jié)合，物理學(xué)家、化學(xué)家、數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、工程師等聯(lián)合組成研究隊(duì)伍，各自從不同學(xué)科的角度提出對(duì)實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)和見解，促使解決大型復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題的新途徑、新方法、新理論更快地形成。

運(yùn)籌學(xué)主要包含3大部分：模型、理論和算法。無論是早期解決二戰(zhàn)中的兵力部署和武器調(diào)配，還是生產(chǎn)組織問題或交通、通訊問題，相關(guān)領(lǐng)域的運(yùn)籌學(xué)工作者都建立了各種各樣的模型，在這些模型下逐步地建立了比較完整的理論體系，提出了求解相應(yīng)問題的各種類型的算法。

運(yùn)籌學(xué)經(jīng)過60多年的發(fā)展，已經(jīng)逐步形成了一套系統(tǒng)的解決和研究實(shí)際問題的方法，它可以概括為以下幾個(gè)階段：（1）構(gòu)建所關(guān)心問題的數(shù)學(xué)模型，將一個(gè)實(shí)際問題表示為一個(gè)運(yùn)籌學(xué)問題；（2）分析問題（最優(yōu)）解的性質(zhì)和求解的難易程度，尋求合適的求解方法；（3）設(shè)計(jì)求解相應(yīng)問題的算法，并對(duì)算法的性能進(jìn)行理論分析；（4）編程實(shí)現(xiàn)算法，并分析模擬數(shù)值結(jié)果；（5）判斷模型和解法的有效性，提出解決原始實(shí)際問題的方案。這些階段并不是相互獨(dú)立的，也決非依次進(jìn)行的。正如邦德（美國(guó)工程院院士，曾任美國(guó)軍事運(yùn)籌學(xué)會(huì)主席和美國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)主席）[8]在談到他幾十年建模和分析的體會(huì)時(shí)指出的那樣：“對(duì)于模型的開發(fā)應(yīng)該是一種連續(xù)的研究、開發(fā)、分析、改進(jìn)……的過程，是一個(gè)原型化和呈螺旋狀發(fā)展的過程，而不是一個(gè)單個(gè)事件！在短期內(nèi)建造一個(gè)原型（假若有必要，加上一些不切實(shí)際的假設(shè)），然后通過去除那些不切實(shí)際的假設(shè)，增加過程，增加系統(tǒng)等等不斷地將模型改進(jìn)”。

邦德[8]在回顧運(yùn)籌學(xué)在美國(guó)軍事力量的改造中所起的重要作用時(shí)指出：“對(duì)一個(gè)過程、一個(gè)系統(tǒng)或者一個(gè)企業(yè)的建模是一種藝術(shù)。這項(xiàng)藝術(shù)在于確定哪些因素與活動(dòng)需要包含在模型之中，哪些是變量、常數(shù)、隨機(jī)的、約束等；在建立變量之間關(guān)系時(shí)，應(yīng)做些什么假設(shè)；以及在逐步運(yùn)作中，如何排除在建立初始模型時(shí)所引入的是某些不切實(shí)際的假設(shè)。并且，這是一種可以學(xué)習(xí)的藝術(shù)?！毕Ｍ疚哪軐?duì)我國(guó)運(yùn)籌學(xué)的普及、研究、應(yīng)用和發(fā)展有所幫助。

2 運(yùn)籌學(xué)發(fā)展歷程

2.1 運(yùn)籌學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史

樸素的運(yùn)籌思想在中國(guó)古代歷史發(fā)展中源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。公元前6世紀(jì)的著作《孫子兵法》是我國(guó)古代軍事運(yùn)籌思想最早的典籍，研究如何籌劃兵力以爭(zhēng)取全局勝利。同一時(shí)期，我國(guó)創(chuàng)造的輪作制、間作制與綠肥制等先進(jìn)的耕作技術(shù)暗含了現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)中二階段決策問題的雛形。總之，統(tǒng)籌、多階段決策、多目標(biāo)優(yōu)化、合理運(yùn)輸、選址問題、都市規(guī)劃、資源綜合利用等運(yùn)籌思想方法屢見不鮮，但很少有人從數(shù)學(xué)的角度將這些運(yùn)籌思想和方法進(jìn)行提升。

西方科學(xué)家一方面試圖從樸素的運(yùn)籌問題和運(yùn)籌思想中發(fā)展新的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，另一方面又試圖利用已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)概念和方法解決實(shí)際問題。1736年，歐拉用圖論思想成功地解決了哥尼斯堡七橋問題。1738年，貝努利首次提出了效用的概念，并以此作為決策的標(biāo)準(zhǔn)。1777年，布馮發(fā)現(xiàn)了用隨機(jī)投針試驗(yàn)來計(jì)算π的方法，這是隨機(jī)模擬方法（蒙特卡洛法）最古老的試驗(yàn)。1896年，帕累托首次從數(shù)學(xué)角度提出多目標(biāo)優(yōu)化問題，引進(jìn)了帕累托最優(yōu)的概念。1909年，丹麥電話工程師埃爾朗利用概率論，開展了關(guān)于電話局中繼線數(shù)目的話務(wù)理論的研究，開創(chuàng)了排隊(duì)論研究的先河。1912年，策梅洛首次用數(shù)學(xué)方法來研究博弈問題。

現(xiàn)代運(yùn)籌的思想萌芽于一戰(zhàn)時(shí)期，這段時(shí)間人們開始用數(shù)學(xué)的方法探討各種運(yùn)籌問題，只是由于人力不足，資料有限，經(jīng)費(fèi)不足的原因限制了運(yùn)籌學(xué)研究的深度。1915年，哈里斯對(duì)商業(yè)庫存問題的研究是庫存論模型最早的工作。1916年，蘭徹斯特提出了關(guān)于戰(zhàn)爭(zhēng)中兵力部署的理論，這是現(xiàn)代軍事運(yùn)籌最早提出的戰(zhàn)爭(zhēng)模型。1921年，博雷爾引進(jìn)了對(duì)策論中最優(yōu)策略的概念，對(duì)某些對(duì)策問題證明了最優(yōu)策略的存在。1926年，博魯夫卡最早發(fā)現(xiàn)了擬陣與組合優(yōu)化算法之間的關(guān)系。1928年，馮·諾依曼提出了二人零和博弈的一般理論。1932年，威布爾研究了維修問題和替換問題，這是可靠性數(shù)學(xué)理論最早的工作。1939年，康托羅維奇開創(chuàng)性地提出線性規(guī)劃，并據(jù)此模型研究了工業(yè)生產(chǎn)的資源合理利用和計(jì)劃等問題，因而在1975年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。上述這些先驅(qū)性的成就對(duì)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。

現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)起源于20世紀(jì)二戰(zhàn)期間，并因其在軍事作戰(zhàn)方面的大量成功運(yùn)用而得到蓬勃發(fā)展。1935—1938年被視作運(yùn)籌學(xué)基本概念醞釀期。英國(guó)為了有效地運(yùn)用新研制的雷達(dá)系統(tǒng)來對(duì)付德國(guó)飛機(jī)的空襲，在皇家空軍中組織了一批科學(xué)家，進(jìn)行新戰(zhàn)術(shù)試驗(yàn)和戰(zhàn)術(shù)效率研究，并取得了滿意的效果。他們這種工作叫做“Operational Re-search”（我國(guó)翻譯成“運(yùn)籌學(xué)”）。二戰(zhàn)期間英軍每個(gè)大的指揮部大都成立了這種運(yùn)籌研究小組。在美國(guó)和加拿大的軍事部門也成立了若干運(yùn)籌研究小組，稱之為“Operations Research”。他們廣泛地研究有關(guān)戰(zhàn)果評(píng)價(jià)、戰(zhàn)術(shù)革新、技術(shù)援助、戰(zhàn)略決策和戰(zhàn)術(shù)計(jì)劃等問題。

1949年，美國(guó)成立了著名的蘭德公司，與此同時(shí)，許多運(yùn)籌學(xué)工作者逐步從軍方轉(zhuǎn)移到政府及產(chǎn)業(yè)部門進(jìn)行研究。在新的、更廣闊的環(huán)境中，運(yùn)籌學(xué)的理論和應(yīng)用研究得到蓬勃發(fā)展。隨之產(chǎn)生的理論成果主要有線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、圖論、網(wǎng)絡(luò)流、幾何規(guī)劃、非線性規(guī)劃、大型規(guī)劃、最優(yōu)控制理論等；同時(shí)也為歐美等國(guó)創(chuàng)造巨大社會(huì)財(cái)富。

研究?jī)?yōu)化模型的規(guī)劃論，研究排隊(duì)（或服務(wù)）模型的排隊(duì)論（或隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)），以及研究對(duì)策模型的對(duì)策論（或博弈論）是運(yùn)籌學(xué)最早的3個(gè)重要分支，通常稱為運(yùn)籌學(xué)早期的3大支柱。隨著學(xué)科的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，現(xiàn)在分支更細(xì)，名目更多；例如線性與整數(shù)規(guī)劃、圖與網(wǎng)絡(luò)、組合優(yōu)化、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃、對(duì)策論、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)（排隊(duì)論）、庫存論、可靠性理論、決策分析、馬爾可夫決策過程（或馬爾可夫決策規(guī)劃）、搜索論、隨機(jī)模擬、管理信息系統(tǒng)等基礎(chǔ)學(xué)科分支，工程技術(shù)運(yùn)籌學(xué)、管理運(yùn)籌學(xué)、工業(yè)運(yùn)籌學(xué)、農(nóng)業(yè)運(yùn)籌學(xué)、軍事運(yùn)籌學(xué)等交叉與應(yīng)用學(xué)科分支也先后形成。

在運(yùn)籌學(xué)飛速發(fā)展的過程中，至少還有兩個(gè)因素起了非常重要的作用：（1）運(yùn)籌學(xué)方法的實(shí)質(zhì)性改進(jìn)。二次世界大戰(zhàn)以后，許多參加過運(yùn)籌學(xué)小組或者聽說過這項(xiàng)工作的科學(xué)家都對(duì)相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行了更深入的研究。很多歐美國(guó)家的大學(xué)里設(shè)立了運(yùn)籌系、管理科學(xué)系、工業(yè)工程系、系統(tǒng)科學(xué)系，在這些系和數(shù)學(xué)系及計(jì)算機(jī)科學(xué)系開設(shè)了運(yùn)籌學(xué)及其一些分支學(xué)科的課程。（2）現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的誕生、發(fā)展和應(yīng)用。運(yùn)籌學(xué)中的復(fù)雜問題的求解通常需要進(jìn)行大量的計(jì)算工作，借助于計(jì)算機(jī)人們所能完成的計(jì)算工作量要比手工計(jì)算快千百萬倍。計(jì)算機(jī)及相關(guān)軟件的普及更易于人們應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的方法解決實(shí)際問題，從而大大地推動(dòng)了運(yùn)籌學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。比克斯比[8]（美國(guó)工程院院士，曾任數(shù)學(xué)規(guī)劃學(xué)會(huì)主席）在回顧求解線性規(guī)劃的實(shí)際問題的幾十年的發(fā)展歷程時(shí)指出：“計(jì)算機(jī)的進(jìn)步對(duì)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用起到了巨大的作用；我們知道，如果沒有計(jì)算機(jī)的話，那么線性規(guī)劃根本就不可能存在。”

2.2 中國(guó)運(yùn)籌學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史

現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)被引入中國(guó)是在上世紀(jì)50年代后期。中國(guó)第一個(gè)運(yùn)籌學(xué)小組是在錢學(xué)森、許國(guó)志先生的推動(dòng)下，于1956年在中科院力學(xué)所成立。錢學(xué)森先生在麻省理工學(xué)院取得碩士學(xué)位，在加州理工大學(xué)取得博士學(xué)位后成為該校的第一位戈達(dá)德講座教授。許國(guó)志先生在堪薩斯大學(xué)取得博士學(xué)位后，在馬里蘭大學(xué)流體力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所當(dāng)研究員。他們兩人于1955年回到祖國(guó)致力于新中國(guó)的科技事業(yè)?？梢娫谥袊?guó)運(yùn)籌學(xué)一開始就被理解為與工程有密切聯(lián)系的學(xué)科。

1959年，第二個(gè)運(yùn)籌學(xué)部門在中科院數(shù)學(xué)所成立，這是“大躍進(jìn)”中數(shù)學(xué)家們投身于國(guó)家建設(shè)的一個(gè)產(chǎn)物。力學(xué)所小組與數(shù)學(xué)所的小組于1960年合并成為數(shù)學(xué)所的一個(gè)研究室，當(dāng)時(shí)的主要研究方向?yàn)榕抨?duì)論、非線性規(guī)劃和圖論，還有人專門研究運(yùn)輸理論、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和經(jīng)濟(jì)分析（例如投入產(chǎn)出方法）。1963年是中國(guó)運(yùn)籌學(xué)教育史上值得一提的一年，數(shù)學(xué)所的運(yùn)籌學(xué)研究室為中國(guó)科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系的第一屆學(xué)生（58屆）開設(shè)了較為系統(tǒng)的運(yùn)籌學(xué)專業(yè)課，這是第一次在中國(guó)的大學(xué)里開設(shè)運(yùn)籌學(xué)專業(yè)和授課。今天，運(yùn)籌學(xué)的課程已成為幾乎所有大學(xué)的商學(xué)院、工學(xué)院乃至數(shù)學(xué)系和計(jì)算機(jī)系的基本課程了。

50年代后期，運(yùn)籌學(xué)在中國(guó)的應(yīng)用集中在運(yùn)輸問題上。其中一個(gè)代表性工作是研究“打麥場(chǎng)的選址問題”，解決在手工收割為主的情況下如何節(jié)省人力。此外，國(guó)際上著名的“中國(guó)郵路問題”模型也是在那個(gè)時(shí)期由管梅谷教授提出的。可以看出現(xiàn)在非常熱門的“物流學(xué)”，在當(dāng)時(shí)就形成了一些研究雛形，但可惜中國(guó)在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制下，大工業(yè)落后，使我國(guó)在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)遠(yuǎn)離了當(dāng)代“物流學(xué)”的發(fā)展主流。

中國(guó)運(yùn)籌學(xué)早期普及與推廣工作的亮點(diǎn)是由華羅庚先生點(diǎn)燃的。在“文革”期間，他身為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)和中科院數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)，親自率領(lǐng)一個(gè)小組，大家稱為“華羅庚小分隊(duì)”，到農(nóng)村、工廠講解基本的優(yōu)化技術(shù)和統(tǒng)籌方法，使之用于日常的生產(chǎn)和生活中。自1965年起的10年中，他到了約20個(gè)省和無數(shù)個(gè)城市，受到各界人士的歡迎，他的辛勤勞動(dòng)得到了毛澤東主席的肯定和表揚(yáng)。華羅庚先生這一時(shí)期的推廣工作播下了運(yùn)籌學(xué)哲學(xué)思想的種子，大大推動(dòng)了運(yùn)籌學(xué)在中國(guó)的普及和發(fā)展。直到今天，許多中國(guó)人還記得“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”。

自上個(gè)世紀(jì)80年代以來，中國(guó)運(yùn)籌學(xué)有了快速發(fā)展，取得了一批有國(guó)際影響的理論和應(yīng)用成果，他們因在組合優(yōu)化、生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化、圖論和非線性規(guī)劃領(lǐng)域的突出貢獻(xiàn)曾先后獲得國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)4項(xiàng)，因在經(jīng)濟(jì)信息系統(tǒng)評(píng)估和糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)方面取得突出成績(jī)?cè)群螳@得國(guó)際運(yùn)籌學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)運(yùn)籌學(xué)進(jìn)展獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)2項(xiàng)。

2.3 運(yùn)籌學(xué)發(fā)展的動(dòng)力

人類對(duì)物質(zhì)世界的不斷探索及認(rèn)識(shí)和人類社會(huì)進(jìn)步的需求是數(shù)學(xué)最初的、也是其能持續(xù)發(fā)展的核心驅(qū)動(dòng)力，而數(shù)學(xué)自身矛盾的解決和體系的完善是數(shù)學(xué)健康發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。這兩股力量相互作用和促進(jìn)也是運(yùn)籌學(xué)不斷向前發(fā)展的推動(dòng)力。

著名科學(xué)家馮·諾伊曼[6]曾經(jīng)這樣分析這兩股力量對(duì)數(shù)學(xué)的影響：“當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)科走向遠(yuǎn)離其經(jīng)驗(yàn)泉源或更遠(yuǎn)些時(shí)，當(dāng)這門學(xué)科進(jìn)入第二代、第三代，僅能依靠來自‘現(xiàn)實(shí)’思想的間接的啟迪時(shí)，它就會(huì)被很嚴(yán)重的困難所包圍。它變得越來越純審美的，越來越純粹地為藝術(shù)而藝術(shù)的。當(dāng)然，這也不一定是壞事，因?yàn)檫@個(gè)領(lǐng)域可能仍然與那些更接近經(jīng)驗(yàn)的有關(guān)學(xué)科交融著，或者這個(gè)學(xué)科處在具有極高鑒賞能力的人們的影響之下。但是存在著很大的危險(xiǎn)，這個(gè)領(lǐng)域會(huì)沿著最省力的方向再向前發(fā)展，這條發(fā)自源頭的川流會(huì)分道為數(shù)目眾多的無意義的支流，這個(gè)學(xué)科將會(huì)成為既瑣碎又復(fù)雜的一團(tuán)雜亂無章之物。換句話說，在遠(yuǎn)離其經(jīng)驗(yàn)泉源之后，在過于‘抽象的’內(nèi)部繁殖之后，一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科處于退化的危險(xiǎn)之中。不論怎樣，只要到了這個(gè)地步，我認(rèn)為唯一的解決辦法就是使之返老還童，回到其源，回到或多或少的直接經(jīng)驗(yàn)的概念。我確信這樣做是使這門學(xué)科保持新鮮的生命力的必要條件；這一點(diǎn)在未來仍將是正確的”。

著名數(shù)學(xué)家韋爾[6]也曾經(jīng)說道：“當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)分支不再引起除去其專家以外的任何人的興趣時(shí)，這分支就快要僵死了，只有把它重新栽入生氣勃勃的科學(xué)土壤之中才能挽救它”。這實(shí)際上也指出了運(yùn)籌學(xué)研究一旦脫離現(xiàn)實(shí)世界將給其發(fā)展帶來的后果。如何才能使得運(yùn)籌學(xué)保持活力，使其健康發(fā)展呢？美國(guó)的運(yùn)籌學(xué)發(fā)展自始至終處于世界領(lǐng)先地位，他們?cè)谶\(yùn)籌學(xué)的研究和應(yīng)用中所積累的豐富經(jīng)驗(yàn)值得借鑒。庫珀（美國(guó)管理科學(xué)學(xué)會(huì)首任主席）[8]回憶他與查尼斯等人開展線性規(guī)劃在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用時(shí)提到，他們兩位馮·諾伊曼理論獎(jiǎng)獲得者在長(zhǎng)期合作中形成了“應(yīng)用驅(qū)動(dòng)理論”的運(yùn)籌學(xué)研究方法：“首先解決提出的問題并導(dǎo)致成功的應(yīng)用。然后為了完善、擴(kuò)展與推廣這一應(yīng)用去研究文獻(xiàn)。最后將這些進(jìn)一步描述，獲得結(jié)果寫成文章發(fā)表，并且報(bào)告應(yīng)用的結(jié)果；此外轉(zhuǎn)向更進(jìn)一步的應(yīng)用，等等”。

3 運(yùn)籌學(xué)發(fā)展?fàn)顩r

60多年以來，運(yùn)籌學(xué)在研究與解決復(fù)雜的實(shí)際問題中不斷地發(fā)展和創(chuàng)新，各種各樣的新模型、新理論和新算法不斷涌現(xiàn)，有線性的和非線性的，連續(xù)的和離散的、確定性的和不確定性的。至今它已成為一個(gè)龐大的、包含多個(gè)分支的學(xué)科[5]，其中一些已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，另外一些還有待完善，還有一些才剛剛形成。

3.1 數(shù)學(xué)規(guī)劃

數(shù)學(xué)規(guī)劃是在決策變量滿足一定約束下求一個(gè)或多個(gè)函數(shù)的極小值或者極大值。它以大量實(shí)踐中抽象出來的典型最優(yōu)化模型為研究對(duì)象，利用數(shù)學(xué)工具研究這些模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)，構(gòu)造與實(shí)現(xiàn)求解方法，以及將算法應(yīng)用于實(shí)際問題。自從1939年康托羅維奇提出線性規(guī)劃模型、1947年丹齊格提出求解線性規(guī)劃問題的單純形法、卡羅胥和庫恩與塔克先后分別獨(dú)立地給出一般非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件以來，數(shù)學(xué)規(guī)劃得到了快速發(fā)展，形成了多個(gè)分支。

3.1.1 線性規(guī)劃

自1939年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托羅維奇提出線性規(guī)劃問題和1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家丹齊格求解線性規(guī)劃問題的通用方法──單純形法以來，線性規(guī)劃可以說是研究得最為透徹的一個(gè)研究方向。單純形法統(tǒng)治線性規(guī)劃領(lǐng)域達(dá)40年之久，而且至今仍是最好的應(yīng)用最廣泛的算法之一。雖然它在最壞情況具有指數(shù)復(fù)雜性，但在平均意義下已經(jīng)證明是一個(gè)多項(xiàng)式算法。目前，關(guān)于單純形算法的研究主要在于如何選取主元。另一大類算法是內(nèi)點(diǎn)法，它起源于1979年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家卡奇揚(yáng)提出的多項(xiàng)式橢球算法，而因1984年美籍印度裔數(shù)學(xué)家卡瑪卡提出的多項(xiàng)式時(shí)間算法而迅速成為國(guó)際熱點(diǎn)，各式各樣的算法大量涌現(xiàn)：諸如仿射變換法、勢(shì)函數(shù)方法、對(duì)數(shù)罰函數(shù)法、路徑跟蹤法、原始對(duì)偶法、不可行內(nèi)點(diǎn)法等等。目前線性規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)法也趨于成熟，這方面的研究者們目前大都致力于以線性規(guī)劃作為特例的錐規(guī)劃，以及如何利用線性規(guī)劃松弛求解整數(shù)規(guī)劃等方面的研究。然而，就線性規(guī)劃而言，是否存在強(qiáng)多項(xiàng)式算法仍然是一個(gè)重要且困難的理論問題。

3.1.2 非線性規(guī)劃

等式約束規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件可追溯到拉格朗日，一般非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件則歸功于卡羅胥和庫恩與塔克，是他們奠定了非線性規(guī)劃的理論基礎(chǔ)。然而，目前還有不少人試圖在沒有強(qiáng)互補(bǔ)的條件下進(jìn)行理論分析和算法研究。對(duì)偶理論是非線性規(guī)劃理論研究的另一個(gè)重點(diǎn)。在計(jì)算方法方面，早期的方法以最速下降法和牛頓法為主。1959年擬牛頓法的引入和1964年非線性共軛梯度法的出現(xiàn)，吸引了許多研究者研究非線性規(guī)劃。目前，序列二次規(guī)劃算法是一類被用于廣泛求解一般非線性規(guī)劃的有效算法，同時(shí)也還有許多研究者在為改善這類算法努力，其中包括序列線性規(guī)劃算法以及內(nèi)點(diǎn)算法等。非線性規(guī)劃算法通常使用線搜索策略選取步長(zhǎng)，或通過求解信賴域子問題而得到新的迭代點(diǎn)。這兩個(gè)方面的研究非?；荆杂懈纳频目臻g。2001年弗萊徹和勒斐通過將非線性規(guī)劃問題視為雙目標(biāo)問題而提出的濾子方法和2002年鮑威爾提出的基于二次插值的直接法是近些年來兩個(gè)重要的算法進(jìn)展。對(duì)于約束規(guī)劃問題，如何推廣鮑威爾的直接法；對(duì)于大規(guī)模問題，如何設(shè)計(jì)子空間算法；以及如何有效求解一般非線性規(guī)劃的全局最優(yōu)，和一些來自于圖像處理等領(lǐng)域的特殊的非光滑問題是目前非線性規(guī)劃比較重要的研究問題?？傊?，盡管在表面上看非線性規(guī)劃已經(jīng)有許許多多的研究，但由于非線性的存在，好的研究結(jié)果還將會(huì)不斷出現(xiàn)，并且隨著問題的不同而產(chǎn)生更加具有針對(duì)性的特殊算法。

3.1.3 錐規(guī)劃

錐規(guī)劃是線性空間中凸錐上的數(shù)學(xué)規(guī)劃，它是線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的推廣。自上世紀(jì)90年代中期開始，它一直是國(guó)際優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。相關(guān)的研究帶動(dòng)了數(shù)學(xué)規(guī)劃學(xué)科的深入發(fā)展，促進(jìn)了代數(shù)、群論、拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)、非線性分析等分支在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的融合，以及優(yōu)化理論與技術(shù)在工程、交通、經(jīng)濟(jì)與金融、管理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

目前的錐規(guī)劃方面的研究成果主要包括以下4個(gè)方面：（1）二階錐優(yōu)化和半定優(yōu)化。線性二階錐優(yōu)化和半定優(yōu)化已經(jīng)得到了很好的發(fā)展，并且廣泛地應(yīng)用于各種實(shí)際問題。近些年，人們開始致力于非線性二階錐優(yōu)化和非線性半定優(yōu)化的理論與算法研究；（2）對(duì)稱錐優(yōu)化。上世紀(jì)末國(guó)際優(yōu)化專家開始致力于這一領(lǐng)域的研究，主要集中在求解對(duì)稱錐上線性優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)算法方面。近幾年，人們開始探討對(duì)稱錐上的非線性優(yōu)化問題和非凸優(yōu)化問題的理論與各種算法；（3）齊次錐優(yōu)化。齊次錐的理論早在1963年就有相關(guān)研究，但齊次錐優(yōu)化問題的研究最近才開始；（4）雙曲錐優(yōu)化。這方面目前只有很少的理論研究，需要尋求合適的工具開展其理論與算法的研究。

3.1.4 矩陣規(guī)劃

在眾多的科學(xué)領(lǐng)域與社會(huì)經(jīng)濟(jì)中，很多優(yōu)化問題的決策變量是一個(gè)具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣，這樣的優(yōu)化問題被稱為矩陣優(yōu)化或者矩陣規(guī)劃。矩陣規(guī)劃的早期研究可以追溯到1981年，然而真正的研究是在20世紀(jì)90年代，它以被譽(yù)為21世紀(jì)的線性規(guī)劃-半定規(guī)劃為研究起點(diǎn)。至今，線性半定規(guī)劃的理論趨于完善，人們正在發(fā)掘它在實(shí)際中的應(yīng)用。然而，目前的數(shù)值軟件只能有效地求解矩陣維數(shù)小于500的小規(guī)模線性半定規(guī)劃問題，因此，開展大規(guī)模半定規(guī)劃的數(shù)值方法研究是當(dāng)前一項(xiàng)十分迫切而又重要的課題。此外，由著名華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒等人在2006年提出的壓縮傳感理論而引發(fā)的低秩矩陣問題，其理論與算法研究是當(dāng)今優(yōu)化領(lǐng)域與信息科學(xué)領(lǐng)域（例如，信號(hào)處理、圖像恢復(fù)與重建）共同關(guān)心的熱點(diǎn)研究課題。在未來一段時(shí)期里，矩陣（錐）優(yōu)化理論與算法、張量（錐）優(yōu)化理論與算法、多項(xiàng)式優(yōu)化理論與算法研究等方向必將引起人們的關(guān)注。

3.1.5 變分不等式與互補(bǔ)問題

變分不等式與互補(bǔ)問題是一類具有普遍意義的均衡優(yōu)化模型。它不僅為非線性優(yōu)化、極大極小、對(duì)策論、非線性方程、微分方程等提供了一個(gè)統(tǒng)一的理論框架，而且在力學(xué)工程、交通、經(jīng)濟(jì)、管理等實(shí)際部門有廣泛的應(yīng)用?；パa(bǔ)問題首先由丹齊格和科特爾于1963年提出。次年，科特爾在他的博士論文中第一次提出求解它的非線性規(guī)劃算法。變分不等式問題首先由哈特曼和斯塔姆巴切在1966年提出。后來發(fā)現(xiàn)，變分不等式是互補(bǔ)問題的一個(gè)推廣，且其數(shù)學(xué)性質(zhì)和應(yīng)用有驚人的相似之處。所以，它們經(jīng)常在文獻(xiàn)中成對(duì)出現(xiàn)。變分不等式與互補(bǔ)問題被提出后，很快引起了當(dāng)時(shí)運(yùn)籌學(xué)界和應(yīng)用數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注和濃厚興趣，許多人參與了這類問題的研究。經(jīng)過40余年的探索，特別是20世紀(jì)最后10年的研究，人們?cè)诶碚撆c算法方面取得了豐富、系統(tǒng)的成果,并在科技與經(jīng)濟(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。

當(dāng)前主要是對(duì)于廣義變分不等式和錐互補(bǔ)問題的研究，而對(duì)于不確定信息下變分不等式和互補(bǔ)問題的研究無疑是發(fā)展的必然。歸納起來，對(duì)它們的研究可分為理論與算法兩方面：前者主要研究解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性與靈敏度分析以及它們與其他數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系等；后者則主要建立有效的求解方法及相應(yīng)的理論和數(shù)值分析。

3.1.6 整數(shù)規(guī)劃

整數(shù)規(guī)劃是帶整數(shù)變量的最優(yōu)化問題，即求解一個(gè)全部或部分變量為整數(shù)的多元函數(shù)受約束于一組等式和不等式條件的最優(yōu)化問題。整數(shù)規(guī)劃的歷史可以追溯到上世紀(jì)50年代，丹齊格首先發(fā)現(xiàn)可以用0-1變量來刻畫最優(yōu)化模型中的固定費(fèi)用、變量上界、非凸分片線性函數(shù)等。他和富爾克森、約翰遜對(duì)旅行商問題的研究成為后來分支定界法和現(xiàn)代混合整數(shù)規(guī)劃算法的開端。1958年戈莫里發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)一般線性整數(shù)規(guī)劃的收斂算法-割平面方法。隨著整數(shù)規(guī)劃理論和算法的發(fā)展，整數(shù)規(guī)劃已成為應(yīng)用最廣泛的最優(yōu)化方法之一，特別是近年來整數(shù)規(guī)劃算法技術(shù)和軟件系統(tǒng)的發(fā)展和推廣，整數(shù)規(guī)劃得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。

整數(shù)規(guī)劃問題的困難和挑戰(zhàn)來源于3個(gè)方面：一是大部分整數(shù)規(guī)劃問題都是NP-難的，故本質(zhì)上不太可能存在和線性規(guī)劃與凸規(guī)劃一樣有效的算法；二是對(duì)整數(shù)點(diǎn)集合（如多面體格點(diǎn)理論和全單模理論）和整數(shù)變量的函數(shù)在數(shù)學(xué)上缺乏有力的理論和工具；三是實(shí)際問題的規(guī)模往往超過現(xiàn)有算法的求解能力，盡管現(xiàn)有的一些整數(shù)規(guī)劃軟件可以求解任意線性、二次和非線性整數(shù)規(guī)劃問題，但往往不能處理來源于實(shí)際問題的整數(shù)規(guī)劃模型，例如運(yùn)輸和交通中的大規(guī)模0-1混合線性整數(shù)規(guī)劃問題、金融優(yōu)化中的離散約束問題等。整數(shù)規(guī)劃未來發(fā)展方向和關(guān)鍵問題包括：（1）整數(shù)多面體凸包的刻畫；（2）隨機(jī)整數(shù)規(guī)劃；（3）多層整數(shù)規(guī)劃；（4）混合0-1二次整數(shù)規(guī)劃；（5）協(xié)正規(guī)劃；（6）半定整數(shù)規(guī)劃。

3.1.7 動(dòng)態(tài)規(guī)劃

當(dāng)系統(tǒng)模型具備馬爾科夫性，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)可分且嵌套單調(diào)時(shí)，基于貝爾曼提出的最優(yōu)性原理，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃可將求解多階段全局最優(yōu)決策問題分解為一系列在各時(shí)間段上的局部?jī)?yōu)化問題。相比其他解法，特別是在有擾動(dòng)或在隨機(jī)情況下，動(dòng)態(tài)規(guī)劃總能有效地提供一個(gè)在當(dāng)前信息集下的最優(yōu)反饋控制策略。在過去的若干年里，動(dòng)態(tài)規(guī)劃取得了不少可喜的進(jìn)展，特別是它被擴(kuò)展到多目標(biāo)動(dòng)態(tài)規(guī)劃；動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用在本世紀(jì)前后的一個(gè)重大突破是其在海量數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用，特別是人類基因組計(jì)劃完成以后，它成為生物信息學(xué)的一個(gè)基本模型和工具。

然而，在克服被貝爾曼稱之為“維數(shù)災(zāi)”的這一動(dòng)態(tài)規(guī)劃致命弱點(diǎn)方面，至今尚未取得突破性的進(jìn)展。所以尋求克服維數(shù)災(zāi)的有效算法對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃在高維問題中的應(yīng)用具有緊迫性。另外，求解不可分優(yōu)化問題得到的最優(yōu)策略并不滿足最優(yōu)性原理，或不具備時(shí)間一致性，這牽涉到不可分優(yōu)化問題模型本身的合理性，因此怎樣找出一組可分優(yōu)化問題來逼近一個(gè)給定的不可分優(yōu)化問題也對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃發(fā)展具有它顯然的重要性。

3.1.8 向量?jī)?yōu)化

近幾十年來向量?jī)?yōu)化（亦稱多目標(biāo)優(yōu)化）理論研究有了迅猛發(fā)展，在各種解的存在性、穩(wěn)定性以及最優(yōu)性條件等方面獲得了豐富的結(jié)果，并創(chuàng)造性地建立了向量?jī)?yōu)化問題解集的結(jié)構(gòu)定理、連通性定理和稠密性定理，并被應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)問題中。通過向量廣義凸性的研究，很好地處理了一大類非線性向量?jī)?yōu)化問題；通過提出向量變分不等式模型，開拓了研究向量?jī)?yōu)化問題的新方向。由于向量?jī)?yōu)化中衡量向量“大小”的是不完全的偏序，致使大量的向量?jī)?yōu)化問題沒有解，甚至在向量目標(biāo)函數(shù)光滑并有下界的情況下沒有數(shù)值優(yōu)化意義下的近似解。由于任何優(yōu)化問題算法每一步獲得的迭代項(xiàng)都是該優(yōu)化問題的一個(gè)近似解，因此研究向量?jī)?yōu)化問題近似解的存在性以及拉格朗日和卡羅胥-庫恩-塔克等優(yōu)化性條件，仍然是具有基礎(chǔ)性作用的主要問題，也是求解算法的有力保障。分式向量?jī)?yōu)化問題是具有重要經(jīng)濟(jì)意義的數(shù)學(xué)模型，關(guān)于這類模型的求解問題，是今后向量?jī)?yōu)化問題研究的重點(diǎn)。利用次微分，使用變分分析技術(shù)和方法研究非光滑向量?jī)?yōu)化問題，就變分分析和向量?jī)?yōu)化進(jìn)行交叉研究仍將是未來很有生命力的方向。

3.1.9 全局優(yōu)化

全局優(yōu)化是非線性規(guī)劃的一個(gè)分支，主要研究求解非凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)或近似全局最優(yōu)解。由于非凸優(yōu)化問題可能存在多個(gè)不同的局部最優(yōu)點(diǎn)，基于導(dǎo)數(shù)信息的卡羅胥-庫恩-塔克最優(yōu)性條件不再適用于刻畫非凸問題的全局最優(yōu)性，從而，經(jīng)典的局部?jī)?yōu)化方法不能保證收斂到全局最優(yōu)解。全局優(yōu)化較系統(tǒng)的研究始于上世紀(jì)70年代。圖伊和霍斯特是早期全局優(yōu)化研究的先驅(qū)者，他們?cè)诎家?guī)劃的系統(tǒng)研究成果使全局優(yōu)化開始形成一個(gè)真正的學(xué)科。90年代初全局優(yōu)化作為非線性規(guī)劃的一個(gè)分支開始受到廣泛的關(guān)注，越來越多的研究者開始從事該領(lǐng)域的研究，特別是對(duì)一些具有特殊結(jié)構(gòu)的非凸優(yōu)化問題的研究取得了許多突破性的成果，如非凸二次規(guī)劃，非凸多項(xiàng)式規(guī)劃，機(jī)會(huì)約束問題的凸逼近，以及在實(shí)際應(yīng)用中遇到的許多特殊形式的非凸優(yōu)化問題的研究都有很多深刻的研究成果。一些基于分支-定界的全局優(yōu)化通用軟件的發(fā)展及其在優(yōu)化建模系統(tǒng)中的嵌入應(yīng)用使學(xué)術(shù)界和工業(yè)界可以方便地求解一定規(guī)模的非凸問題的全局解。

全局優(yōu)化問題的困難在于非凸性使卡羅胥-庫恩-塔克條件一般不足以保證全局最優(yōu)性，從而我們無法利用局部?jī)?yōu)化算法尋找全局最優(yōu)點(diǎn)。本質(zhì)上，由于導(dǎo)數(shù)是局部性質(zhì)，因而不能期望基于導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)優(yōu)化算法有希望求到全局解，全局算法需要函數(shù)和問題的全局性質(zhì)。目前的數(shù)學(xué)理論很難或無法刻畫一般多元函數(shù)的全局性質(zhì)，這是全局優(yōu)化問題的本質(zhì)困難所在。全局優(yōu)化的未來發(fā)展方向和關(guān)鍵問題包括：（1）凸逼近和凸松弛方法；（2）非凸二次規(guī)劃；（3）基于模擬仿真技術(shù)的全局優(yōu)化算法；（4）特殊結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問題。

除了上面所介紹的9個(gè)分支外,數(shù)學(xué)規(guī)劃在近些年來興起了若干新的分支。例如，近10年來國(guó)際上對(duì)魯棒優(yōu)化，微分方程所控制的優(yōu)化，多項(xiàng)式優(yōu)化，稀疏優(yōu)化的研究相當(dāng)重視，這些新方向的研究十分活躍。在即將舉行的第21屆國(guó)際數(shù)學(xué)規(guī)劃大會(huì)上這些新興的分支都安排了專題報(bào)告。我國(guó)數(shù)學(xué)規(guī)劃工作者，特別是青年科技工作者要充分重視這些新的方向，力爭(zhēng)在國(guó)際上剛剛起步階段參與研究，這樣就有可能很快占領(lǐng)國(guó)際制高點(diǎn)。

3.2 組合優(yōu)化

組合優(yōu)化是20世紀(jì)60年代逐漸發(fā)展起來的一個(gè)交叉學(xué)科分支，它的研究對(duì)象是有限集合上的極值問題。一個(gè)組合優(yōu)化問題由3部分構(gòu)成：已知條件的輸入，可行解的描述，目標(biāo)函數(shù)的定義。經(jīng)典的組合優(yōu)化問題包括網(wǎng)絡(luò)流、旅行商、排序、裝箱、著色、覆蓋、最短網(wǎng)絡(luò)等等。組合優(yōu)化的一個(gè)理論基礎(chǔ)是計(jì)算復(fù)雜性理論，據(jù)此組合優(yōu)化可以分為兩類：P-問題類和NP-難問題類；屬于前者的問題有多項(xiàng)式時(shí)間算法，屬于后者的問題一般認(rèn)為不存在多項(xiàng)式時(shí)間算法，通常采用窮舉法、啟發(fā)式算法和近似算法等方法求解。組合優(yōu)化與圖論、組合學(xué)、數(shù)理邏輯等有密切關(guān)系，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、管理科學(xué)和生命科學(xué)等學(xué)科有廣泛的應(yīng)用。

3.2.1 圖論及算法

1736年歐拉解決了哥尼斯堡的七橋問題，這被公認(rèn)為圖論的第一個(gè)結(jié)果。此后的200多年里，圖論并不被視為是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，圖論的問題通常被看作一類智力游戲。然而，自上個(gè)世紀(jì)30年代始，圖論通過其廣泛的應(yīng)用以及與數(shù)學(xué)其他分支的緊密聯(lián)系日顯其重要性。尤其是，圖論作為計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)之一，在運(yùn)籌學(xué)中扮演著不可或缺的角色，很多非常難解的組合優(yōu)化問題都屬于NP-完全的圖論問題。

在圖論近幾十年的研究中，學(xué)者們?cè)谌〉靡幌盗兄匾晒耐瑫r(shí)，提出了包括整數(shù)流、子圖覆蓋和經(jīng)典拉姆齊函數(shù)的估值在內(nèi)的許多猜想或未解的難題。未來受人關(guān)注的一些課題包括[3]：（1）圖論中大多數(shù)結(jié)果都可以推廣到超圖中（通常推廣方式不止一種），相應(yīng)的超圖問題有很多沒有解決。對(duì)超圖的相應(yīng)性質(zhì)和問題的研究不僅僅可以發(fā)現(xiàn)新的有意義的研究課題，而且還有助于解決圖論中的一些已有問題。（2）對(duì)隨機(jī)圖的一些特殊性質(zhì)的刻畫，特別是隨機(jī)圖在生成的過程中，其結(jié)構(gòu)有時(shí)會(huì)發(fā)生突變，這種變化常常與日常的某種物理現(xiàn)象相關(guān)，對(duì)這種相變現(xiàn)象的研究是非常具有挑戰(zhàn)性的課題。（3）對(duì)超大圖或者無限網(wǎng)絡(luò)的研究將是圖論的一個(gè)新熱點(diǎn)方向。它有廣泛的應(yīng)用背景，其中包括實(shí)實(shí)在在的計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)，無形而無處不在的萬維網(wǎng)，基于因特網(wǎng)的社交網(wǎng)絡(luò)，人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等。對(duì)這些超大圖性質(zhì)的研究，需要新的數(shù)學(xué)工具；引入連續(xù)化方法，讓這些超大圖趨于“無窮”，然后研究其“極限圖”的性質(zhì)，是一個(gè)探索方向。這一方向同目前受到物理學(xué)界、控制論界重視的“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”研究相重合。

3.2.2 近似算法設(shè)計(jì)與分析

近似算法是求解組合優(yōu)化問題的一類多項(xiàng)式時(shí)間算法，它們盡管不能確保對(duì)問題的每一個(gè)實(shí)例都可以求得最優(yōu)解，但是可以保證求得的解的目標(biāo)值與最優(yōu)解的目標(biāo)值相差不多。自上世紀(jì)60年代末格雷厄姆在研究排序問題時(shí)提出第一個(gè)近似算法以后，特別是70年代初庫克首次證明了存在NP-完全問題以來，為各種各樣的組合優(yōu)化問題設(shè)計(jì)近似算法就一直是組合優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向。它主要包括3個(gè)方面：設(shè)計(jì)近似比越來越小的近似算法、設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間越來越短的近似算法、證明近似比的下界或者不可近似性。已有的大量研究主要都集中在第一個(gè)方面，人們先后提出了對(duì)偶、半定規(guī)劃、隨機(jī)算法、平面劃分和次模函數(shù)等技巧。第二方面的工作主要是針對(duì)存在多項(xiàng)式時(shí)間近似方案的NP-難問題，而第三方面的工作主要是利用上個(gè)世紀(jì)90年代阿羅拉等人提出的概率可驗(yàn)證明系統(tǒng)。這一方向中有很多問題有待解決。

3.2.3 組合多面體

給定一個(gè)線性系統(tǒng)，判定其是否定義了一個(gè)整數(shù)多面體、是否為全對(duì)偶整數(shù)系統(tǒng)、是否為盒式對(duì)偶整數(shù)系統(tǒng)，這3個(gè)判定問題是整數(shù)規(guī)劃的核心問題，也構(gòu)成了組合多面體理論的基本內(nèi)容；這是因?yàn)楫?dāng)一個(gè)整數(shù)規(guī)劃實(shí)例是由一個(gè)整數(shù)多面體所定義的，那么它可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解（一般的整數(shù)規(guī)劃是NP-難解的）。包括羅瓦茲、施瓦維爾和埃德蒙茲在內(nèi)的許多著名數(shù)學(xué)家都研究過組合多面體的結(jié)構(gòu)刻畫、計(jì)算復(fù)雜性等相關(guān)問題。另外，由于很多組合優(yōu)化問題都可以非常容易地表示為整數(shù)規(guī)劃問題，因而這些問題也是組合優(yōu)化的重要研究課題。比如，組合優(yōu)化中的一大類問題都可以用超圖中的裝填問題和覆蓋問題來描述；裝填問題是求含有邊數(shù)最多的裝填，而覆蓋問題是求一個(gè)頂點(diǎn)覆蓋其中所有頂點(diǎn)的權(quán)值之和最小。已經(jīng)知道裝填問題和覆蓋問題都是NP-難解的，因此除非P=NP，它們都不存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法。這兩個(gè)組合優(yōu)化問題都可以通過組合多面體的理論和方法研究，特別是：有向圖和無向圖上的圈裝填和覆蓋對(duì)偶關(guān)系以及有向圖上的裝填和反饋集覆蓋對(duì)偶關(guān)系。

3.2.4 生物分子網(wǎng)絡(luò)

生物分子網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)生物學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)和主要研究對(duì)象，因?yàn)閺南到y(tǒng)的觀點(diǎn)看，生命系統(tǒng)是通過基因之間、蛋白之間、代謝物之間以及基因、蛋白質(zhì)、代謝物、環(huán)境與功能和表象之間的相互作用來運(yùn)行的，正是這些相互作用確定了細(xì)胞、組織、器官和生物個(gè)體的動(dòng)態(tài)行為。所以系統(tǒng)生物學(xué)的根本挑戰(zhàn)在于建立完整的、細(xì)致的生物分子間聯(lián)系的描述，并籍此在分子水平及系統(tǒng)的觀點(diǎn)來探索生命機(jī)理，解釋復(fù)雜生命現(xiàn)象。最優(yōu)化理論包括連續(xù)優(yōu)化、組合優(yōu)化和網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等運(yùn)籌學(xué)方法和理論在生物分子網(wǎng)絡(luò)的研究中都起到了重要作用。典型的研究?jī)?nèi)容和問題包括，基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)和蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)建模，從生物進(jìn)化角度出發(fā)的生物分子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)化模型和算法，從高通量生物實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)算法，著眼于功能預(yù)測(cè)與標(biāo)注的基因蛋白功能聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建和分析，以及生物分子網(wǎng)絡(luò)的功能模塊探測(cè)、網(wǎng)絡(luò)比對(duì)等系統(tǒng)生物學(xué)和生物信息學(xué)算法。這些研究可以用于蛋白質(zhì)功能預(yù)測(cè)和注釋，以及進(jìn)一步地為研究某些與特殊疾病相關(guān)的蛋白質(zhì)功能注釋提供有效的工具。

3.3 隨機(jī)最優(yōu)化

隨機(jī)最優(yōu)化問題是特指帶有隨機(jī)因素的最優(yōu)化問題，需要利用概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程以及隨機(jī)分析等工具。所謂的隨機(jī)因素，包括環(huán)境的隨機(jī)因素、控制變量不確定因素、準(zhǔn)則值的不確定因素等等。例如，在考慮水庫優(yōu)化調(diào)度問題的時(shí)候，天然來水一般是三階皮爾遜分布的隨機(jī)變量。在考慮庫存管理問題時(shí)，變動(dòng)的需求常常考慮為外生的隨機(jī)變量。這些都屬于環(huán)境的不確定因素。在排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)速率確定后，真實(shí)的服務(wù)時(shí)間依然是隨機(jī)變化的，這屬于控制變量的不確定因素。使用藥物最終能夠達(dá)到的效果往往不是確定的，評(píng)判最優(yōu)的值函數(shù)在很多問題中也具有不確定性等等。通常人們處理隨機(jī)因素的方式有期望值方法，將隨機(jī)的因素用它的期望值代替，將問題轉(zhuǎn)化為確定性問題考慮。第二種方法是在概率意義下考慮優(yōu)化問題。例如在置信區(qū)間范圍內(nèi)考慮優(yōu)化問題，將問題轉(zhuǎn)換為概率約束或者是機(jī)會(huì)約束的優(yōu)化問題；又例如考慮極大化某些事件的概率問題，也稱為相關(guān)機(jī)會(huì)約束問題。第二種方法相對(duì)于期望值方法的優(yōu)點(diǎn)是考慮到各種風(fēng)險(xiǎn)的影響，缺點(diǎn)是使得問題的處理變得相對(duì)困難。

3.3.1 排隊(duì)論

排隊(duì)論模型被人們廣泛用于半導(dǎo)體生產(chǎn)加工與設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)、交通運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，描述上述類型的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)變得極為復(fù)雜，使得與傳統(tǒng)的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)有很多本質(zhì)的區(qū)別。當(dāng)今人們對(duì)復(fù)雜的隨機(jī)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)關(guān)心的問題有3個(gè)：（1）遍歷性問題，即給定一個(gè)隨機(jī)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)、若網(wǎng)絡(luò)中每一服務(wù)臺(tái)的服務(wù)強(qiáng)度嚴(yán)格小于1，那么描述系統(tǒng)的馬氏過程是不是遍歷？（2）在便利條件下，當(dāng)每一服務(wù)臺(tái)服務(wù)強(qiáng)度趨向于1，描述系統(tǒng)的指標(biāo)如隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間其擴(kuò)散逼近是不是存在？（3）在遍歷的條件下如何找出最優(yōu)的服務(wù)規(guī)則？第一個(gè)問題歸結(jié)為針對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)、找出構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般有效方法，第二個(gè)問題的解決歸結(jié)為具有可料性的動(dòng)態(tài)補(bǔ)問題。

3.3.2 馬氏決策的理論研究

隨著人們對(duì)實(shí)際問題的深入理解，馬氏決策理論的應(yīng)用范疇越來越廣泛。因此，提出的馬氏決策理論問題越來越具有特殊性和廣泛性。研究特殊結(jié)構(gòu)的馬氏決策理論越來越具有重要的意義。例如大規(guī)模對(duì)抗與合作系統(tǒng)的問題、金融監(jiān)管的需求、一般監(jiān)管理論的研究等等，都為馬氏決策理論帶來了新挑戰(zhàn)。非標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則的深入研究是應(yīng)對(duì)這些需求的必要條件，如有超大狀態(tài)空間問題的求解問題、帶有納什均衡的多階段決策問題、帶有適應(yīng)性參數(shù)影響的非時(shí)齊問題等等。這些研究工作對(duì)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的重大問題研究有著重要的幫助。

3.3.3 復(fù)雜系統(tǒng)可靠性理論

現(xiàn)代化技術(shù)和設(shè)備的飛速發(fā)展和更新，使得人們面對(duì)的系統(tǒng)越來越復(fù)雜，而誘發(fā)了許多人們無法理解的現(xiàn)象，例如：利用原來的系統(tǒng)可靠性理論得到的可靠性與實(shí)際系統(tǒng)人們感覺到的完全不同。如何發(fā)展相關(guān)的數(shù)學(xué)分析工具以解釋這些問題就顯得非常重要。在人們已經(jīng)做出的工作中，出現(xiàn)一些有意義研究，例如：功能相依性分析、功能冗余性研究、概率理論的深入研究等等。因此，如何將系統(tǒng)可靠性理論的結(jié)論和方法上升到解決復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題是核心的難點(diǎn)。

3.3.4 軟件可靠性理論

軟件是隨著計(jì)算機(jī)硬件的誕生產(chǎn)生的，其重要程度是不言而喻，現(xiàn)在已經(jīng)成為人們生活中必不可缺的成分，特別是科技水平越高，就越離不開軟件的支持。由于軟件系統(tǒng)的高度復(fù)雜性（其復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于通常的復(fù)雜系統(tǒng)，事實(shí)上，軟件系統(tǒng)往往不是一個(gè)有限的系統(tǒng)了）導(dǎo)致了人們通常在系統(tǒng)可靠性中使用的方法完全無效。人們有必要探索有效的相關(guān)理論，特別是數(shù)學(xué)工具，以有效地研究軟件可靠性問題。事實(shí)上，將軟件可靠性問題與軟件測(cè)試過程結(jié)合是一種有效的方法。一方面，可以有效地指導(dǎo)軟件的測(cè)試過程（目前，用于軟件測(cè)試的費(fèi)用已經(jīng)占到整個(gè)軟件開發(fā)費(fèi)用的50%）；一方面，可以正確地評(píng)估軟件的可靠性。將測(cè)試過程與軟件可靠性分析結(jié)合的過程中，人們發(fā)現(xiàn)必須發(fā)展諸如隨機(jī)過程、排隊(duì)理論、馬氏決策理論以及相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，以適用于分析軟件的問題。

3.3.5 供應(yīng)鏈的優(yōu)化設(shè)計(jì)

隨機(jī)環(huán)境下的復(fù)雜供應(yīng)鏈系統(tǒng)的優(yōu)化與設(shè)計(jì)問題是從管理科學(xué)中提出的數(shù)學(xué)問題。與傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈模型相比，描述系統(tǒng)的隨機(jī)性不再由簡(jiǎn)單的普阿松過程與獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列給出，而由相依的一些高斯過程來刻畫。通常面臨3個(gè)基本數(shù)學(xué)問題：一是如何來找出求解人們所關(guān)心的系統(tǒng)數(shù)量指標(biāo)的一般方法？二是找出這些求解方法之后，基于這些解、如何找出最優(yōu)策略？三是供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)時(shí)，如何找出最優(yōu)的協(xié)調(diào)策略即平衡點(diǎn)。這些問題的解決需要借助隨機(jī)分析、隨機(jī)最優(yōu)控制和博弈論，且根據(jù)模型的自身特點(diǎn)，發(fā)展一套新的數(shù)學(xué)方法和理論。

3.4 其他方向

3.4.1 算法博弈論

現(xiàn)代博弈論起源于上個(gè)世紀(jì)初，以策梅洛、博雷爾和馮·諾依曼等人的工作為代表。二次世界大戰(zhàn)為博弈論的應(yīng)用提供了廣泛的背景，加快了博弈論體系的形成。馮·諾伊曼和莫爾根施特恩在1944年合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》完善了博弈論的數(shù)學(xué)理論，使之系統(tǒng)化和公理化。此外，納什等人也對(duì)博弈論做出了重大貢獻(xiàn)，奠定了非合作博弈的基礎(chǔ)。博弈論的研究對(duì)象與社會(huì)、政治、軍事、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、技術(shù)等很多領(lǐng)域都有密切關(guān)系和廣泛應(yīng)用，一直是運(yùn)籌學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的重要研究熱點(diǎn)。

近20年以來，算法博弈論逐漸成為博弈論的一個(gè)熱點(diǎn)方向。它將一個(gè)系統(tǒng)的形成和運(yùn)行看作一個(gè)博弈過程，假設(shè)規(guī)劃者從整體利益出發(fā)優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)以達(dá)到全局最優(yōu)，但博弈的參與者卻從自身利益出發(fā)，做出自私的行動(dòng)選擇以達(dá)到個(gè)體最優(yōu)；這常常使得系統(tǒng)的實(shí)際性能低于規(guī)劃者期望的全局最優(yōu)。算法博弈論研究的主要問題包括：（1）如何描述和計(jì)算參與者的自私行為所導(dǎo)致的系統(tǒng)性能；（2）如何分析和刻畫博弈中參與者的自私行為與系統(tǒng)整體性能之間的關(guān)系；（3）如何設(shè)計(jì)一個(gè)合理的機(jī)制使得其系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中能夠真正實(shí)現(xiàn)整體利益最大化。算法博弈論的特點(diǎn)是，它不僅僅關(guān)心均衡解和機(jī)制的存在性，還強(qiáng)調(diào)計(jì)算它們的復(fù)雜性，并設(shè)計(jì)有效的算法求出（或者近似）它們。

3.4.2 應(yīng)急管理

應(yīng)急管理主要是研究圍繞非常規(guī)突發(fā)事件的一系列科學(xué)問題。它是本世紀(jì)以來人們十分關(guān)心的熱點(diǎn)問題之一，得到國(guó)際學(xué)術(shù)界和政府有關(guān)管理部門越來越多的關(guān)注。應(yīng)急管理所涉及的突發(fā)公共事件包括，自然災(zāi)害、事故災(zāi)難、公共衛(wèi)生事件和社會(huì)安全事件。它們具有突發(fā)性、緊迫性、弱經(jīng)濟(jì)性、信息不確定性和物資需求量大等特點(diǎn)。目前的研究大都局限在個(gè)案上，缺乏以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的系統(tǒng)理論[2]。事實(shí)上，這種理論的形成已經(jīng)有了雛形，例如：隨機(jī)混雜系統(tǒng)的理論研究工作漸漸成為描述應(yīng)急過程一種有效工具。隨著兩種時(shí)間尺度差異的變大，微觀與宏觀之間的相互影響機(jī)制在這種變化中不斷顯現(xiàn)，而應(yīng)急過程在不同環(huán)境下的差異性變化被有效地刻畫，隨著環(huán)境變化的決策方案的適時(shí)性和有效性可以充分體現(xiàn)。這正是應(yīng)急管理所關(guān)心的核心內(nèi)容，即包括了應(yīng)急事件的發(fā)起，也包括了應(yīng)急事件的發(fā)展，還包括了應(yīng)急事件恢復(fù)的控制等等。另外，將預(yù)備階段的預(yù)案和實(shí)施階段的調(diào)整方案緊密結(jié)合在一起，使預(yù)案在實(shí)際應(yīng)用時(shí)能根據(jù)所得的實(shí)時(shí)信息做出迅速調(diào)整，這種研究非常必要。針對(duì)應(yīng)急管理的不同問題的數(shù)學(xué)模型需研究它們相應(yīng)的求解算法，特別是大規(guī)模問題的快速求解算法的設(shè)計(jì)，也值得重視和深入研究。

3.4.3 統(tǒng)計(jì)和優(yōu)化

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何有效地收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的學(xué)科。它以數(shù)據(jù)為對(duì)象，研究各種實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系，以概率論等為基礎(chǔ)，發(fā)展了一套系統(tǒng)地處理數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)理論和方法。隨著科技進(jìn)步和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我們面臨的數(shù)據(jù)量正以指數(shù)量級(jí)的速度增長(zhǎng)，產(chǎn)生了許多高維數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)和復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。對(duì)這些復(fù)雜數(shù)據(jù)，人們很難依賴直觀對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行判斷，高維復(fù)雜數(shù)據(jù)的有效分析遇到了前所未有的挑戰(zhàn)，這些挑戰(zhàn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了難得的歷史機(jī)遇?，F(xiàn)在經(jīng)常遇到一些復(fù)雜現(xiàn)象中產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，我們對(duì)這些復(fù)雜現(xiàn)象缺乏理解，需要從這些數(shù)據(jù)出發(fā)來尋找和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這就要求開展“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)”的研究。以概率論和隨機(jī)分析為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具、引入最優(yōu)化思想的統(tǒng)計(jì)方法將會(huì)成為一個(gè)發(fā)展方向。

4 運(yùn)籌學(xué)中若干難題

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要”。形成一個(gè)公認(rèn)的科學(xué)難題的過程本身就是科學(xué)研究的一個(gè)結(jié)果，同時(shí)也是開啟新的、未知大門的敲門磚。在許多科學(xué)家看來，科學(xué)難題是科學(xué)進(jìn)步的階梯。隨著一個(gè)又一個(gè)科學(xué)難題的解決，科學(xué)技術(shù)不斷登上新的臺(tái)階，人類文明上升到一個(gè)新的高度。上個(gè)世紀(jì)伊始，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題。在過去的100年里，這些問題激發(fā)了眾多數(shù)學(xué)家的熱情，引導(dǎo)了數(shù)學(xué)研究的方向，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了難以估量的巨大影響。

在運(yùn)籌學(xué)發(fā)展的60多年里，幾代運(yùn)籌學(xué)工作者在運(yùn)籌學(xué)的各個(gè)方向取得了許許多多的成果，應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論和方法奠定了運(yùn)籌學(xué)的基礎(chǔ)，也對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。著名數(shù)學(xué)科普作家卡斯蒂[1]在總結(jié)上個(gè)世紀(jì)意義的重大數(shù)學(xué)成果時(shí)，從眾多的數(shù)學(xué)定理中遴選出了5個(gè)，其中4個(gè)都與運(yùn)籌學(xué)有非常緊密的關(guān)系，它們是：極小極大定理（博弈論），單純形法（線性規(guī)劃），停機(jī)定理（計(jì)算的理論），布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理（博弈論的基礎(chǔ)工具）。

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)就是解決問題的藝術(shù)”。隨著一個(gè)又一個(gè)運(yùn)籌學(xué)難題的解決，新的難題不斷地從新的土壤里破土而出。其中一些不僅僅是運(yùn)籌學(xué)的相關(guān)研究方向的重大問題，也是數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的一些核心問題。在著名數(shù)學(xué)家斯米爾[4]給出的本世紀(jì)18個(gè)數(shù)學(xué)難題中，其中以下4個(gè)就與運(yùn)籌學(xué)相關(guān)：（1）“P是否等于NP”，也被列為本世紀(jì)的7個(gè)數(shù)學(xué)難題之一；（2）單變量多項(xiàng)式整解的個(gè)數(shù)；（3）可描述價(jià)格調(diào)整的一般均衡理論的數(shù)學(xué)模型；（4）實(shí)系數(shù)線性規(guī)劃是否多項(xiàng)式時(shí)間可解。

以下12個(gè)問題是運(yùn)籌學(xué)相關(guān)方向具有一定代表性的未解難題[7]：（1）凸多面體的d-步猜想；（2）有限多個(gè)二次函數(shù)最大值的極小化問題；（3）推廣的Lax猜想；（4）DFP擬牛頓法的收斂性；（5）最小阻力凸體問題；（6）是否存在求解性線性規(guī)劃的強(qiáng)多項(xiàng)式時(shí)間算法？（7）組合優(yōu)化反問題的計(jì)算復(fù)雜性；（8）求解旅行商問題的更好的近似算法；（9）k-服務(wù)器猜想；（10）裝箱問題是否存在絕對(duì)近似算法；（11）隨機(jī)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的遍歷性；（12）PH-分布的最小表示。

顯然，運(yùn)籌學(xué)未解的難題遠(yuǎn)不止上述這些。特別是，這些問題在運(yùn)籌學(xué)的各個(gè)分支之間的分布不平衡，個(gè)別方向甚至未能得到反映；它們對(duì)運(yùn)籌學(xué)的理論及應(yīng)用的意義和重要性各不相同，難易程度也有千差萬別。有興趣的讀者可以在此基礎(chǔ)上開展研究，也可以提出和研究其他有意義的問題。畢竟發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展進(jìn)程。

5 運(yùn)籌學(xué)發(fā)展態(tài)勢(shì)

社會(huì)進(jìn)步的需要就是學(xué)科發(fā)展的泉源。從數(shù)學(xué)幾千年來發(fā)展的歷程來看，從埃及因土地測(cè)量而引發(fā)的關(guān)于初等幾何圖形的考慮、直至歐幾里德的《幾何原本》的完成，以及隨之而來的亞歷山大城的博物館的衰落，可以視為農(nóng)業(yè)時(shí)期的數(shù)學(xué)；而再?gòu)目坍嬤B續(xù)變化狀態(tài)而產(chǎn)生的微積分學(xué)的出現(xiàn)到19世紀(jì)中葉，經(jīng)典數(shù)學(xué)趨于完善，可以看成是工業(yè)革命時(shí)期的數(shù)學(xué)[6]；上個(gè)世紀(jì)隨著計(jì)算機(jī)的誕生及信息科技的飛速發(fā)展，逐漸形成以離散結(jié)構(gòu)為對(duì)象的信息時(shí)代的數(shù)學(xué)。

本世紀(jì)隨著生物科技的日新月異的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化，可以預(yù)測(cè)在探索生命和社會(huì)發(fā)展規(guī)律的過程中將形成嶄新的數(shù)學(xué)。而運(yùn)籌學(xué)將在這一過程中，起到重要作用，并形成新的交叉領(lǐng)域與學(xué)科增長(zhǎng)點(diǎn)。

5.1 運(yùn)籌學(xué)與生命科學(xué)的交叉

這里所指的生命科學(xué)包括生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和藥物學(xué)等。傳統(tǒng)的生命科學(xué)和其他自然科學(xué)如物理學(xué)相比，更多地關(guān)注于定性的研究，而不是定量的研究。但是這種現(xiàn)象正在迅速改變。20世紀(jì)中期，隨著蛋白質(zhì)空間結(jié)構(gòu)的解析和DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)，形成了以遺傳信息載體核酸和生命功能執(zhí)行者蛋白質(zhì)為主要研究對(duì)象的分子生物學(xué)。而21世紀(jì)初人類基因組計(jì)劃的完成，標(biāo)志著生命科學(xué)研究進(jìn)入了一個(gè)嶄新的后基因組時(shí)代，其特征和標(biāo)志包括：高通量生物技術(shù)的成熟應(yīng)用、大型生物數(shù)據(jù)庫的建立、從單個(gè)的組學(xué)（如基因組學(xué)、蛋白質(zhì)組學(xué)等）到系統(tǒng)生物學(xué)的研究方法等。

運(yùn)籌學(xué)已經(jīng)逐步應(yīng)用到生物信息學(xué)和系統(tǒng)生物學(xué)等諸多新興的生命科學(xué)研究領(lǐng)域，發(fā)揮著重要的作用。目前在生命科學(xué)中得到廣泛應(yīng)用的運(yùn)籌學(xué)分支有：圖論與組合數(shù)學(xué)、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等。例如，基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的序列比對(duì)算法是目前最重要的生物信息學(xué)基本工具之一。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃在蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)比對(duì)和結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)中作為重要工具經(jīng)常使用。另一方面，現(xiàn)代生命科學(xué)對(duì)運(yùn)籌學(xué)理論和方法提出了新的需求和巨大的挑戰(zhàn)。例如基因組學(xué)和蛋白質(zhì)組學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多涉及求解總體極值和大規(guī)模變量的問題，促進(jìn)了啟發(fā)式算法和近似算法的研究。生命科學(xué)的迅猛發(fā)展和對(duì)運(yùn)籌學(xué)理論與方法的巨大需求，吸引了大量的運(yùn)籌學(xué)家加入了運(yùn)籌學(xué)與生命科學(xué)交叉領(lǐng)域的研究。運(yùn)籌學(xué)理論和方法在生命科學(xué)的研究中越來越普遍和重要，而運(yùn)籌學(xué)本身也從中得到了發(fā)展的動(dòng)力。

運(yùn)籌學(xué)是一門“優(yōu)化的科學(xué)（Science of Better）”，而生命的進(jìn)化過程本身就是一個(gè)自然選擇和遺傳優(yōu)化的過程，所以許多生命科學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型都與優(yōu)化有關(guān)。而且這些模型大多是NP-難的，所以近似算法和啟發(fā)式算法的研究在這方面起到重要的作用。生命科學(xué)被稱為21世紀(jì)的科學(xué)，從過去10年的發(fā)展可以預(yù)見，未來的30年將是生命科學(xué)飛速發(fā)展的時(shí)期。在日新月異的現(xiàn)代生物實(shí)驗(yàn)和醫(yī)學(xué)技術(shù)的幫助下，生物學(xué)家和醫(yī)學(xué)工作者對(duì)生命和疾病的過程和機(jī)制的了解將越來越深刻，生命科學(xué)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型也會(huì)越來越多。運(yùn)籌學(xué)工作者應(yīng)該抓住這個(gè)難得的機(jī)會(huì)，使運(yùn)籌學(xué)成為未來30年中生命科學(xué)研究的主要工具之一。

與運(yùn)籌學(xué)發(fā)展早期的工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域類似，未來30年生命科學(xué)領(lǐng)域與運(yùn)籌學(xué)的聯(lián)系將越來越緊密。運(yùn)籌學(xué)不僅可以幫助生命科學(xué)研究人員建立從微觀（基因、蛋白、細(xì)胞器、細(xì)胞）到宏觀（組織、器官、物種）的數(shù)學(xué)模型，幫助生命科學(xué)研究人員更好、更合理地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和改進(jìn)技術(shù)，還可以通過模型優(yōu)化來更好地探尋生命科學(xué)中的規(guī)律和機(jī)制，更好地為人類健康服務(wù)。

運(yùn)籌學(xué)與生命科學(xué)的交叉研究將更加全面和深入。首先，除了已經(jīng)在生命科學(xué)中得到廣泛應(yīng)用的分支（如線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等）將繼續(xù)得到重視，運(yùn)籌學(xué)的其他分支將找到用武之地。例如隨機(jī)優(yōu)化模型可能用于研究細(xì)胞內(nèi)部的調(diào)控策略和信號(hào)傳導(dǎo)機(jī)制；博弈論可能幫助分子遺傳進(jìn)化研究找到新的突破。其次，運(yùn)籌學(xué)與生命科學(xué)的交叉研究將擴(kuò)展到更多的生命科學(xué)分支領(lǐng)域，例如生命起源的研究、個(gè)性化醫(yī)療中的最優(yōu)醫(yī)療策略等。

最重要的是，與生命科學(xué)的交叉研究可能促進(jìn)新的運(yùn)籌學(xué)理論和方法的出現(xiàn)，甚至產(chǎn)生新的運(yùn)籌學(xué)分支?？赡軐?duì)運(yùn)籌學(xué)發(fā)展產(chǎn)生促進(jìn)作用的因素有很多，例如生命科學(xué)的海量數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算復(fù)雜性的挑戰(zhàn)、現(xiàn)有運(yùn)籌學(xué)模型在描述復(fù)雜生命系統(tǒng)時(shí)的不足、生命系統(tǒng)和其他物理系統(tǒng)的顯著差異、生命過程和生命現(xiàn)象的不確定性和隨機(jī)性等。

此外，系統(tǒng)生物學(xué)尚處在起步階段。它要成為一門獨(dú)立的分支學(xué)問，在未來的30年內(nèi)，需要建立自己的“公理系統(tǒng)”、“基本理論”以及實(shí)驗(yàn)和算法體系，運(yùn)籌學(xué)將在這一過程中起到其獨(dú)特的作用。

5.2 運(yùn)籌學(xué)與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的交叉研究

網(wǎng)絡(luò)科學(xué)是本世紀(jì)剛剛興起的一個(gè)新的交叉學(xué)科。它以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為主要研究對(duì)象，通過對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性的提取和刻畫，探究其所反應(yīng)的復(fù)雜系統(tǒng)的普遍規(guī)律。網(wǎng)絡(luò)科學(xué)是將運(yùn)籌學(xué)的思想和方法應(yīng)用于生命科學(xué)（特別是系統(tǒng)生物學(xué)）的主要橋梁之一。網(wǎng)絡(luò)科學(xué)在過去的10余年間飛速發(fā)展，在計(jì)算機(jī)、社會(huì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都產(chǎn)生了重大影響，已經(jīng)成為研究復(fù)雜系統(tǒng)、解決復(fù)雜性問題的重要理論和方法。例如大量基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)結(jié)構(gòu)（模塊）的分析方法已經(jīng)成為系統(tǒng)生物學(xué)中研究生物功能的基本工具。運(yùn)籌學(xué)的各個(gè)分支，特別是最優(yōu)化方法和圖論已經(jīng)在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中發(fā)揮了重要作用。

今后幾十年內(nèi)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)預(yù)期將有重大的突破，并成為應(yīng)用科學(xué)的主流性分支。運(yùn)籌學(xué)同網(wǎng)絡(luò)理論有著天然的聯(lián)系：運(yùn)籌學(xué)有可能給出網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)方式和描述理論以及分析方法。未來30年網(wǎng)絡(luò)科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)的交叉研究可能在以下兩個(gè)方面有所突破。

（1）網(wǎng)絡(luò)生成模型。隨著各種實(shí)際網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的大量產(chǎn)生，人們對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)基本特征的認(rèn)識(shí)必將深化，對(duì)普適性的網(wǎng)絡(luò)和個(gè)性化的網(wǎng)絡(luò)建立合適的網(wǎng)絡(luò)模型的時(shí)機(jī)將更為成熟。例如生命科學(xué)中，各種生物網(wǎng)絡(luò)迅速積累和擴(kuò)張。在過去10余年間伴隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展，生物網(wǎng)絡(luò)相關(guān)研究已經(jīng)成為系統(tǒng)生物學(xué)研究最基本的部分。但是網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的復(fù)雜性和實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的不確定性都使得刻畫網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生機(jī)制成為重要且極具挑戰(zhàn)性的問題?？梢灶A(yù)見的是，隨著網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的積累和發(fā)展，人們終將認(rèn)識(shí)其產(chǎn)生機(jī)制。運(yùn)籌學(xué)的最優(yōu)化理論、圖論與隨機(jī)運(yùn)籌模型和方法等，將會(huì)在模型的建立與分析中起到無可替代的作用。

（2）網(wǎng)絡(luò)演化特征的刻畫。現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)不斷更新、變化著的復(fù)雜系統(tǒng)。揭示和刻畫網(wǎng)絡(luò)演化的特征對(duì)理解網(wǎng)絡(luò)的功能和結(jié)構(gòu)具有重要的意義。隨著生物技術(shù)與計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，大規(guī)模時(shí)序數(shù)據(jù)的積累將成為可能，如何有效地分析和利用這些數(shù)據(jù)，運(yùn)籌學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)分支將會(huì)為徹底地認(rèn)識(shí)、解決這一問題起到無比重要的作用。

此外，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)目前尚處于實(shí)證研究為主的階段。它要真正成為一門獨(dú)立的科學(xué)分支，必須建立其基礎(chǔ)理論、運(yùn)算理論，以及從目前的實(shí)證地從實(shí)際世界中提煉網(wǎng)絡(luò)模型，發(fā)展到應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論去建立自然界的或技術(shù)性的系統(tǒng)，使其具有特定的性質(zhì)。在這一過程中，運(yùn)籌學(xué)可以成為一個(gè)主要的工具。在這一方面，運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展歷史可以借鑒。在線性規(guī)劃的算法背后，是強(qiáng)有力的對(duì)偶理論；在非線性規(guī)劃算法的后面，是收斂性理論和凸分析理論；在圖論和組合方面，是計(jì)算復(fù)雜性理論。由此構(gòu)成運(yùn)籌學(xué)這門學(xué)科。而網(wǎng)絡(luò)理論勢(shì)必在以后的30年中完成這一過程。

除了上述的兩個(gè)交叉領(lǐng)域，由于任何存在決策的問題都是優(yōu)化問題，任何有參數(shù)需要選取的問題都是運(yùn)籌問題，所以運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用到處可見。運(yùn)籌學(xué)的廣泛應(yīng)用使得它和其他科學(xué)領(lǐng)域的交叉將日益加強(qiáng)。這些交叉不僅為運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用提供了很好的舞臺(tái)，同時(shí)也為運(yùn)籌學(xué)的新興分支的產(chǎn)生和發(fā)展提供了土壤。運(yùn)籌學(xué)與信息領(lǐng)域的交叉是一個(gè)很成功的例子。信息領(lǐng)域中的許多問題，如數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別、圖像處理、分類、信息安全、互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)分析、無線傳感定位問題、多通道通訊干擾最小問題等等都?xì)w結(jié)于運(yùn)籌問題。這些問題極大地推動(dòng)了運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展。

當(dāng)運(yùn)籌學(xué)經(jīng)過60多年的發(fā)展，其理論越來越艱深，應(yīng)用愈來愈廣泛，目前已經(jīng)沒有任何一個(gè)人可以是運(yùn)籌學(xué)所有方向的專家。因而對(duì)未來運(yùn)籌學(xué)的任何一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題的研究，尤其是對(duì)出現(xiàn)在新的學(xué)科交叉領(lǐng)域的重大問題的探索，就更需要一組具有運(yùn)籌學(xué)的不同專長(zhǎng)的人才組成的類似于運(yùn)籌學(xué)發(fā)展初期時(shí)的研究團(tuán)隊(duì)，其中還應(yīng)該包含概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工商管理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、行為科學(xué)等學(xué)科背景的人才，才能做出重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和貢獻(xiàn)。

6 結(jié)束語

本文是對(duì)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展歷程、現(xiàn)狀和態(tài)勢(shì)的一個(gè)概要性的介紹。它不太可能對(duì)運(yùn)籌學(xué)發(fā)展的各個(gè)時(shí)期、每一個(gè)相關(guān)研究方向都有所涉及。我們只是希望能引起從事運(yùn)籌學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域研究、應(yīng)用和教學(xué)的科研人員和教師對(duì)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展有進(jìn)一步的思考，為運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)；讓對(duì)運(yùn)籌學(xué)及相關(guān)學(xué)科感興趣的師生對(duì)這個(gè)學(xué)科有比較全面的了解，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)、應(yīng)用和研究運(yùn)籌學(xué)的問題。

致謝 衷心感謝國(guó)內(nèi)運(yùn)籌學(xué)界的十幾位學(xué)者在本文寫作的過程中給予的大力支持和幫助！

1 John L.Casti,Five Golden Rules:Great Theories of 20th Century Mathematics and Why They Matter,John Wiley&Sons,Inc,1996.（中譯本：二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的五大指導(dǎo)理論：它們?yōu)槭裁粗陵P(guān)重要.葉其孝,劉寶光譯，上海:上海教育出版社，2000.）

2 韓繼業(yè),劉德剛,朱建明.運(yùn)籌學(xué)在應(yīng)急物流中的一些應(yīng)用.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011,28(5):1-6.

3 Lovasz L.Graph theory over 45 years,An Invitation to Mathematics-from competitions to research.Schleicher D and Lackmann M(eds).Springer,2011，85-95.

4 Smale S.Mathematical problems for the next century.The mathematical intelligencer,1998,20(2):7-15.

5 王元,文蘭,陳木法（編輯）.數(shù)學(xué)大辭典.北京：科學(xué)出版社，2010.

6 越民義.關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展之我見.中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊，2011，119:16-25.

7 10000個(gè)科學(xué)難題數(shù)學(xué)編委會(huì).10000個(gè)科學(xué)難題（數(shù)學(xué)卷）.北京：科學(xué)出版社，2009.

8 章祥蓀,劉德剛,章璟等（編輯）.Operations Research 50周年紀(jì)念特刊中文譯本.運(yùn)籌與管理（增刊），2004.