徐文韜，李全偉，李吉驁，周 進，周惠君

（南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京210093）

1 引 言

邁克耳孫干涉儀作為一種高精度的光學(xué)儀器，在實驗中有多種用途．如：測量激光的波長［1］，測量透明材料的折射率［2］，測量溫度場分布［3］，等等．

物理實驗課程中，邁克耳孫干涉儀測量玻璃折射率主要是利用出現(xiàn)白光干涉條紋的零光程條件［4－6］．由放入玻璃片前后出現(xiàn)白光0級干涉條紋的位置，得到增加的光程．再測量玻璃片的厚度，可計算得到玻璃的折射率［7］．然而，這種方法測量透明固體折射率尚有不足：a．用白光調(diào)節(jié)出干涉條紋難度很大；b．所得到的折射率是混合光的折射率，無法得到透明固體介質(zhì)對單色光的折射率．考慮到介質(zhì)色散，誤差不容忽視；c．白光相干長度小，要求待測樣品要盡量薄．

我們研究了實驗中一些特殊現(xiàn)象的成因，并且提出了測量厚透明固體折射率的方法．該方法主要利用在光路中一半視場放入平行待測材料后，對應(yīng)的干涉條紋出現(xiàn)壓縮，調(diào)節(jié)反射鏡，對比不放玻璃板和放入玻璃板條紋陷入和漲出，得到待測透明介質(zhì)的折射率．

2 理論推導(dǎo)

邁克耳孫干涉儀原理如圖1所示，由于補償板的“完美”補償，在普通邁克耳孫干涉儀中，光程差滿足：

式中：n0是空氣的折射率，可近似取n0＝1，dm是M1與M2′之間的距離，θ為入射光線與中心光線的夾角．增加λ／2項時表示考慮半波損失，反之不考慮．為方便起見，本文中將一律忽略λ／2項．

圖1 邁克耳孫干涉儀光路圖

假設(shè)現(xiàn)在邁克耳孫干涉儀兩臂已調(diào)至等光程（Δ＝0），在光臂M1中平行于 M1放置平行玻璃板（厚度為db），如圖2所示，增加的光程為

設(shè)移動動鏡M1（圖2箭頭所指為正方向）距離為dm，這樣兩光臂的光程差為

產(chǎn)生干涉亮條紋的條件應(yīng)為

利用折射定律n sinθ′＝n0sinθ以及基本三角公式，將（4）式化簡，并舍去θ2以上高階小量，可得產(chǎn)生的干涉亮條紋角度θ滿足：

相鄰亮紋之間k相差1，則有：

同時得到不加玻璃片時：

在用激光進行邁克耳孫干涉實驗時，若移動動鏡M1使兩臂光程差縮小，則等傾干涉圓條紋將向內(nèi)縮進；反之，條紋將漲出．

圖2 平行待測樣品對光路的影響

在兩臂調(diào)至等光程的邁克耳孫干涉儀中平行于M1放入玻璃板時，由于玻璃板折射率大于空氣折射率，此時顯然光臂M1的光程大于光臂M2的光程．然而此時移動動鏡M1向內(nèi)（使光程差減少），條紋漲出；向外移動 M1，條紋縮進．出現(xiàn)了與之前不同的規(guī)律．

事實上，在不加玻璃片時

由于θ2?1，這就要求kλ與dm異號，這樣當(dāng)｜dm｜縮小也減小，θ2值變小?θ變小，對應(yīng)條紋縮進；反之，｜dm｜增大，增大增大，對應(yīng)條紋漲出．

加入玻璃片后，由（5）式得

當(dāng)dm增大時，θ2增大，對應(yīng)動鏡M1向內(nèi)時，條紋漲出；dm減小時，θ2減小，對應(yīng)動鏡M1向外運動，條紋縮進．縮進漲出分界點為

3 實 驗

3．1 借助調(diào)定零光程測玻璃對單色光折射率

在用白光調(diào)至零光程出現(xiàn)等傾圓條紋時，平行于M1放入玻璃板（如圖3）恰過干涉條紋的圓心覆蓋一半視場．用激光器（He－Ne，632．8 nm）代替白光照射，視場中左半邊一片紅，右半邊出現(xiàn)等傾干涉圓條紋［如圖4（a）］．向外移動動鏡M1，左邊條紋漲出，右邊條紋縮進．當(dāng)dm＝－（1－1／n）db時，兩邊干涉條紋會拼成1個完整的干涉圓條紋［如圖4（b）］，測量db，讀取dm，則可求出此玻璃對紅光（632．8 nm）的折射率n．

將總厚度為24．491 mm光學(xué)玻璃（3塊冕牌玻璃，厚度分別為：8．141，8．201，8．149 mm）放入光路中．初始調(diào)至零光程時，動鏡位置讀數(shù)為30．267 01 mm；利用 He－Ne激光器并調(diào)節(jié)動鏡使兩半干涉條紋拼成1個完整的干涉圓條紋時．讀數(shù)為34．406 32 mm．這樣，可計算得玻璃板（冕牌玻璃）對紅光（632．8 nm）的折射率為：

圖3 實驗裝置示意圖

圖4 實驗觀測條紋

實驗數(shù)據(jù)如表1所示，由表1得出平均折射率為n＝1．511，查閱文獻［5］得到的冕牌玻璃的折射率對波長656．3 nm 為1．513 89，對波長589．3 nm為1．516 30，符合很好．若近似取1．514為對波長632．8 nm的折射率，得到偏差僅為2×10－3．

表1 實驗數(shù)據(jù)

3．2 只用單色光源測量介質(zhì)對單色光的折射率

上節(jié)中所述方法仍然利用了白光找基準零光程，可以不利用白光，只利用He－Ne激光器測定折射率．

注意對于不同的db，使兩半視場條紋重合移動的dm不同，可以不用調(diào)出確切零光程的位置，只通過測量玻璃板不同厚度時兩半條紋重合的位置（玻璃板由少到多，過程中動鏡只向一個方向移動），位置與玻璃板的厚度應(yīng)有線性關(guān)系，通過對數(shù)據(jù)的擬合可以逆推出初始零光程位置求出玻璃的折射率．相關(guān)實驗數(shù)據(jù)如表2所示，擬合直線如圖5所示，擬合直線與y軸交于點30．294 20，求得的折射率平均值為1．512．不同厚度玻璃板對應(yīng)的圖樣如圖6所示．

表2 利用單色光源測量介質(zhì)折射率

圖5 擬合后曲線

圖6 不同厚度玻璃板時兩邊條紋重合時圖樣

4 討 論

實驗誤差主要來源于兩半條紋重合時位置判定的誤差．結(jié)合實測的實驗裝置數(shù)據(jù)，可對實驗誤差作如下估計：

不考慮測量db帶來的誤差，則

為了更直觀地表現(xiàn)動鏡移動0．01 mm后與原來兩邊條紋重合時的差異，用Zemax進行模擬．采用Zemax中的NSC模式對本實驗進行模擬，所有玻璃材質(zhì)采用K9材料（即冕牌玻璃），2塊補償板厚度為8．000 0 mm，光路中加入的玻璃板厚度為24．000 0 mm，相關(guān)位置參量：

光源（632．8 nm）：（0 mm，0 mm）；分束板的第二面中心：（200 mm，0 mm）；補償板第二面中心：（250 mm，0 mm）；鏡 M2中 心：（300 mm，0 mm）；玻璃板中心：（220 mm，60 mm）．

取K9材料對632．8 nm的光的折射率為1．515 1，根據(jù)文中的理論，動鏡 M1的y軸坐標為104．079 5時，兩邊Δθ2值相等，編寫ZPL程序，兩邊條紋重合（圖7）；在104．089 8附近（改變0．01 mm）微調(diào)，可看出兩邊的差異（圖8）．

圖7 理論模擬圖像

圖8 改變0．01 mm后模擬圖

本實驗方法上有一些不足：一是調(diào)出等傾干涉圓條紋比較困難（保證 M2鏡與 M1完全垂直）；二是實驗中，圓條紋的中心會有小幅移動，需對實驗裝置進行微調(diào)；三是條紋較粗，對于兩半條紋符合要求時的點的判斷較難．

5 結(jié)束語

本文針對邁克耳孫干涉儀實驗中的一些現(xiàn)象進行了分析，解釋了這些現(xiàn)象的成因，并且由此設(shè)計了一種測量透明固體介質(zhì)對單色光的折射率的方法．實驗得到了較為理想的結(jié)果．此方法無需對邁克耳孫干涉儀改裝，并且在一定厚度范圍內(nèi)僅需提高待測透明板的厚度便可提高實驗的精度，可以測量液體的折射率、透明介質(zhì)的色散等．

［1］ 肖文波，何興道，朱泉水，等．利用邁克耳孫干涉儀測量激光波長的誤差分析［J］．實驗室科學(xué)，2010，13（5）：86－87．

［2］ 鄧小燕，喬硚，潘永華，等．邁克耳孫干涉儀中補償板與干涉條紋［J］．物理與工程，2006，16（2）：29－32．

［3］ 溫學(xué)達，劉釗，周惠君，等．利用邁克耳孫干涉儀重建蠟燭火焰溫度場［J］．物理實驗，2007，27（6）：44－47．

［4］ 潘元勝，馮璧華，于瑤．大學(xué)物理實驗第二冊修訂版［M］．南京：南京大學(xué)出版社，2004：137．

［5］ 趙凱華．光學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2004：130－134．

［6］ 馬科斯·玻恩，埃米爾·沃耳夫．光學(xué)原理［M］．楊葭蓀，等譯．北京：電子工業(yè)出版社，2005：278－280．

［7］ 宋立爾．用邁克耳孫干涉儀測量氣體固體折射率［J］．物理實驗，1983，3（6）：272－273．