韓藝隆

(公安海警學(xué)院基礎(chǔ)部 浙江 寧波 315801)

在解決質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，尤其是解決質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，會(huì)用角動(dòng)量L(L=r×mv)處理，這一物理量是通過動(dòng)量p得出的.而對(duì)于處理剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題用到的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是由質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量、動(dòng)能的形式推出的，并總結(jié)出了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的表達(dá)形式;I的引入大大簡(jiǎn)化了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題的處理.

用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，角速度ω，角加速度α，力矩M來處理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題，過程簡(jiǎn)單易懂，容易掌握.這時(shí)，回過頭來，發(fā)現(xiàn)用位移Δr、速度v、加速度a來處理質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)問題就有些繁瑣了，如果能將處理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題的方法引入到質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)問題的研究中，應(yīng)該會(huì)更好一些.

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中衡量物體慣性大小的物理量是質(zhì)量m.在剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中衡量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，它既包含質(zhì)量因素的影響，又包含自身的幾何形狀等因素的影響.其他一些研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題常用的物理量在剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中也都發(fā)生了相應(yīng)的變化：位移Δr變?yōu)榱私俏灰痞う龋俣葀變?yōu)榱私撬俣圈?，加速度a變?yōu)榱私羌铀俣圈恋?下面就通過質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩組公式來具體比較它們之間的一些定理在形式上的不同.

質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)：

角動(dòng)量

L=r×mv

其量值為

L=rmv

動(dòng)能

力矩

M=r×F

其量值為

M=rFt

其中Ft為質(zhì)點(diǎn)所受到的切向分力.

運(yùn)動(dòng)定律(牛頓第二定律)為F=ma

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：

先通過質(zhì)點(diǎn)集的角動(dòng)量表達(dá)形式得出

再得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的情形

可得角動(dòng)量L=Iω

其量值為

L=Iω

動(dòng)能

力矩

M=r×F

其量值為

M=rFt

動(dòng)能定理

運(yùn)動(dòng)定律(轉(zhuǎn)動(dòng)定理)M=Iα

其量值為

M=Iα

通過以上兩組公式的比較，可以發(fā)現(xiàn)，研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與研究剛體運(yùn)動(dòng)的定理雖具有對(duì)稱的形式，但所用的物理量截然不同.那么在它們之間是否可以建立起聯(lián)系，使之具有相同的表達(dá)形式呢？下面將質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式改變一下形式.

角動(dòng)量

L=r×mv

其量值為

L=rmv=rmωr=mr2ω

動(dòng)能

力矩

M=r×F

其量值為M=rFt=rmat=rmαr=mr2α

動(dòng)能定理

而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律，將等式兩邊同時(shí)左叉乘r，可得

r×F=r×ma

其數(shù)值表達(dá)式為

M=rmαr=mr2α

通過這組改變后的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量、動(dòng)能、力矩值的大小以及運(yùn)動(dòng)定律都與mr2有關(guān).筆者在這里做一個(gè)新的嘗試，即認(rèn)為mr2為質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于圓心具有的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，那么上一組表達(dá)式即變?yōu)?/p>

角動(dòng)量L=r×mv

其量值為L(zhǎng)=rmv=rmωr=mr2ω=Iω

動(dòng)能

力矩

M=r×F

其量值為M=rFt=rmat=rmαr=mr2α=Iα

動(dòng)能定理

運(yùn)動(dòng)定律

M=Iα

這便與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式相同了.

在剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中，當(dāng)轉(zhuǎn)軸不經(jīng)過剛體質(zhì)心時(shí)，可以通過平行軸定理來計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I=Ic+md2

Ic為剛體相對(duì)于通過自身質(zhì)心且垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為剛體的質(zhì)量，d為剛體質(zhì)心至轉(zhuǎn)軸的距離.在這里，將質(zhì)點(diǎn)看成是特殊的剛體，只有質(zhì)量，沒有體積(即幾何半徑R=0)，那么質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的所具有的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表述為

其中d=r，r為圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.所以此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就為I=mr2.這與我們上述討論的結(jié)果完全一致.

在此討論過程中，為了便于理解，故選用質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)為例.其實(shí)此結(jié)論同樣可適用于質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)和其他形式的曲線運(yùn)動(dòng)，只不過r的意義應(yīng)為所選的參考點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的速度矢量所在直線的垂直距離，這樣便可把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)統(tǒng)一起來；同時(shí)在學(xué)生頭腦中初步建立起了物理知識(shí)具有對(duì)稱性這一概念，為后面的學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué).北京.高等教育出版社，1998

2 程守株，江之水.普通物理學(xué)(第一冊(cè)).北京.高等教育出版社，1998