張萬軍

(烏魯木齊市教育研究中心 新疆 烏魯木齊 830049)

1 伽利略圓問題

伽利略在其著作《兩種新科學的對話》中曾提出并解決了這樣一個問題.

豎直的墻上劃有一圓，從圓的最高點沿墻壁作斜槽，由最高點同時釋放出三個小球，一個自由落體，兩個沿斜槽無摩擦運動，三個球哪一個先到達圓周[1]？

2 伽利略圓的逆問題

過空間一定點搭建一些斜面，從其頂端釋放小球，若小球同時到達斜面的底端，斜面底端構(gòu)成的曲面是什么形狀？這是伽利略圓的逆問題，下面給出一個解答.

如圖1，O為空間定點，以該點為坐標原點建立坐標系.任意斜面的空間位置可用點P和角度α描述.

圖1

小球從O到P的時間可由下面的方程確定

其中t是定值，且

x=OPsinαy=OPcosα

將OP帶入上面兩式得

利用三角公式，P點的坐標可寫作

此即斜面底端的參數(shù)方程.消去參數(shù)α，得一般方程

3 隱蔽的伽利略圓問題

一質(zhì)點從傾角θ的斜面的上方P點沿一光滑斜槽下降，如圖2所示.欲使此質(zhì)點到達斜面所用時間最短，斜槽與豎直方向的角度是多少？

圖2

如果你感覺到這個問題很像伽利略圓問題，說明你真的很有洞察力.關鍵是如何將這一問題如何轉(zhuǎn)化為伽利略圓問題.

過(最高)點P做一圓，使圓心在豎直方向，且與斜面相切.這樣的圓果然可以做出，步驟從略.

下面這個問題的隱蔽性或許更強一些. 如圖3(a)所示，豎直平面內(nèi)一固定圓，自與其在同一平面再作一光滑直軌道，使一質(zhì)點自P點沿此軌道滑至圓周上所用時間最短.

圖3

這個問題也可以轉(zhuǎn)化為伽利略圓問題.如圖3(b)，過P點作圓與固定圓外切于A點，并使圓的直徑在豎直線上，則PA即為所求軌道.

作圖步驟：

(1)過P作豎直線PC，在上截取PB=r1；(r1是O1的半徑)

(2)連O1B，作連O1B的垂直平分線交BP于O2；

(3)連O1O2交圓O1于A點；

(4)以O2為圓心，以AO2為半徑作的圓O2必與O1外切于A點.PA即為所求軌道[2].

4 更深入的問題

如圖4，過空間兩點有在豎直平面內(nèi)光滑軌道，一條是直線，一條是曲線，起點A和終點B都相同.兩小球同時從起點向下滑落.起點和終點之間的直線只有一條，曲線卻有無數(shù)條.那么，小球沿怎樣的曲線運動才是最快的呢？伽利略于1630年提出了這個問題，當時他認為這條曲線應該是一條圓弧線，可是后來人們發(fā)現(xiàn)這個答案是錯誤的.

圖4

雖然圓弧軌道不是小環(huán)滑下用時最短的軌道，但比沿著直線軌道滑下用的時間短的這個結(jié)論卻是正確的.下面給出一個證明.

如圖5，不失一般性，考慮四分之一圓周.即證明小環(huán)沿四分之一圓弧從A到D的時間小于沿直線A到D的時間[3].

圖5

過A點做圓的切線AC使AC=2R，由伽利略圓的結(jié)論可知，小環(huán)從A到D的時間與A到C時間相等.于是，問題就轉(zhuǎn)化為證明小環(huán)沿圓弧AD運動的時間小于沿直線AC自由下落的時間.

任意取一段微小圓弧，作相關輔助線如圖，其中EF垂直于BG.我們只要比較小環(huán)通過圓心角為2Δθ的微小圓弧和豎直線AC上 與圓弧對應的微小位移Δx所用的時間即可.

從圖中可得

x=2Rtanθ

小環(huán)在E點的速度

小環(huán)通過EF的時間

小環(huán)在小圓弧上的速度

小圓弧長度 Δs=R2Δθ

小環(huán)通過小圓弧的時間

小環(huán)沿圓弧軌道運動的時間比沿直線軌道運動的時間短，小環(huán)沿怎樣的曲線軌道運動，時間最短呢？現(xiàn)在我們知道，小環(huán)沿著所謂最速降線滑下，時間最短.

5 最速降線

1696年，瑞士數(shù)學家約翰·伯努利再次提出了最速降線問題并給出了正確解答.他還拿這個問題向其他數(shù)學家提出了公開挑戰(zhàn).最后，牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題.求出的最速降線是旋輪線.

旋輪線可以這樣得到.找一個大點的瓶蓋，在瓶蓋的邊上鑿一孔，穿過孔固定一枝鉛筆，當瓶蓋貼近墻壁沿水平地面滾動時，鉛筆便會在墻壁上畫出一條旋輪線來.

有意思的是，旋輪線與1673年惠更斯、帕斯卡等科學家討論的擺線竟然是相同的，可是他們誰也沒有想到這還是一條最速降線.因為在擺線限制下，鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間嚴格地和振幅無關，所以擺線(旋輪線)又稱等時曲線.

1744年，數(shù)學家萊昂哈德·歐拉(約翰·伯努利的學生)給出了這類問題的普遍解法，由此產(chǎn)生了變分法這一新的數(shù)學分支[4].

最速降線在建筑中有著美妙的應用.我國古建筑中的“大屋頂”，從側(cè)面看上去，“等腰三角形”的兩腰不是線段，而是兩段最速降線.按照這樣的原理設計，在夏日暴雨時，可以使落在屋頂上的雨水，以最快的速度流走，從而對房屋起到保護的作用.

參考文獻

1 高希堯.世界數(shù)學歷史名題一百例. 西安：陜西青年雜志社 ,1980

2 牛金生.用幾何方法解力學題二例.大學物理，1986(2)，34～35

3 舒幼生.奧林匹克物理.長沙：湖南教育出版社，1993

4 解延年，尹斌庸.數(shù)學家傳.長沙:湖南教育出版社，1987