王運(yùn)淼

(北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院 北京 100035)

多年來(lái)，高中《物理》教科書中在講“平拋運(yùn)動(dòng)”之前，總是先介紹“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”，然后再用這種方法研究平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．可是2007年以后的人教社課標(biāo)教科書《物理·必修2》中卻干干凈凈地刪掉了“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”這部分內(nèi)容，這是為什么呢？另外，在研究“波的疊加”時(shí)，字里行間透露出來(lái)的是“波的獨(dú)立傳播原理”和“波的疊加原理”的內(nèi)容．那么，“波的疊加原理”和“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”之間又有什么關(guān)系呢？

1 “運(yùn)動(dòng)的合成與分解”和“波的疊加原理”

在高中《物理》教科書中介紹“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”時(shí)，常常以船渡河或類似的實(shí)例、實(shí)驗(yàn)引入.

船渡河的運(yùn)動(dòng)可以看作是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)組成的．如圖1所示，假如河水不流動(dòng)，而船在靜水中沿AB方向行駛，那么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間輪船將從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)；假如船沒(méi)有開(kāi)動(dòng)，而河水流動(dòng)，那么船被河水沖向下游，經(jīng)過(guò)相同一段時(shí)間，船將從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A′點(diǎn)；現(xiàn)在船在流動(dòng)的河水中行駛，同時(shí)參與上述兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)這段時(shí)間將從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B′點(diǎn)．船從A點(diǎn)到B′點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就是上述兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．

圖1

已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的合成；反過(guò)來(lái)，已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)叫做運(yùn)動(dòng)的分解．

而后進(jìn)一步指出，一些常見(jiàn)的曲線運(yùn)動(dòng)往往可以分解為兩個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng)，分別研究這兩個(gè)方向上的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，弄清楚作為分運(yùn)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，就可以知道作為合運(yùn)動(dòng)的曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這是研究曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法．

在講到“波的疊加”時(shí)，通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)總結(jié)出：幾列波相遇時(shí)能夠保持各自的運(yùn)動(dòng)特征(頻率、波長(zhǎng)、振幅和振動(dòng)方向)不變，繼續(xù)傳播，就像沒(méi)有跟其他波相遇一樣(這被稱為波的獨(dú)立傳播原理)．在幾列波相遇的區(qū)域里，介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這幾列波引起的振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的位移等于這幾列波單獨(dú)傳播時(shí)引起的位移的矢量和(這個(gè)結(jié)論稱為波的疊加原理).

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”和波動(dòng)問(wèn)題中的“波的疊加原理”都是描述運(yùn)動(dòng)的物理量，如位移、速度等在運(yùn)動(dòng)疊加時(shí)所服從的原理，具有理論上的一致性，不妨統(tǒng)稱為“運(yùn)動(dòng)疊加原理”．

2 “運(yùn)動(dòng)疊加原理”的條件

在所有高中《物理》教科書中，對(duì)“波的疊加原理”成立的條件比較明確，這就是幾列波相遇時(shí)保持各自的特征獨(dú)立傳播(波的獨(dú)立傳播原理)．多數(shù)高中《物理》教科書在介紹“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”時(shí)指出，當(dāng)物體同時(shí)參與多個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)分運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度遵守各自的力學(xué)規(guī)律，相互獨(dú)立．

由此看來(lái)，“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的條件是各個(gè)分運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立進(jìn)行．

不過(guò)，把一個(gè)比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)(或多個(gè))分運(yùn)動(dòng)時(shí)，分運(yùn)動(dòng)是不是一定相互獨(dú)立呢？下面，結(jié)合一些具體的實(shí)例看一看．

2.1 不計(jì)空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)

以“平拋運(yùn)動(dòng)”為例．在研究平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以把平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)．這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是不是相互獨(dú)立的呢？

如圖2(a)所示，用小錘打擊彈性金屬片，A球水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，B球被松開(kāi)做自由落體運(yùn)動(dòng)．無(wú)論A球的初速度大小如何，也無(wú)論兩球開(kāi)始距地面的高度如何，A球總是與B球同時(shí)落地．圖2(b)是一幅平拋物體與自由落體對(duì)比的頻閃照片．

(a) (b)

圖2所示的實(shí)驗(yàn)可以表明，水平方向的分運(yùn)動(dòng)與豎直方向的分運(yùn)動(dòng)互不影響，是相互獨(dú)立的．平拋運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

2.2 空氣阻力與速度成線性關(guān)系的拋體運(yùn)動(dòng)

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度v0水平拋出，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力mg和空氣阻力f=-kv作用，那么該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

如果將該運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，那么

(2)

(3)

可見(jiàn)，方程(2)中沒(méi)有vy，方程(3)中沒(méi)有vx，也就是說(shuō)，每個(gè)方向的方程都不包含另一個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)分量．那么，可以分別獨(dú)立地解這兩個(gè)微分方程，得到vx(t)和vy(t)，再通過(guò)積分就可以求得x(t)和y(t)．這說(shuō)明水平方向的分運(yùn)動(dòng)與豎直方向的分運(yùn)動(dòng)互不影響，是相互獨(dú)立的．

2.3 空氣阻力大小與速度二次方成正比的拋體運(yùn)動(dòng)

如果將該運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，那么

即

即

可見(jiàn)，每個(gè)方向的微分方程中都包含另一方向上的速度分量．這說(shuō)明水平方向的分運(yùn)動(dòng)與豎直方向的分運(yùn)動(dòng)之間彼此關(guān)聯(lián)，并不是獨(dú)立的．

類似的運(yùn)動(dòng)還有質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等．它們雖然可以分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，但是這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)不是相互獨(dú)立的，因而不能運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)疊加原理”求解．它們的共同點(diǎn)是動(dòng)力學(xué)方程不是線性微分方程．

因此可以用歸納的方法得出一個(gè)結(jié)論：如果質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程是線性微分方程，該運(yùn)動(dòng)就可以分解為兩個(gè)(或多個(gè))相互獨(dú)立進(jìn)行的分運(yùn)動(dòng)，從而可以運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的疊加原理”求解．

可以證明，動(dòng)力學(xué)方程為線性微分方程的振動(dòng)系統(tǒng)，也可以運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)疊加原理”求解(振動(dòng)的合成與分解)．波動(dòng)是振動(dòng)的傳播，波函數(shù)u(x,t)滿足偏微分方程，如果波動(dòng)方程是線性偏微分方程，那么這樣的幾列波相遇是互不干擾的，可以運(yùn)用“波的疊加原理”求解．

3 “運(yùn)動(dòng)的疊加原理”的速度合成與“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成

“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成解決的是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)不同參考系(它們之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng))的速度之間的變換關(guān)系．

設(shè)參考系Ⅰ靜止，參考系Ⅱ相對(duì)Ⅰ運(yùn)動(dòng)．質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系Ⅰ的運(yùn)動(dòng)叫做絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，速度表示為v絕；質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考系Ⅱ的運(yùn)動(dòng)叫做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，速度表示為v相；運(yùn)動(dòng)參考系Ⅱ相對(duì)靜止參考系Ⅰ的運(yùn)動(dòng)叫做牽連運(yùn)動(dòng)，速度表示為v牽．那么，“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成公式為v絕=v相+v牽．

“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成與“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的速度合成是有區(qū)別的，前者是不同參考系間的速度變換關(guān)系，而后者是同一參考系(在中學(xué)階段，凡沒(méi)有說(shuō)明參考系的，都默認(rèn)為是以地面為參考系)中的速度合成關(guān)系．它們的含義不同，適用范圍也不同．“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的速度合成公式是在同一個(gè)參考系中由矢量合成的平行四邊形定則推出，從速度很小到速度v→c的廣大范圍內(nèi)都成立．“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成是由伽利略變換導(dǎo)出的，因而只在v?c時(shí)才成立．

其實(shí)，船渡河的問(wèn)題是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，即v船對(duì)岸=v船對(duì)水+v水對(duì)岸．在這個(gè)問(wèn)題中，涉及三個(gè)物體，分別為船、河水、河岸，解決的是船相對(duì)于兩個(gè)不同參考系(河岸、河水)的速度之間的變換關(guān)系．

不過(guò)，現(xiàn)行高中《物理》教科書對(duì)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的速度合成與“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的速度合成并沒(méi)有作區(qū)分，但是，物理教師還是應(yīng)該知道它們有什么不同．

4 關(guān)于“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的教學(xué)建議

“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”放在“平拋運(yùn)動(dòng)”之前介紹，稱之為研究曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法，長(zhǎng)期以來(lái)引起頗多爭(zhēng)議．爭(zhēng)議的原因，并不代表“運(yùn)動(dòng)的合成和分解”這個(gè)問(wèn)題不存在或不重要，恰恰相反，它仍然是中學(xué)物理教學(xué)中很重要的問(wèn)題，只是不可能在高一階段,面向全體高中學(xué)生，一步到位，講全講透．

不過(guò)，將復(fù)雜的問(wèn)題分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并找出它們之間的聯(lián)系，是一種研究問(wèn)題的方法，也是一種解決問(wèn)題的能力，是高素質(zhì)人才必須具備的能力，特別是面向理工方向發(fā)展的學(xué)生，應(yīng)該在學(xué)習(xí)高中物理的過(guò)程中，通過(guò)學(xué)習(xí)“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”、“波的疊加原理”等知識(shí)，掌握把復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的方法，培養(yǎng)這種解決復(fù)雜問(wèn)題的能力．因此，在高中階段，有關(guān)“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的教學(xué)，要注意避虛就實(shí)、循序漸進(jìn)．

4.1 在進(jìn)行“平拋運(yùn)動(dòng)”教學(xué)時(shí)初步認(rèn)識(shí)“運(yùn)動(dòng)疊加原理”

在研究平拋運(yùn)動(dòng)之前，還是可以通過(guò)船渡河或類似的實(shí)例、實(shí)驗(yàn)介紹“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”的．在研究平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，更不要刻意回避“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”，而應(yīng)作為一種研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的方法滲透在整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中．

(1)提出問(wèn)題

平拋運(yùn)動(dòng)是一種比較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，其速度大小、方向都時(shí)刻發(fā)生改變，能不能對(duì)這個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，將它轉(zhuǎn)化為熟悉的、比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)呢？

(2)理論分析

在水平方向上，物體不受力，由于慣性而做保持初速度不變的勻速直線運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上，初速度為零，物體受到重力作用，做自由落體運(yùn)動(dòng)．

(3)實(shí)驗(yàn)研究

通過(guò)圖2所示的實(shí)驗(yàn)證實(shí)水平方向的運(yùn)動(dòng)和豎直方向的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的．

(4)方法引導(dǎo)

適時(shí)介紹“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”，指出水平方向和豎直方向上這兩個(gè)相互獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)則是這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．說(shuō)明合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)在位移、速度、加速度等方面的關(guān)系，指出分運(yùn)動(dòng)、合運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性．從而得出平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．

(5)了解“運(yùn)動(dòng)合成與分解”的適用范圍

在解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，由牛頓第二定律建立的方程是矢量方程．對(duì)于比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，常常選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系分解為幾個(gè)標(biāo)量方程求解，分量方程之間可能是獨(dú)立的、不相關(guān)的，也可能是不獨(dú)立的、相關(guān)的．因此，分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性不宜推廣，更不能總結(jié)出所謂的“運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理”去無(wú)條件地應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”解決一切問(wèn)題．

4.2 在解決帶電粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)深入理解“運(yùn)動(dòng)疊加原理”

通過(guò)解決帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，不斷加深學(xué)生對(duì)“運(yùn)動(dòng)合成與分解”的理解，進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這種研究方法解決復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的能力．

【例1】如圖3所示，空間中存在著方向水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由靜止釋放一個(gè)重力不能忽略的帶電微粒，其質(zhì)量為m，帶電荷量為+q．試定性分析該微粒的運(yùn)動(dòng)情況．

圖3

分析：帶電微粒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到兩個(gè)力的作用，重力mg是恒力，其方向沿豎直向下；洛倫茲力是變力，其大小和方向都在變化．

圖4

4.3 在研究“波的疊加”時(shí)熟練運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)疊加原理”

在進(jìn)行“波的疊加”、“波的干涉”教學(xué)時(shí)，要做好繩波、彈簧波、聲波、水波的疊加實(shí)驗(yàn)．通過(guò)觀察分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)出“波的獨(dú)立傳播原理”和“波的疊加原理”．熟練運(yùn)用“波的疊加原理”定性分析兩列相干水波引起的“波的干涉”現(xiàn)象，用波的圖像定量解決兩列簡(jiǎn)諧波疊加的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

【例2】?jī)闪泻?jiǎn)諧波沿x軸相向而行，波速均為v=0.4 m/s，兩波源分別位于A，B處，t=0時(shí)的波形如圖5所示．當(dāng)t=2.5 s時(shí)，M點(diǎn)的位移為_(kāi)_____cm，N點(diǎn)的位移為_(kāi)_____cm．

圖5

在2.5 s的時(shí)間內(nèi)Δt=5TA=2.5TB，兩列波各自獨(dú)立傳播的距離分別為5λA和2.5λB.根據(jù)“波的獨(dú)立傳播原理”，在圖6中畫出t=2.5 s時(shí)的兩個(gè)波形圖，再由“波的疊加原理不難求出，當(dāng)t=2.5 s時(shí)，M點(diǎn)的位移為2.0 cm，N點(diǎn)的位移為零．

圖6

從高一到高三不同的學(xué)習(xí)階段，從認(rèn)識(shí)、理解到熟練運(yùn)用的不同層次，結(jié)合各階段的具體問(wèn)題，循序漸進(jìn)地進(jìn)行“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的教學(xué)，是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的．通過(guò)實(shí)例，既要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是一種常用的把復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的方法，又要讓學(xué)生明白“運(yùn)動(dòng)疊加原理”是有條件的，不能盲目推廣．在教學(xué)過(guò)程中，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)疊加原理”解決實(shí)際問(wèn)題的能力，至于“運(yùn)動(dòng)疊加原理”的深層條件(動(dòng)力學(xué)方程是線性微分方程)不必要向全體學(xué)生做具體的推導(dǎo)，不妨把這個(gè)問(wèn)題留給有興趣的學(xué)生在課外或以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)研究．

參考文獻(xiàn)

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3 周譽(yù)藹.高中物理專題分析：運(yùn)動(dòng)學(xué).北京：人民教育出版社

4 繆鐘英，羅啟蕙.力學(xué)問(wèn)題討論.北京：人民教育出版社