張旭年

(新疆塔城地區(qū)第一高級中學 新疆 塔城 834700)

圓是最美的曲線.在同一平面內(nèi)的兩個圓有相交、相離、外切、內(nèi)切和內(nèi)含五種關(guān)系.在物理模型中這五種關(guān)系也很常見.在一次復習課上，筆者和學生一起分析了圓在物理習題中的應用.

1 內(nèi)含

當兩個圓的圓心之間的距離小于大圓半徑與小圓半徑之差的時候，兩圓內(nèi)含.

【例1】(2006年高考江蘇卷第14題)如圖1所示，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．

(1)求衛(wèi)星B的運行周期．

(2)如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A,B兩衛(wèi)星相距最近(O,B,A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近?

圖1

解答：(1)由萬有引力定律和向心力公式得

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得

(3)

(2)由題意得

(ωB-ω0)t=2π

(4)

由式(3)得

(5)

代入式(4)得

2 相離

當兩個圓的圓心之間的距離大于兩圓半徑之和的時候，兩圓外離.

【例2】(2008年高考全國卷Ⅱ第25題)我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行.為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化.衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球.設地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T.假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地-月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間(用M，m，R，R1，r，r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響).

圖2

設探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有

(6)

(7)

式中，T1是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期.由式(6)、(7)得

(8)

設衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運動，應有

(9)

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B.由幾何關(guān)系得

rcosα=R-R1

(10)

r1cosβ=R1

(11)

由式(8)～(11)得

(12)

3 外切

當兩個圓的圓心之間的距離等于兩圓半徑之和的時候，兩圓外切.

【例3】(2007年高考海南卷第4題)粒子甲的質(zhì)量與電荷量分別是粒子乙的4倍與2倍，兩粒子均帶正電，讓它們在勻強磁場中同一點以大小相等、方向相反的速度開始運動.已知磁場方向垂直紙面向里.以下4個圖中，能正確表示兩粒子運動軌跡的是

4 內(nèi)切

當兩個圓的圓心之間的距離等于大圓半徑與小圓半徑之差的時候，兩圓內(nèi)切.

【例4】在垂直于紙面的勻強磁場中，有一原來靜止的原子核，該核衰變后，放出的帶電粒子和反沖核的運動軌跡如圖3中的a，b所示，由圖可以判定

圖3

A.該核發(fā)生的是α衰變

B.該核發(fā)生的是β衰變

C.磁場方向一定垂直紙面向里

D.磁場方向向里還是向外不能判定

解析：原來靜止的核，放出粒子后，總動量守恒，所以粒子和反沖核的速度方向一定相反，從圖3中可以看出在磁場中向同一側(cè)偏轉(zhuǎn)，由左手定則可以判斷出它們必帶異號電荷，所以,應為β衰變.由于不知它們的旋轉(zhuǎn)方向，故無法判定磁場向里還是向外.

5 相交

當兩個圓的圓心之間的距離大于大圓半徑與小圓半徑之差，并且小于兩圓半徑之和的時候，兩圓相交.

【例5】(1999年高考全國卷第24題)如圖4，虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外.O是MN上的一點，從O點可以向磁場區(qū)域發(fā)射電荷量為+q，質(zhì)量為m，速率為v的粒子.粒子射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)向各個方向.已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L，不計重力及粒子間的相互作用.

(1)求所考查的粒子在磁場中的軌道半徑.

(2)求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔.

圖4

(13)

(2)如圖5所示，以OP為弦畫出兩個半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道，圓心和直徑分別是O1，O2和OO1Q1，OO2Q2，在O處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角，由幾何關(guān)系可知

圖5

∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ

(14)

(15)

(16)

粒子1的運動時間

(17)

粒子2的運動時間為

(18)

其中T為圓周運動的周期.兩個粒子射入的時間間隔

(19)

因

(20)

由式(13)、(19)、(20)得

通過這樣的復習課，讓學生在學習物理時，不再是緊鎖眉頭，而是喜笑顏開，因為他們在物理習題中發(fā)現(xiàn)了美，陶冶了情操.