吳好

(江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212017)

引力勢(shì)能公式的推導(dǎo)在物理思想上通常是利用引力做功等于引力勢(shì)能變化的負(fù)值得出．由于引力是變力，在計(jì)算引力做功時(shí)，在數(shù)學(xué)方法上通常是用積分運(yùn)算．在高中將其作為拓展內(nèi)容給學(xué)生介紹時(shí)，一般是將物體的位移分成許多小段，將每一小段的引力看成“恒力”，將每一小段“恒力”做的功求和得出引力做的總功，這在本質(zhì)上還是積分運(yùn)算．

能否用其他的方法推導(dǎo)出引力勢(shì)能的公式呢？通過查閱大量的資料發(fā)現(xiàn)所有的書籍講授的方法幾乎都是積分法.直到有一次筆者在解題中，計(jì)算了衛(wèi)星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度的數(shù)值，在此基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的思考，用橢圓軌道將衛(wèi)星從低圓軌道送到高圓軌道的過程中，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的兩次加速所增加的動(dòng)能等于衛(wèi)星在兩個(gè)軌道之間的能量差，如果能夠設(shè)法求出這個(gè)能量差，再設(shè)高圓軌道的半徑為“無窮大”，就能得到衛(wèi)星在圓軌道的能量，利用衛(wèi)星的勢(shì)能加上動(dòng)能等于衛(wèi)星的總能量就能夠得出衛(wèi)星的引力勢(shì)能公式．

推導(dǎo)的思路是，先得出衛(wèi)星以兩個(gè)不同的半徑做圓周運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式，設(shè)法求出橢圓軌道長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的曲率圓半徑，再根據(jù)引力提供向心力，給出衛(wèi)星與這兩個(gè)不同的圓軌道相切的橢圓軌道近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，求出兩個(gè)圓軌道間的能量差，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出引力勢(shì)能公式.

(1)

1 橢圓的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)

如圖1所示，橢圓長(zhǎng)軸是2a，短軸是2b，焦距是2c，則

a2=b2+c2

(2)

圖1

2 橢圓在半長(zhǎng)軸和半短軸處的曲率圓半徑

為求橢圓在長(zhǎng)軸和短軸頂點(diǎn)處的曲率圓半徑，我們將水平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)投影得到傾角為θ的斜面上 ，如圖2所示．半徑為b的圓，投影到斜面上得到的橢圓半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，顯然滿足①

圖2

解以上各式容易得出長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的曲率圓半徑為

(3)

短軸頂點(diǎn)處的曲率圓半徑為

(4)

式(3)和式(4)與解析幾何學(xué)中所得到的結(jié)果一致.實(shí)際上橢圓在長(zhǎng)軸和短軸處的曲率圓半徑只要求出一處，另一處的曲率圓半徑可以將原來的長(zhǎng)軸看成短軸，短軸看成長(zhǎng)軸得出．

3 衛(wèi)星在近地點(diǎn) A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B的速率

衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)，此時(shí)地球中心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖3所示．衛(wèi)星近地點(diǎn)距地心的距離為(a-c)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心的距離為(a+c)；衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速度為vA，遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為vB，在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)瞬時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑(曲率圓半徑)為ρ．衛(wèi)星在A,B點(diǎn)瞬時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，可以得出

圖3

在近地點(diǎn)A

(5)

在遠(yuǎn)地點(diǎn)B

(6)

將式(3)代入式(5)和式(6)得到

(7)

(8)

4 引力勢(shì)能公式的推導(dǎo)

設(shè)人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r1和r2，如圖4所示．將衛(wèi)星從圓軌道“1”送到圓軌道“2”上，通過橢圓軌道在近地點(diǎn)“A”設(shè)法將衛(wèi)星的速度由v1增加到vA，在遠(yuǎn)地點(diǎn)將衛(wèi)星的速度由vB增加到v2．衛(wèi)星總能量的增加就是兩次動(dòng)能的增加，設(shè)衛(wèi)星在軌道“1”和“2”的機(jī)械能分別為E1和E2

圖4

(9)

a-c=r1

(10)

a+c=r2

(11)

聯(lián)立式(2)和式(7)～(11)得到

(12)

式(12)中若衛(wèi)星做圓軌道的半徑足夠大，即r2→∞，并規(guī)定衛(wèi)星距地球無窮遠(yuǎn)處能量為零，得到衛(wèi)星在軌道1的能量為

(13)

(14)

也可以求出衛(wèi)星做橢圓軌道的總能量為

(15)

聯(lián)立式(1)、(2)、(7)、(10)、(13)、(15)得到

(16)

利用衛(wèi)星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的臨界條件也可以推導(dǎo)出引力勢(shì)能公式．

將式(3)改寫成

(17)

衛(wèi)星做橢圓軌道的臨界條件是遠(yuǎn)地點(diǎn)趨于無窮遠(yuǎn)，即

a+c→∞

此時(shí)曲率圓半徑為

ρ0=2(a-c)

將式(10)代入得到

ρ0=2r1

在圖4中近地點(diǎn)發(fā)射人造衛(wèi)星，設(shè)與“臨界條件”對(duì)應(yīng)的發(fā)射速度為v0，根據(jù)引力提供向心力得到

所以

(18)

從式(2)可以看出，當(dāng)r2=a+c→∞時(shí)，衛(wèi)星做圓軌道的速度為零，而由橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)到圓軌道要加速，所以,此時(shí)衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為零，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能為零，根據(jù)機(jī)械能守恒得到

將式(18)代入得到

由于r1可以是任意值，就得到了引力勢(shì)能的一般表達(dá)式(14)．

5 結(jié)語(yǔ)

值得說明的是,本文作為推導(dǎo)引力勢(shì)能的一種方法雖然不是從變力做功的關(guān)系得出，但仍然是通過功能關(guān)系得出的，因此,并不是發(fā)現(xiàn)了一種本質(zhì)上完全不同的方法，但由于它只用到初等數(shù)學(xué)，同時(shí)又具有豐富的物理內(nèi)容而顯得非常有趣，對(duì)于學(xué)生正確運(yùn)用曲率圓半徑解決問題，加深對(duì)衛(wèi)星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的理解很有幫助．橢圓軌道一但給定，其能量關(guān)系就確定了，所以,可以根據(jù)橢圓軌道推導(dǎo)出引力勢(shì)能公式．

再就文中的“ρ0=2r1”做出說明，衛(wèi)星在橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，由于地心是其中的一個(gè)焦點(diǎn)，所以,衛(wèi)星在近地點(diǎn)以不同的速度發(fā)射時(shí)，(a-c)即r1為定值，速度越大，(a+c)即r2越大，當(dāng)a+c→∞時(shí)，不能簡(jiǎn)單地以為此時(shí)c=a，實(shí)際上c與a同時(shí)趨于無窮大，但(a-c)=r1為定值．

①

建立如圖5所示的坐標(biāo)系xOy以及x′O′y′，xOy平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)投影到x′O′y′平面上的坐標(biāo)為(x′,y′)，

滿足

xOy平面內(nèi)圓的方程為x2+y2=b2

圖5

x′cosθ2+y′2=b2

所以，xOy平面內(nèi)的圓在x′O′y′平面上的投影為半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b的橢圓．

圖2中xOy平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)平行于y軸的速度矢量v，在x′O′y′平面內(nèi)的投影在長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)大小仍為

②

(1)詳細(xì)的化簡(jiǎn)過程

將r1和r2以及式(10)和式(11)代入式(1)式得

再將v1和v2以及式(7)、(8)代入式(9)得

E2-E1=

將式(2)代入并利用式(10)和式(11)化簡(jiǎn)得

所以

代入上式得到