萬嵩林 范雙菲 傅 蕓 李秉釗 滕保華

（電子科技大學(xué) 四川 成都 610054）

1 引言

靜電學(xué)中對(duì)一定電荷密度的環(huán)、盤、筒、柱中軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度已經(jīng)有了較詳盡的討論［1，2］，但有關(guān)正多邊形環(huán)、盤、筒、柱中軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度的系統(tǒng)討論，以及對(duì)其場(chǎng)強(qiáng)分布的代數(shù)性質(zhì)，形狀對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度大小的影響并不多見.本文將系統(tǒng)計(jì)算正多邊形的環(huán)、盤、筒、柱帶電體中軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度，并分析了其場(chǎng)強(qiáng)分布的代數(shù)性質(zhì)差異及帶電體形狀對(duì)其電場(chǎng)強(qiáng)度的影響.

2 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算與分析

2.1 正多邊形環(huán)與盤

對(duì)正多邊形環(huán)（邊數(shù)為n，帶電荷量為q，周長為l），其中軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度表示為［3］

而對(duì)正多邊形盤（邊數(shù)為n，帶電荷量為q，面積為S），利用疊加原理將式（1）積分，可得其中軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為

式（2）盤中心的電場(chǎng)強(qiáng)度為零是考慮到帶電盤的對(duì)稱性.

于是均勻帶電正多邊形環(huán)與盤在其中軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖1所示.從圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)，正多邊形環(huán)中軸線上場(chǎng)強(qiáng)分布呈峰狀結(jié)構(gòu)，場(chǎng)強(qiáng)最大值在原點(diǎn)外側(cè)，函數(shù)光滑且處處可導(dǎo)，代數(shù)性質(zhì)良好；而圖1（b）正多邊形盤中軸線上場(chǎng)強(qiáng)分布呈單調(diào)遞減，場(chǎng)強(qiáng)最大值在原點(diǎn)附近但為一間斷點(diǎn)，此處既不連續(xù)更不可導(dǎo)，代數(shù)性質(zhì)較差.

圖1 正多邊形環(huán)和盤中軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布，其中l(wèi)＝1m，S＝1m2

同時(shí)發(fā)現(xiàn)，正多邊形環(huán)中軸線上場(chǎng)強(qiáng)大小與其多邊形邊數(shù)n的關(guān)系比較敏感，即場(chǎng)強(qiáng)隨著n的增大而明顯減小，而以圓形為最小，但是正多邊形盤中軸線上場(chǎng)強(qiáng)大小與n的依賴關(guān)系很小.

2.2 正多邊形筒與柱

如圖2，對(duì)正多邊形薄筒（邊數(shù)為n，帶電荷量為q，筒長為H，截面周長為l），可視其為無限個(gè)帶電環(huán)的疊加，將式（1）積分可以得到薄筒中軸線上任意點(diǎn)M的場(chǎng)強(qiáng)分布［4］為

圖2 正多邊形筒和柱示意圖

而對(duì)正多邊形柱（邊數(shù)為n，帶電荷量為q，筒長為H，截面積為S），可視其為無限個(gè)帶電盤的疊加，將式（2）積分可以分別得到中軸線上柱內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布為

圖3 正多邊形筒和柱中軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布，其中H＝1m，l＝1m，S＝1m2

另外，正多邊形薄筒和柱的邊數(shù)n對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的影響與環(huán)和盤的情形類似，即正多邊形薄筒中軸線上的場(chǎng)強(qiáng)受n的影響較大，而正多邊形柱的場(chǎng)強(qiáng)受n的影響很小.

3 結(jié)論

本文從正多邊形帶電環(huán)出發(fā)，利用疊加原理系統(tǒng)解析計(jì)算了正多邊形帶電盤、筒、柱中軸線上場(chǎng)強(qiáng)分布，并通過分析4類帶電體的電場(chǎng)特征得出以下結(jié)論即正多邊形帶電體的電荷分布特點(diǎn)明顯影響其場(chǎng)強(qiáng)的代數(shù)性質(zhì)，從所做的幾項(xiàng)計(jì)算中顯示，環(huán)、筒的明顯優(yōu)于盤、柱，然而，正多邊形的邊數(shù)對(duì)其場(chǎng)強(qiáng)大小的影響程度卻不相同，即對(duì)環(huán)、筒的影響明顯大于對(duì)盤、柱的影響.

1 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（下）.北京：清華大學(xué)出版社，2007

2 馬文蔚.物理學(xué)（上）.北京：高等教育出版社，2006

3 李成金，趙勛杰.正多邊形帶電框，帶電面軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布.物理與工程，2006，16（5）：25～27

4 李成金.有限長均勻帶電圓柱體軸線上的場(chǎng)強(qiáng).錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（4）：22，55