宋志偉， 李 威， 渠鴻飛

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性一直受到人們廣泛的關(guān)注[1～5]。解析法[1]和數(shù)值方法[2～4]已經(jīng)被成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性分析中。本文提出了求解梁動(dòng)力穩(wěn)定性的擬小波方法[6]，利用該方法計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支和固支梁的動(dòng)力失穩(wěn)區(qū)，并討論了周期性軸向力中恒定項(xiàng)對(duì)動(dòng)力失穩(wěn)區(qū)的影響，與解析解對(duì)比驗(yàn)證了采用擬小波法求解梁動(dòng)力穩(wěn)定性的可行性和有效性。

1 振動(dòng)方程

當(dāng)直梁受到周期性軸向力PS+PDcos(θt)作用時(shí)，根據(jù)歐拉梁理論，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)，其振動(dòng)方程為[1]：

(1)

其中,E為楊氏模量,I為截面慣性矩,m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量,PS+PDcos(θt)為周期性軸向力，PS為恒定項(xiàng),PD和θ分別為幅值和激勵(lì)圓頻率，u為橫向位移,t為時(shí)間。

為了簡(jiǎn)化，引入以下無(wú)量綱量

則,(1)式可以化為:

(2)

將(2)式改寫(xiě)為:

(3)

兩端簡(jiǎn)支邊界條件為:

U(0,τ)=U(1,τ)=0，

兩端固支邊界條件為:

U(0,τ)=U(1,τ)=0，

2 數(shù)值方法和離散式子

2.1 擬小波數(shù)值方法

擬小波方法是Wei[6]等人提出來(lái)的一種新型的數(shù)值方法，已經(jīng)被成功應(yīng)用于科學(xué)和工程多領(lǐng)域中[7～10]。關(guān)于該方法的數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用，可參考Wei等[8～10]的文獻(xiàn)。根據(jù)Shannom定理,引進(jìn)擬尺度函數(shù)[7]

δΔ,σ(x-xk)=

(4)

(5)

由于擬小波具有良好的局域特性,實(shí)際計(jì)算只需要在網(wǎng)格點(diǎn)x附近取2W個(gè)計(jì)算點(diǎn)即可達(dá)到計(jì)算精度。(5)式對(duì)空間坐標(biāo)x的n階導(dǎo)數(shù)為

(n=0,1,2, …)

(6)

在(1)式中需要求空間的二階和四階導(dǎo)數(shù)，其表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

2.2 離散式子

本文利用擬小波數(shù)值離散格式(6)式離散(3)式的空間導(dǎo)數(shù), 四階Runge - Kutta (RK4)法離散時(shí)間導(dǎo)數(shù)。具體如下[7]: 將空間X坐標(biāo)進(jìn)行均勻等分,單元網(wǎng)格大小記為ΔX=(1-0)/N(N為單元網(wǎng)格總數(shù))。網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)Xj(j=1,2,…,N+1),于是Xj-Xj+k=-kΔX,在網(wǎng)格點(diǎn)Xj的無(wú)量綱位移U記為Uj, 則(3)式可以寫(xiě)為：

(j=1,2,…,N+1)

(7)

令 {yj}={y1,y2,…,y2N+2}={U1,U2,…,UN+1,V1,V2,…,VN+1} (j=1,2,…,2N+2)

當(dāng)j=1,2,…,N+1時(shí)

fj=yj+N+1

(8)

當(dāng)j=N+2,N+3,…,2N+2 時(shí)

(9)

則可以得到統(tǒng)一寫(xiě)成的半離散的形式

(10)

用四階Runge - Kutta (RK4)法離散時(shí)間導(dǎo)數(shù)，其格式[11]為：

(11)

(j=N+2,N+3,…,2N+2)

(12)

(j=N+2,N+3,…,2N+2)

(13)

3 算例與討論

3.1 梁的動(dòng)力穩(wěn)定性

首先討論兩端簡(jiǎn)支和固支梁受到軸向力PDcos(θt)作用時(shí)梁的動(dòng)力穩(wěn)定性。此時(shí)恒定項(xiàng)PS=0，即(3)式中α=0。為了計(jì)算梁的第一失穩(wěn)區(qū)[1],Θ的取值為[1.5, 2.5]，μ的取值為[0，0.5]。計(jì)算時(shí)，μ由穩(wěn)定區(qū)取值到失穩(wěn)區(qū)，間距為0.025。依據(jù)動(dòng)力失穩(wěn)準(zhǔn)則[3]：如果振動(dòng)的幅值在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)單調(diào)遞增,則認(rèn)為振動(dòng)是不穩(wěn)定的；否則,振動(dòng)是穩(wěn)定的。判斷出振動(dòng)響應(yīng)的穩(wěn)定性，從而得到梁的失穩(wěn)區(qū)。對(duì)于簡(jiǎn)支梁，初始條件和參數(shù)設(shè)置為U(X,0)=0,?U(iΔX,0)/?τ=sin(iΔXπ)(i= 0,1,2,…,N)。λl=π,N=18,W=15,r=2.5,Δτ= 2.5×10-6。對(duì)于固支梁，初始條件和參數(shù)設(shè)置為：U(X,0)=0,?U(X,0)/?τ=[0 0.0325 0.1191 0.2435 0.3900 0.5435 0.6901 0.8178 0.9164 0.9787 1.0000 0.9787 0.9164 0.8178 0.6901 0.5435 0.3900 0.2435 0.1191 0.0325 0]，λl=4.7300,N=20,W=15,r=2.5,Δτ=2.5×10-6, 參數(shù)N，W，r的設(shè)置參考文獻(xiàn)[8，9，12]。

圖1為簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)曲線(xiàn)。從圖中發(fā)現(xiàn)由擬小波法計(jì)算的中點(diǎn)位移響應(yīng)曲線(xiàn)和不同無(wú)量綱時(shí)間點(diǎn)的變形曲線(xiàn)分別與解析解吻合得很好。這說(shuō)明采用擬小波法計(jì)算梁的動(dòng)力響應(yīng)是可行的和有效的。同時(shí)，由擬小波法計(jì)算的不同時(shí)間點(diǎn)的變形曲線(xiàn)是光順的，這說(shuō)明采用反對(duì)稱(chēng)延拓[9]處理簡(jiǎn)支邊界是合理的。

圖1 簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)曲線(xiàn)

圖2 簡(jiǎn)支梁無(wú)量綱位移響應(yīng)曲線(xiàn)

圖2為簡(jiǎn)支梁無(wú)量綱位移響應(yīng)曲線(xiàn)。由圖2(a)、(b)和(e)可以判斷這些曲線(xiàn)是隨時(shí)間單調(diào)遞增的, 則在這些情況下振動(dòng)是不穩(wěn)定的；由圖2(c)和(d)可以判斷這些振動(dòng)是穩(wěn)定的。 由圖2(c)、(d)和(e)可得到，當(dāng)θ/2Ω不變時(shí)，隨著μ增大，梁由穩(wěn)定狀態(tài)逐步變?yōu)槭Х€(wěn)狀態(tài)[1]。 重復(fù)上述過(guò)程，可以得到不同θ/2Ω和μ所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)曲線(xiàn)以及其穩(wěn)定性。圖3為簡(jiǎn)支梁的穩(wěn)定圖，在圖3中,由“●”和“○”分別形成的穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū),與理論的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)[1]吻合得很好。

“—”為理論失穩(wěn)邊界；“●”,“○”為擬小波法穩(wěn)定和失穩(wěn)結(jié)果圖3 簡(jiǎn)支梁穩(wěn)定圖

上述梁的動(dòng)力穩(wěn)定性是根據(jù)位移響應(yīng)曲線(xiàn)來(lái)判斷的,也可以根據(jù)相位圖來(lái)判斷穩(wěn)定性[13]。圖4為簡(jiǎn)支梁的相位圖。其中，橫軸和縱軸分別為中點(diǎn)無(wú)量綱位移U(0.5,τ)和速度V(0.5,τ)，相軌跡是順時(shí)針?lè)较颍c(diǎn)’S’和’E’分別表示計(jì)算時(shí)間起點(diǎn)和終點(diǎn)。由圖4可以判斷出θ/2Ω=0.9,μ=0.15和μ=0.175時(shí)振動(dòng)是穩(wěn)定的；θ/2Ω=0.9,μ=0.2時(shí)振動(dòng)是不穩(wěn)定的。這些結(jié)論與前面的結(jié)論相同。

圖4 簡(jiǎn)支梁的相位圖

利用上述擬小波算法，采用對(duì)稱(chēng)延拓[9]處理邊界條件，可以得到兩端固支梁的穩(wěn)定圖見(jiàn)圖5。在圖5中,由‘●’和‘○’分別形成的穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū),與理論的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)[1]吻合得很好。

“—”為理論失穩(wěn)邊界；“●”,“○”為擬小波法穩(wěn)定和失穩(wěn)結(jié)果圖5 固支梁的穩(wěn)定圖

3.2 恒定項(xiàng)的影響

本小節(jié)討論兩端簡(jiǎn)支梁受到軸向力作用時(shí)恒

定項(xiàng)對(duì)失穩(wěn)區(qū)的影響。分別取α=0.3和α=0.5來(lái)討論，相關(guān)參數(shù)和初始條件的設(shè)置與計(jì)算簡(jiǎn)支梁穩(wěn)定性時(shí)相同。

圖6為α=0.3時(shí)梁中點(diǎn)無(wú)量綱位移U(0.5,τ)響應(yīng)曲線(xiàn)。 由圖6(a)、(d)和(f)，可以判斷α=0.3時(shí)θ/2Ω=0.837,μ=0.05；θ/2Ω=0.753,μ=0.2；θ/2Ω=0.962,μ=0.325情況下振動(dòng)是不穩(wěn)定的；由圖6(b)、(c)和(e)可以判斷α=0.3時(shí)θ/2Ω=0.753,μ=0.15；θ/2Ω=0.753,μ=0.175；θ/2Ω=0.962,μ=0.3情況下振動(dòng)是穩(wěn)定的。重復(fù)上述過(guò)程，即可得到α=0.3時(shí)梁的穩(wěn)定圖，采用同樣的方法可以得到α=0.5時(shí)梁的穩(wěn)定圖見(jiàn)圖7。在圖7中由擬小波法得到α=0.3和α=0.5時(shí)的不穩(wěn)定區(qū)和穩(wěn)定區(qū)與理論的不穩(wěn)定區(qū)和穩(wěn)定[1]區(qū)吻合很好；同時(shí)發(fā)現(xiàn)隨著軸向力中恒定項(xiàng)的增大(α由0.3增大到0.5)，失穩(wěn)區(qū)由高頻區(qū)移到低頻區(qū)，結(jié)構(gòu)對(duì)周期性軸向力變得敏感，這與理論規(guī)律[1]也是相同的。

圖6 α=0.3時(shí)梁的無(wú)量綱位移響應(yīng)曲線(xiàn)

“—”,“- -”,“- · -”為α=0, α=0.3, α=0.5理論失穩(wěn)邊界；“●”,“○”為α=0.3擬小波法穩(wěn)定和失穩(wěn)結(jié)果；“▼”,“▽”為α=0.5擬小波法穩(wěn)定和失穩(wěn)結(jié)果圖7 變化時(shí)梁的穩(wěn)定圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文采用擬小波方法研究了兩端簡(jiǎn)支和兩端固支梁的動(dòng)力穩(wěn)定性，還討論了軸向力中恒定項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定區(qū)的影響.通過(guò)對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)由擬小波法所得的穩(wěn)定圖與理論的穩(wěn)定圖吻合得很好，同時(shí)研究表明軸向力中恒定項(xiàng)的增加導(dǎo)致失穩(wěn)區(qū)由高頻區(qū)移向低頻區(qū),這與理論結(jié)果也是相同的。從而說(shuō)明采用擬小波法研究梁的動(dòng)力穩(wěn)定性是可行的和有效的。本文的研究也為結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性分析提供了一種新的思路和方法。

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