龔志堅(jiān) 劉明彥

一年一度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎舉世注目，但諾貝爾評獎委員會的結(jié)果有些出人預(yù)料，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家沙普利（Shapley）和羅斯（Roth）摘得此項(xiàng)桂冠，原因是他們在穩(wěn)定匹配理論及市場設(shè)計(jì)實(shí)踐方面作出了卓越貢獻(xiàn)。在歐美發(fā)達(dá)國家深受高失業(yè)困擾的今日，對有助于雇主和求職者結(jié)合的穩(wěn)定匹配理論，及可降低市場失靈的市場設(shè)計(jì)機(jī)制授以殊榮，反映出諾貝爾獎委員會希望以經(jīng)濟(jì)學(xué)理論推動社會發(fā)展的良苦用心。

穩(wěn)定匹配理論：穩(wěn)定性思想

在介紹穩(wěn)定匹配理論之前，先從合作博弈理論的角度介紹一下穩(wěn)定性的思想。

效用可轉(zhuǎn)移條件下的聯(lián)盟博弈

假定市場上有N名個體市場參與者，一群個體參與者通過建立聯(lián)盟（經(jīng)濟(jì)組織）互相合作。聯(lián)盟形式的博弈具有效用轉(zhuǎn)移的特性，即聯(lián)盟的總效用不能低于獨(dú)立個體效用之和。聯(lián)盟運(yùn)用其經(jīng)濟(jì)資源創(chuàng)造的價值（效用）被稱為經(jīng)濟(jì)剩余。聯(lián)盟創(chuàng)造的效用（或利潤）可以通過成員認(rèn)可的任何方式分配，每個成員的效用等于他獲得的經(jīng)濟(jì)剩余份額，這就是可轉(zhuǎn)移效用。

合作博弈理論研究聯(lián)盟成員的個體激勵問題，假定聯(lián)盟成員內(nèi)部利益沖突可以通過合約約束化解。合約內(nèi)容包括聯(lián)盟成員采取行動實(shí)現(xiàn)聯(lián)盟經(jīng)濟(jì)剩余的最大化，這個最大化的剩余就是聯(lián)盟的價值。然而，如果聯(lián)盟的剩余還依賴非成員的行動時，困難就會出現(xiàn)。在這種情況下，聯(lián)盟的價值通過相同的方式實(shí)現(xiàn)，即假定非成員也試圖最大化自己的效用。

在效用可轉(zhuǎn)移博弈中，假定參與者可通過單邊支付（私下交易）自由轉(zhuǎn)移自己的效用。但在某些情況下，單邊支付受到制約，參與者的效用不可轉(zhuǎn)移。比如在人體器官捐獻(xiàn)機(jī)構(gòu)中，單邊交易被認(rèn)為是非法和令人反感的。

穩(wěn)定性與核心

穩(wěn)定性思想在合作博弈理論中，與非合作博弈理論中的納什均衡相對應(yīng)。在非合作博弈理論中，納什均衡是指一種狀態(tài)，在這種狀態(tài)下沒有參與者可以偏離并使自己變得更好。從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度看，穩(wěn)定性構(gòu)成了理想的無摩擦市場中的重要方面。如果個人擁有無限的時間和能力進(jìn)行相互交換（即交易成本為零），那么結(jié)果肯定滿足穩(wěn)定性，或者必定有積極性形成一些聯(lián)盟來增加成員的效用。沙普利是最先清晰闡述穩(wěn)定性概念的經(jīng)濟(jì)學(xué)家之一。

我們通過一個例子來解釋如何識別穩(wěn)定匹配，并表明核心（一系列穩(wěn)定匹配）有時會相當(dāng)之多。

有一家由一名高級合伙人（瑪麗）和兩名初級合伙人（彼得和保羅）組成的聯(lián)盟的利潤是135，如果瑪麗離開聯(lián)盟，她每年可以賺50。而每一名初級合伙人離開聯(lián)盟每年可賺10。假定瑪麗與任何一名初級合伙人聯(lián)盟可以賺90，兩名初級合伙人聯(lián)盟可以賺25。在效用可轉(zhuǎn)移情況下，最理想的聯(lián)盟收益是135，且成員可以無成本地以任何方式分配135單位收益。而瑪麗可以得到的最低收益是50，每個初級合伙人最低收益是10，這樣才可能促使他們建立聯(lián)盟。因此，穩(wěn)定性的條件是瑪麗至少得到50，而彼得和保羅至少各自得到10。

“二人聯(lián)盟”假定，當(dāng)兩名初級合伙人的收益之和小于25時，他們可以通過聯(lián)盟增加他們的收益；瑪麗和任何一名初級合伙人的收益之和小于90時，他們也可以通過聯(lián)盟提升他們的收益。這也是穩(wěn)定性需要滿足的兩個條件。

以上的幾個條件與三人組成聯(lián)盟的利潤為135這一約束條件歸在一起，可以得出在聯(lián)盟中瑪麗的最低收益是50，最高收益是110（原因是彼得和保羅聯(lián)盟的最低收益是25）。

穩(wěn)定匹配的存在性

瑪麗例子中顯示的核心可能相當(dāng)之多，但在其他情形下，核心可能并不存在。如將上文最理想聯(lián)盟的經(jīng)濟(jì)剩余修改為101，另外的幾個條件也滿足，就可以發(fā)現(xiàn)聯(lián)盟僅產(chǎn)生101的經(jīng)濟(jì)剩余不能形成穩(wěn)定的匹配。一般認(rèn)為，如果聯(lián)盟不能形成足夠的剩余，那么聯(lián)盟內(nèi)不可能形成穩(wěn)定的分配方式。早在20世紀(jì)60年代，沙普利等經(jīng)濟(jì)學(xué)家證實(shí)了這一點(diǎn)。

核心與競爭均衡

經(jīng)濟(jì)學(xué)家埃奇沃斯最早對參與者不滿足他們的市場收益可以退出市場通過私下交易增加收益的觀點(diǎn)提出質(zhì)疑，他認(rèn)為合約曲線由一系列不可通過重新簽約撼動的結(jié)果組成。埃奇沃斯認(rèn)為，當(dāng)市場上有足夠的參與者時，合約曲線將接近于競爭均衡，他對市場上僅有兩種貨物和兩名參與者的模型進(jìn)行了修正。其他學(xué)者對埃奇沃斯的理論在更加普遍的假設(shè)下進(jìn)行了補(bǔ)充：如果經(jīng)濟(jì)中可復(fù)制出足夠多的各種類型的參與者，那么核心（穩(wěn)定匹配的集合）就接近于充分競爭的均衡點(diǎn)。于是，在缺乏特定詳細(xì)的交易規(guī)則的條件下，核心為競爭均衡提供了理論基石。

穩(wěn)定匹配理論：匹配市場

在很多市場上，貨物是私人的，但它們是不可分割和非同質(zhì)的，因此傳統(tǒng)假定的充分競爭條件并不滿足。如熟練技工市場，由于沒有兩名特征完全相同的技術(shù)工人，特定工種的技術(shù)工人服務(wù)市場相當(dāng)小。在這些市場中，參與者通過相互交換實(shí)現(xiàn)大致的匹配。

雙向匹配

假設(shè)有兩組相互分離參與者的市場，如買方和賣方、工人和雇主、學(xué)生與學(xué)校，他們必需匹配才能履行相應(yīng)的職能。1962年，蓋爾和沙普利對雙向匹配市場進(jìn)行了研究，他們排除了單邊支付（私下交易）情形，認(rèn)為工資及其他匹配特征并非通過協(xié)商完成的。

穩(wěn)定匹配。具體來說，假定市場由一方是醫(yī)學(xué)院學(xué)生和另一方是醫(yī)院科室構(gòu)成，每個醫(yī)院科室只需要一名實(shí)習(xí)醫(yī)生，而一名醫(yī)學(xué)院學(xué)生只需要一個實(shí)習(xí)機(jī)會。匹配就是將實(shí)習(xí)機(jī)會分配給申請的學(xué)生。很自然，學(xué)生對科室偏好不同，科室對不同學(xué)生的偏好也不同。為了方便研究，假定偏好是嚴(yán)格的，當(dāng)參與者匹配后狀況惡化則匹配將不被接受。

一般而言，當(dāng)不能通過聯(lián)盟改進(jìn)參與者效用時，匹配就是穩(wěn)定的。在這個特定的模型中，一個穩(wěn)定的匹配必須滿足以下兩個條件：沒有參與者認(rèn)為這個匹配不可接受，沒有科室和學(xué)生聯(lián)盟希望重新匹配而不愿保持現(xiàn)狀。第一個條件是個人理性條件，而第二個條件則是指成對匹配是穩(wěn)定的。這兩個條件暗示著沒有任何聯(lián)盟和“科室-學(xué)生”組合可以對匹配進(jìn)行改進(jìn)。

“蓋爾-沙普利機(jī)制”。蓋爾和沙普利于1962年設(shè)計(jì)了一套延遲接受機(jī)制（算法）以發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定匹配。其設(shè)計(jì)是，市場的一方是醫(yī)療科室，它們給申請者——醫(yī)學(xué)院學(xué)生——發(fā)出錄取通知，每個學(xué)生對他收到的錄取通知進(jìn)行評估，接受他愿意的科室，拒絕其余的通知。這個機(jī)制的重要方面是學(xué)生并不需要立即接受滿意的錄取，只要簡單持有即可。任何醫(yī)院科室的錄取被拒絕后可以向其他學(xué)生發(fā)送錄取通知，直到醫(yī)院科室所發(fā)放錄取通知被學(xué)生接受為止。

在這個過程中，每個科室先向頂級的申請者發(fā)放錄取通知，如果錄取被拒絕，它們再向二級申請者發(fā)放。根據(jù)操作規(guī)則，科室不斷降低其錄取標(biāo)準(zhǔn)向下一級的申請者發(fā)放錄取通知。相反，由于學(xué)生總是持有他們最理想的錄取通知，而通知不可以收回。當(dāng)科室的期望降低到與申請者增加的志愿一致時，匹配過程結(jié)束。

激勵相容。“蓋爾-沙普利機(jī)制”在現(xiàn)實(shí)世界中對參與者是否真的有用？要回答這個問題，需要進(jìn)行非合作博弈分析，即詳細(xì)分析匹配過程規(guī)則和戰(zhàn)略行動激勵。

上面所提到的延遲接受機(jī)制可理解為分散的申請、錄取、拒絕和接受的過程，但在現(xiàn)實(shí)中，此機(jī)制通過交易機(jī)構(gòu)集中進(jìn)行。每個申請人都服從他的偏好順序，他對雇主由滿意到不滿意進(jìn)行排序，而雇主也根據(jù)自己對申請人的評價對其進(jìn)行排序。根據(jù)這些服從的偏好，交易機(jī)構(gòu)運(yùn)用一定規(guī)則進(jìn)行匹配。用機(jī)制設(shè)計(jì)理論的術(shù)語講，交易機(jī)構(gòu)根據(jù)揭示機(jī)制進(jìn)行匹配，但并不是所有市場都需要依賴此機(jī)制運(yùn)行。揭示機(jī)制引發(fā)的同時進(jìn)行行為博弈，其中，所有參與者服從自己的偏好排序，并假定完全理解交易機(jī)制如何使所有參與者的偏好相匹配。

羅斯等人運(yùn)用計(jì)算機(jī)對隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，數(shù)據(jù)來自全國住院醫(yī)生匹配系統(tǒng)（NRMP），對延遲接受規(guī)則下戰(zhàn)略操縱的收益進(jìn)行分析。研究發(fā)現(xiàn)，在龐大的市場上，如果供求雙方均沒有機(jī)構(gòu)參與，通過操縱機(jī)制（算法）可以獲益。

可調(diào)整的價格與工資。沙普利等將可轉(zhuǎn)移效用版的“蓋爾-沙普利模型”稱為分配博弈。當(dāng)雇主與工人匹配（聯(lián)盟）時，可轉(zhuǎn)移效用意味著特定匹配工資通過內(nèi)生調(diào)整可實(shí)現(xiàn)市場出清。

沙普利等認(rèn)為分配博弈的核心并非空集，匹配競爭對一系列核心配置形成了嚴(yán)格限制。通過可轉(zhuǎn)移效用，任何核心配置必須滿足經(jīng)濟(jì)剩余最大化的目標(biāo)。總之，這種匹配是唯一的。然而，工資通常不是單一決定的，會產(chǎn)生利益的兩極分化。當(dāng)雇主最優(yōu)或者工人最優(yōu)的穩(wěn)定匹配出現(xiàn)時，相應(yīng)的特征是市場以最低工資或最高工資水平出清。分配博弈緊扣自由競爭概念繼承了傳統(tǒng)的競爭分析，事實(shí)上，這個模型是連接核心理念與競爭均衡間的橋梁。

研究發(fā)現(xiàn)，在雇主發(fā)起機(jī)制下，每個雇主開始都給想聘用的求職者報出低工資，每個求職者都收到多份聘書，將滿意的通知保留，其他的予以拒絕。遭到拒絕的雇主繼續(xù)發(fā)放聘書，要么對原來的求職者提高待遇，要么向新求職者發(fā)放聘書。這個過程最終會實(shí)現(xiàn)雇主最優(yōu)的穩(wěn)定匹配。

單邊匹配

沙普利等對單邊市場進(jìn)行了研究，交易者在這個市場上對不可分割的商品進(jìn)行交換，不能使用單邊支付（私下交易），且每個交易者最初都擁有一件物品。沙普利證實(shí)所謂“高級交易環(huán)機(jī)制”通?？梢詫?shí)現(xiàn)穩(wěn)定匹配。該機(jī)制運(yùn)行為：從初始稟賦開始，每個參與者都表明他最想要的物品，這個被描述為定向圖景。在定向圖景中，至少必須存在一個“環(huán)”，即通過市場互換，參與者都能獲得自己想要的物品。當(dāng)滿意的互換發(fā)生，心滿意足的參與者及相關(guān)物品從市場上退出，剩下的參與者及物品繼續(xù)進(jìn)行交換，直到所有的物品交換到參與者最滿意為止。

羅斯等證明，如果參與者對物品的偏好是嚴(yán)格的，且穩(wěn)定性定義在弱改進(jìn)，則對于任何給定初始稟賦條件下，最終只有一個穩(wěn)定匹配。選擇唯一穩(wěn)定匹配的揭示機(jī)制，是“高級交易環(huán)規(guī)則”根據(jù)服從偏好順序和初始稟賦計(jì)算出來的，穩(wěn)定匹配對所有參與者都滿足激勵相容。

市場設(shè)計(jì)

醫(yī)生市場設(shè)計(jì)

羅斯的研究解釋了在醫(yī)生市場上為什么陳舊的、分散化的系統(tǒng)已經(jīng)失敗，以及被全國住院醫(yī)生匹配系統(tǒng)采用的新延遲接受機(jī)制為什么表現(xiàn)成功。然而，正如羅斯1999年描述的那樣，醫(yī)生市場結(jié)構(gòu)的變遷給NRMP帶來了新的復(fù)雜性，要求對其運(yùn)行機(jī)制進(jìn)行完善。從20世紀(jì)60年代開始，醫(yī)生市場上從醫(yī)學(xué)院畢業(yè)的醫(yī)生夫妻日益增加，他們通常繞過NRMP直接與醫(yī)院簽訂就業(yè)協(xié)議。一對夫妻可以視為一名綜合求職者，他們在同一地區(qū)需要兩份工作，其偏好違反了可替換性假定。羅斯研究發(fā)現(xiàn)，在存在夫妻醫(yī)生求職者較多的地區(qū)不存在穩(wěn)定的匹配。

“羅斯-佩朗森機(jī)制”。20世紀(jì)90年代，NRMP機(jī)制遭遇了司法挑戰(zhàn)。尤其是有人質(zhì)疑它基于雇主發(fā)起機(jī)制對醫(yī)院有利而不利于醫(yī)生。

前文提到，雙邊匹配理論表明，雇主發(fā)起機(jī)制對求職者不滿足激勵相容，理論上講，醫(yī)院可以通過操縱匹配機(jī)制獲利。然而，求職者發(fā)起機(jī)制只滿足對求職者的激勵相容。復(fù)雜的醫(yī)生市場涉及到求職者和醫(yī)院的互補(bǔ)性，這意味著匹配穩(wěn)定理論不能直接應(yīng)用。然而，模擬實(shí)驗(yàn)表明即使在復(fù)雜的環(huán)境下，匹配穩(wěn)定理論仍能提供參考意見?？傊?，看起來存在著堅(jiān)實(shí)的理由讓NRMP機(jī)制變更為求職者發(fā)起機(jī)制。

1995年，NRMP董事會聘請羅斯設(shè)計(jì)新的機(jī)制，設(shè)計(jì)的目標(biāo)是“建立一個能形成穩(wěn)定匹配，盡可能滿足求職者偏好，并滿足醫(yī)生市場特定約束的機(jī)制”。羅斯等設(shè)計(jì)的新機(jī)制，屬于求職者發(fā)起機(jī)制，并通過修訂滿足了夫妻醫(yī)生的求職需要，使夫妻醫(yī)生共同求職現(xiàn)象引發(fā)的不穩(wěn)定性消除。模擬實(shí)驗(yàn)表明，新機(jī)制比老機(jī)制更有利于求職者。自從1997年NRMP采用新機(jī)制以來，每年有超過2萬名醫(yī)生通過該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了就業(yè)。

學(xué)校招生機(jī)制

許多學(xué)生直接到他居住地的學(xué)校就讀。然而，有時學(xué)生有潛力進(jìn)入更好的學(xué)校。學(xué)生與學(xué)校的匹配要考慮到學(xué)生和家長的偏好，這是一個社會普遍關(guān)注的復(fù)雜問題。

一名申請學(xué)生可能優(yōu)先考慮上特定的學(xué)校（可能是他住在這所學(xué)校附近，或者是他的兄弟姐妹已在這所學(xué)校上學(xué)，或者是他在統(tǒng)考中獲得了高分）。在這種情況下，學(xué)校對學(xué)生也有選擇偏好，學(xué)校傾向于招收更具優(yōu)先權(quán)的學(xué)生。例如，在就讀學(xué)校方面，學(xué)生甲比學(xué)生乙具有優(yōu)先權(quán)，如果學(xué)校錄取了學(xué)生乙，那么學(xué)生甲至少要上一所不比學(xué)生乙差的學(xué)校，這樣才能滿足穩(wěn)定性。

學(xué)校招生模型與之前的雙邊模型分析的一個重要區(qū)別，在于學(xué)生的優(yōu)先性排序是基于客觀的量化指標(biāo)。在學(xué)校招生中，激勵相容問題并不必然產(chǎn)生，且學(xué)生的優(yōu)先性與普通的偏好排序并不具有相同的福利。有學(xué)者建議在學(xué)校招生中運(yùn)用申請人發(fā)起的延遲接受機(jī)制，這不僅能滿足對申請人的激勵相容，而且對申請人是最優(yōu)的。紐約市的公立高中2003年開始使用申請人發(fā)起的延遲接受機(jī)制招生，取得了理想的效果。

在2003年之前，紐約市的公立高中要求申請學(xué)生將填報的前五所學(xué)校志愿發(fā)給學(xué)校，學(xué)校決定錄取、拒絕或是讓其等待。整個錄取過程重復(fù)兩輪以上，對于三輪仍未被錄取的學(xué)生，由政府主管部門進(jìn)行直接分派。整個招生過程中出現(xiàn)了嚴(yán)重的堵塞問題，學(xué)生沒有足夠的機(jī)會來表達(dá)他們的偏好，學(xué)校也沒有充分的機(jī)會來發(fā)放錄取書。造成了紐約市公立高中招生市場的嚴(yán)重失靈，每年有超過3萬名學(xué)生不得不通過行政手段來分配學(xué)校。

上述招生過程顯然不滿足激勵相容。學(xué)校更傾向按照第一志愿來錄取，因此，如果一名學(xué)生覺得考入某校的可能性不大，他最優(yōu)戰(zhàn)略就是將錄取可能性最大的學(xué)校作為第一志愿。2003年，羅斯和他的同事們?yōu)榧~約市重新設(shè)計(jì)了招生系統(tǒng)，新系統(tǒng)運(yùn)用了申請人發(fā)起的延遲接受機(jī)制（算法），而且符合紐約市法律及習(xí)慣的要求。新機(jī)制滿足對申請人的激勵相容，即他們真實(shí)表達(dá)自己的偏好是他們的最優(yōu)選擇，招生堵塞問題也被解決。實(shí)施新招生系統(tǒng)的第一年，僅有3000名學(xué)生接受了行政分配的學(xué)校，相比之前減少了90%。

簡評

盡管沙普利和羅斯的匹配穩(wěn)定理論及市場設(shè)計(jì)實(shí)踐并不如金融市場的泡沫理論、套利理論般炙手可熱，但從克服市場失靈，提升資源配置效率角度看，這些理論及其應(yīng)用具有巨大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)的影響，對市場機(jī)制不完善的發(fā)展中國家更是如此。

（作者單位：武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 中國民生銀行）