嚴(yán)今石，樸勇杰，崔海蘭

（1.延邊教育出版社，吉林 延吉133000；2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；3.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

2－度量空間上具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的映射族的收縮型條件

嚴(yán)今石1，樸勇杰2＊，崔海蘭3

（1.延邊教育出版社，吉林 延吉133000；2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；3.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

利用新的收縮型條件，給出了完備的2－度量空間（X，d）上的自映射族｛Ti｝i∈N具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的定理.該結(jié)果推廣和改進(jìn)了很多2－度量空間上的收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

2－度量空間；柯西序列；收縮條件；公共不動(dòng)點(diǎn)

有關(guān)在2－度量空間上的自映射族具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的定理已有許多報(bào)道［1－7］，其中大部分所得結(jié)論都是在非常弱的收縮型或擬收縮型假設(shè)下得到的，而且沒有附加映射族滿足交換律、序列連續(xù)及在某一點(diǎn)一致有界［3］等條件，這些結(jié)果推廣和改進(jìn)了很多相關(guān)的結(jié)果.本文將引進(jìn)一種新的收縮型條件，并給出當(dāng)自映射族滿足一定條件時(shí)具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的定理，以進(jìn)一步推廣和完善公共不動(dòng)點(diǎn)理論.

1 基本概念

定義1 2－度量空間（X，d）是指1個(gè)集合和1個(gè)映射d∶X×X×X→［0，＋∞）滿足下列條件：① 對(duì)X中2個(gè)不同的元x，y，存在u∈X使得d（x，y，u）≠0；② 當(dāng)x，y，z中至少有2個(gè)相等時(shí)，d（x，y，z）＝0；③d（x，y，z）＝d（u，v，w），其中｛u，v，w｝是｛x，y，z｝的1個(gè)排列；④d（x，y，z）≤d（x，y，u）＋d（x，u，z）＋d（u，y，z），對(duì)任何x，y，z，u∈X.

定義2 2－度量空間X的1個(gè)序列｛xn｝為柯西序列是指對(duì)任何ε＞0，存在正整數(shù)N使得n，m＞N時(shí)，d（xn，xm，a）＜ε；即limn，m→＋∞d（xn，xm，a）＝0，對(duì)任何a∈X.

定義3 序列｛xn｝收斂于x∈X是指對(duì)任何ε＞0，存在正整數(shù)N使得n＞N時(shí)，d（xn，x，a）＜ε；即limn→＋∞d（xn，x，a）＝0，對(duì)任何a∈X，并簡(jiǎn)記為xn→x.

定義4 1個(gè)2－度量空間X被稱為完備的是指X中的每1個(gè)柯西序列都收斂.

下列引理可在文獻(xiàn)［4－7］中查到.

引理1 如果｛xn｝是2－度量空間的1個(gè)序列，并且存在h∈ ［0，1）滿足d（xn＋1，xn，a）≤hd（xn，xn－1，a），對(duì)任何a∈X和n＝1，2，…，則d（xn，xm，xl）＝0，對(duì)所有n，m，l∈N，且｛xn｝是柯西序列.

引理2 如果｛xn｝是2－度量空間中收斂于x的1個(gè)序列，則limn→＋∞d（xn，b，c）＝d（x，b，c），對(duì)任何b，c∈X.

2 定理及其證明

定理1 設(shè)（X，d）是完備的2－度量空間，｛Ti｝i∈N是X上的自映射族.如果存在使得對(duì)任何x，y，a∈X成立

其中ui，j（x，y，a）∈ ｛d（x，Tix，a），d（y，Tjy，a），d（x，Tjy，a），d（Tix，y，a），d（x，y，a）｝，則 自 映 射 族｛Ti｝i∈N在X中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明 任意選定x0∈X，并定義xn＋1＝Tn＋1xn，則可得到1個(gè)序列｛xn｝n∈N.對(duì)任何n∈N及a∈X，根據(jù)（1）式有

其 中un，n＋1（xn－1，xn，a） ∈ ｛d（xn－1，Tnxn－1，a），d（xn，Tn＋1xn，a），d（xn－1，Tn＋1xn，a），d（Tnxn－1，xn，a），d（xn－1，xn，a）｝.當(dāng)un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn－1，Tnxn－1，a）＝d（xn－1，xn，a）時(shí)，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn－1，xn，a）.當(dāng)un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn，Tn＋1xn，a）＝d（xn，xn＋1，a）時(shí)，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn，xn＋1，a）.因此，由k＜1可 知，d（xn，xn＋1，a）＝0 ≤kd（xn－1，xn，a）.當(dāng)un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（x，Tx，a）＝d（x，x，a）時(shí)，由（2）式和條件 ④ 得

由于d（xn－1，xn，xn＋1）＝d（Tnxn－1，Tn＋1xn，xn－1）≤kun，n＋1（xn－1，xn，xn－1），其中un，n＋1（xn－1，xn，xn－1）∈｛d（xn－1，Tnxn－1，xn－1），d（xn，Tn＋1xn，xn－1），d（xn－1，Tn＋1xn，xn－1），d（Tnxn－1，xn，xn－1），d（xn－1，xn，xn－1）｝＝｛d（xn－1，xn，xn＋1），0｝，因此由k＜1可推出，d（xn－1，xn，xn＋1）＝0.于是（3）式變成d（xn，xn＋1，a）≤k［d（xn－1，xn，a）＋d（xn，xn＋1，a）］，并得到d（xn，xn＋1，a）≤k1－kd（xn－1，xn，a）.當(dāng)un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（Tnxn－1，xn，a）＝d（xn，xn，a）＝ 0 時(shí)，（2）式 顯 然 變 成d（xn，xn＋1，a）＝ 0 ≤kd（xn－1，xn，a）.當(dāng)un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn－1，xn，a）時(shí)，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn－1，xn，a）.綜合上述結(jié)果可得

其中un，m＋1（u，xm，a）∈｛d（u，Tnu，a），d（xm，Tm＋1xm，a），d（u，Tm＋1xm，a），d（Tnu，xm，a），d（u，xm，a）｝＝｛d（u，Tnu，a），d（xm，xm＋1，a），d（u，xm＋1，a），d（Tnu，xm，a），d（u，xm，a）｝.當(dāng)un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，Tnu，a）時(shí)，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a）.于是由k＜1可得d（u，Tnu，a）＝0.當(dāng)un，m＋1（u，xm，a）＝d（xm，xm＋1，a）時(shí)，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（xm，xm＋1，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2、柯西條件和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）＝0.當(dāng)un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，xm＋1，a）時(shí)，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，xm＋1，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋ ∞，則由引理2和條件② 可得d（u，Tnu，a）＝0.當(dāng)un，m＋1（u，xm，a）＝d（Tnu，xm，a）時(shí)，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（Tnu，xm，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a），于是由k＜1得d（u，Tnu，a）＝0.當(dāng)un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，xm，a）時(shí)，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，xm，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）＝0.

綜合以上結(jié)果，得到d（u，Tnu，a）＝0，?n∈N.于是Tnu＝u，?n∈N，即證明了u是｛Ti｝n∈N的公共不動(dòng)點(diǎn).

如果v∈X也是｛T｝n∈N的公共不動(dòng)點(diǎn)，由于u＝T1u，v＝T2v，因此根據(jù)條件（1）得到對(duì)任何a∈X有d（u，v，a）＝d（T1u，T2v，a）≤ku1，2（u，v，a），其中u1，2（u，v，a）＝ ｛d（u，T1u，a），d（v，T2v，a），d（u，T2v，a），d（T1u，v，a），d（u，v，a）｝＝ ｛0，d（u，v，a）｝.因此由k＜1可推出d（u，v，a）＝0，?a∈X，于是u＝v，即證明了u是｛Ti｝n∈N的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

注記 本定理中采用的收縮型條件不同于本文參考文獻(xiàn)及相關(guān)論文中給出的收縮型條件.文獻(xiàn)中的條件主要采用了線性組合形式的收縮型條件，或用某種多元函數(shù)限制的收縮型條件，因此可以說本文利用新的收縮型條件得到的2－度量空間上的公共不動(dòng)點(diǎn)定理，是對(duì)公共不動(dòng)點(diǎn)理論的進(jìn)一步推廣和發(fā)展.

［1］Singh S L.Contractive type principles on 2－metric spaces and applications［J］.Math Sem Notes，1979，7：1－11.

［2］樸勇杰.2－度量空間上收縮型非交換自映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，32（1）：5－7.

［3］Yang Hansheng，Xiong Dasheng.A common fixed point theorem onp－metric spaces［J］.Yunnan Normal Univ：Natural Sci，2001，21（1）：9－12.

［4］樸勇杰.2－度量空間上具有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的擬收縮型非交換自映射族［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，23（5）：655－657.

［5］Piao Yongjie.Unique common fixed point of a family of self－maps with same type contractive condition in 2－metric space［J］.Anal Theo Appl，2008，24（4）：316－320.

［6］樸勇杰.2－度量空間上具有相同擬收縮型條件的自映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理［J］.南京大學(xué)學(xué)報(bào)：數(shù)學(xué)半年刊，2010，27（1）：82－87.

［7］Piao Yongjie.Uniqueness of common fixed points for a family of mappings withφ－contractive condition in 2－metric spaces［J］.Applied Mathematics，2012，3（1）：73－77.

A contractive condition of mappings having an unique common fixed point on 2－metric spaces

YAN Jin－shi1，PIAO Yong－jie2＊，CUI Hai－lan3
（1.YanbianEducationPublishingCompany，Yanji133000，China；2.DepartmentofMathematics，Collegeof
Science，YanbianUniversity，Yanji133002，China；3.JilinKoreanNationalityMiddleSchool，Jilin132021，China）

A ne wcontractive condition is considered，and an unique common fixed point theorem for self－mappings｛Ti｝i∈Non a 2－metric space（X，d）is given.The result generalizes and improves many unique common fixed point theorem for mappings with contractive conditions on 2－metric spaces.

2－metric space；Cauchy sequence；contractive condition；unique common fixed point

O189.11

A

1004－4353（2012）01－0017－03

2012－02－27＊通信作者：樸勇杰（1962—），男，理學(xué)博士，教授，研究方向?yàn)榉蔷€性分析.

吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（吉教科字號(hào)第2011［434］）