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（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605; 2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116023）

一類具有常K?hler角的四維復(fù)歐氏空間浸入環(huán)面

鄧?yán)?，侯中華2

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605; 2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116023）

在文獻(xiàn)［1］所做工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類浸入環(huán)面在K?hler角取常數(shù)情形下的存在性問題。根據(jù)其參數(shù)表示中坐標(biāo)多項(xiàng)式系數(shù)滿足的約束條件方程組，在系數(shù)n=1時(shí)找到了一類具有常K?hler角浸入環(huán)面的標(biāo)準(zhǔn)型，并根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)一步討論了Guass曲率等相關(guān)幾何性質(zhì)。

復(fù)歐氏空間;K?hler角;Guass曲率;平均曲率向量

復(fù)空間型曲面論是完整曲面論的重要組成部分，尤其是復(fù)歐氏空間中曲面性質(zhì)的研究，可以說為較高維實(shí)空間中的曲面探索提供了新的視野。B.Y.Chen揭示了復(fù)空間與實(shí)空間形式之間存在很多差異，其不變量系統(tǒng)相應(yīng)地也多一些，不但兩個(gè)正交向量X與Y之間的夾角要考慮，而且JX與Y之間的夾角（即K?hler角，J是復(fù)結(jié)構(gòu)）也要考慮。Ogata［2］將二維復(fù)空間中具有平行平均曲率向量的曲面的局部存在性歸結(jié)為一類含參數(shù)微分方程組的求解，而Katsuei Kenmostu與Detang Zhou［3］則進(jìn)一步地對K?hler角余弦值是否為常數(shù)及其不為常數(shù)時(shí)參數(shù)取值是否為零等各種情形進(jìn)行了討論，并找到一類新的具有平行平均曲率向量且K?hler角不為常數(shù)的曲面。本文也正是基于K?hler角是否為常數(shù)這一視角，對四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類浸入環(huán)面的存在性及性質(zhì)在相關(guān)的研究基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的討論。

1 K?hler角與復(fù)結(jié)構(gòu)

定義1［3］設(shè)M為實(shí)二維黎曼流形，X為二維復(fù)流形，映射x:M→X是M到X的浸入。設(shè){e1，e2}為M上一組正交標(biāo)架場，則稱Jdx（e1）與dx（e2）的夾角θ為K?hler角，其中J是X上的復(fù)結(jié)構(gòu)。

所謂V上的一個(gè)復(fù)結(jié)構(gòu)J是V到自身的一個(gè)線性變換J:V→V，使得J2=-id［4］。實(shí)質(zhì)上J是把向量乘以i。若命i·X=JX，則向量空間V成為復(fù)數(shù)域上的向量空間。反之，若V是復(fù)向量空間，命JX=iX，則把V當(dāng)作實(shí)向量空間時(shí)，J是V上的復(fù)結(jié)構(gòu)。

可以看到，K?hler角θ是M上的一個(gè)測量函數(shù)，它不依賴于M上正交標(biāo)架場的選取。

2 K?hler角為常數(shù)時(shí)浸入環(huán)面的存在性

研究對象為四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類浸入環(huán)面，其參數(shù)表示如下:

于是有以下定理:

3 具有常K?hler角的浸入環(huán)面的性質(zhì)

定理2設(shè)環(huán)面的參數(shù)表示如式（1），其中fk（1≤k≤4）均為實(shí)系數(shù)的二元多項(xiàng)式（如式（3）），且滿足式（2）。當(dāng)n=1時(shí)，若具有常K?hler角，則其Guass曲率等于零。

可以看到，這類浸入環(huán)面與標(biāo)準(zhǔn)平環(huán)一樣是平坦的，即Guass曲率為0。通過計(jì)算還可得知其平均曲率向量為

定理3設(shè)環(huán)面的參數(shù)表示如式（1），其中fk（1≤k≤4）均為實(shí)系數(shù)的二元多項(xiàng)式（如式（3）），且滿足式（2）。設(shè)（1≤i≤4）定義分別如式（7）、式（8），λi（1≤i≤4）表示的長度;設(shè)具有常K?hler角，若λ2，λ3，λ4至少有一個(gè)為0，則具有平行的第二基本形式和平行的平均曲率向量;若滿足λ2=λ3=λ4，則→S具有平行的平均曲率向量。

4 結(jié)語

本文研究對象是四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類浸入環(huán)面，且在文獻(xiàn)［1］所做工作的基礎(chǔ)上，從K?hler角余弦值是否為常數(shù)的角度探討了浸入的存在性;對已有的多項(xiàng)式系數(shù)滿足的約束條件方程組，在多項(xiàng)式系數(shù)n=1時(shí)找到了一類具有常K?hler角的浸入環(huán)面并給出了其標(biāo)準(zhǔn)型，根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)一步討論了Guass曲率等幾何性質(zhì)。

［1］鄧?yán)?，侯中華.四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類浸入環(huán)面［J］.大連民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，12（1）:40-43.

［2］OGATA T.Surfaces with parallel mean curvature in［J］.Kodai Math.J，1995，18:397-407.

［3］KENMOSTU Katsuei，ZHOU Dengtang.The classification of the surfaces with parallel mean curvatures vector in two-dimensional complex space forms［J］.American Journal of Mathematics，2000，122:295-317.

［4］陳省身，陳維桓.微分幾何講義［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2001.

［5］PENG Silong.Construction of two-dimensional compactly supported orthogonal wavelets filters with linear phase［J］.Acta Mathematica Sinica:English Series，2002，18（4）:719-726.

［6］紀(jì)永強(qiáng).子流形幾何［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

Torus of Constant K?hler Angle Immersed into the Four-dimensional Complex Euclidean Space DENG Li-ling1，HOU Zhong-hua2

（1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China; 2.School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116023，China）

In this paper，the existence problem of one type of torus of constant K?hler angle immersed into the four-dimensional Complex Euclidean Space is studied.Based on the constraint equations of coordinate polynomial coefficients in its parametric expression，the standard form can be found when n is equal to 1，according to which some related geometric qualities such as Guass curvature and so on are discussed further.

complex euclidean space;K?hler angle;Guass curvature;mean curvature vector

O186

A

1009-315X（2012）01-0050-03

2011-07-12;最后

2011-07-25

鄧?yán)妫?982-），女，遼寧大連人，助教，主要從事微分幾何、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

（責(zé)任編輯 鄒永紅）