王 娟，徐國凱，杜海英，劉志遠(yuǎn)

(1.大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院，遼寧，大連116605;

2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，黑龍江哈爾濱 150001)

用滾動(dòng)時(shí)域H∞跟蹤控制實(shí)現(xiàn)的混沌同步化

王 娟1，徐國凱1，杜海英1，劉志遠(yuǎn)2

(1.大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院，遼寧，大連116605;

2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，黑龍江哈爾濱 150001)

用滾動(dòng)時(shí)域H∞跟蹤控制方法對(duì)一類連續(xù)時(shí)間混沌系統(tǒng)的控制與同步進(jìn)行研究。在采樣點(diǎn)將受控系統(tǒng)關(guān)于目標(biāo)系統(tǒng)線性化展開得到誤差模型，然后設(shè)計(jì)H∞跟蹤控制器。在每個(gè)采樣時(shí)刻，通過在線調(diào)節(jié)參數(shù)和重復(fù)求解LMI優(yōu)化問題，獲得最新的控制動(dòng)作，使閉環(huán)系統(tǒng)能實(shí)時(shí)協(xié)調(diào)控制性能(跟隨性能和干擾抑制性能)和控制約束，并充分利用有限的控制能力提高跟蹤性能。

混沌同步;H∞性能;硬約束;魯棒性

混沌同步問題［1］可以看成一類讓被控制系統(tǒng)混沌軌跡按目標(biāo)系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)的控制問題［2－3］。迄今已提出的實(shí)現(xiàn)混沌同步的諸多方法中［4－6］，很少考慮有控制約束系統(tǒng)的同步問題。從執(zhí)行機(jī)構(gòu)的物理限制考慮，調(diào)節(jié)手段不可能實(shí)現(xiàn)無限制的調(diào)節(jié)。按無約束情況設(shè)計(jì)的控制器將會(huì)降低閉環(huán)系統(tǒng)性能，或產(chǎn)生不期望的響應(yīng)。因此研究控制輸入信號(hào)受約束的控制同步算法是有實(shí)際意義的。由于混沌信號(hào)具有類似隨機(jī)信號(hào)的特點(diǎn)，噪聲對(duì)混沌信號(hào)的干擾程度會(huì)比較大，這對(duì)混沌系統(tǒng)同步將產(chǎn)生直接的影響。所以在混沌同步中加入噪聲研究同樣具有十分重要的意義，文獻(xiàn)［7］就在仿真過程中人為的加入噪聲信號(hào)進(jìn)行研究，但是沒有給出魯棒穩(wěn)定性證明。

本文采用滾動(dòng)時(shí)域H∞跟蹤控制方法設(shè)計(jì)控制器，解決了約束系統(tǒng)的同步魯棒性問題。首先在采樣點(diǎn)將受控系統(tǒng)關(guān)于目標(biāo)系統(tǒng)線性化展開得到誤差模型，設(shè)計(jì)H∞跟蹤控制器，將當(dāng)前時(shí)刻的控制作用于對(duì)象。然后在下一個(gè)采樣時(shí)刻基于新的狀態(tài)測(cè)量值重復(fù)上述過程。控制算法通過在線調(diào)節(jié)參數(shù)和滾動(dòng)優(yōu)化協(xié)調(diào)同步性能要求和控制約束，充分利用有限的控制量提高跟蹤性能，使系統(tǒng)在有噪聲干擾和控制約束的情況下，能夠保持良好的跟蹤控制與同步性能。

1 問題描述

考慮兩個(gè)混沌系統(tǒng)

其中系統(tǒng)(1)為受控系統(tǒng)，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，z(t)∈Rp為系統(tǒng)輸出，w(t)∈Rm1為擾動(dòng)輸入，u(t)∈Rm2為控制輸入。系統(tǒng)(2)為目標(biāo)系統(tǒng)，xd(t)∈Rnd，zd(t)∈Rpd分別為狀態(tài)向量和輸出向量。

由于混沌現(xiàn)象是在確定性的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的非周期、不收斂但有界的類隨機(jī)過程。受控系統(tǒng)的非線性模型關(guān)于目標(biāo)系統(tǒng)(zd，xd，0，0)，線性化展開后可以表示成下面的多模型形式

其中xe=x－xd，θ=g(xd)是和目標(biāo)系統(tǒng)有關(guān)的參數(shù)變量。

對(duì)于系統(tǒng)(3)，定義從輸入w到輸出ze的H∞范數(shù)為

其中w∈L2表示w是能量有界信號(hào)，即

問題描述為:對(duì)于給定的目標(biāo)系統(tǒng)(zd(t)，xd(t)，0，0)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制使得閉環(huán)受控系統(tǒng)達(dá)到漸近跟蹤目標(biāo)系統(tǒng)，并且從擾動(dòng)w到跟蹤誤差ze=z－zd的H∞范數(shù)‖G‖∞不大于γ，控制量滿足|ui(k)|≤ui，max，?K≥0，i=1，2，…m2。

2 滾動(dòng)時(shí)域H∞跟蹤控制混沌同步

由狀態(tài)反饋(6)控制的非線性混沌系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)為

如果對(duì)于系統(tǒng)(3)結(jié)論成立，可得:

①閉環(huán)受控系統(tǒng)達(dá)到漸近跟蹤目標(biāo)系統(tǒng);

②如果擾動(dòng)滿足(9)，則控制量滿足控制約束;

③從擾動(dòng)w到跟蹤誤差ze的H∞范數(shù)保證不大于 γ，γ =max{γ0，γ1，…}。

根據(jù)預(yù)測(cè)控制的滾動(dòng)優(yōu)化原理，將控制器(6)作用于系統(tǒng)至下個(gè)采樣時(shí)刻，用實(shí)時(shí)狀態(tài)刷新LMI優(yōu)化問題(4)并在線重復(fù)求解。具體的滾動(dòng)時(shí)域算法如下:

第一步:初始化;令k=0。

第二步:在k時(shí)刻，給定α=0，r=r0，求解LMI優(yōu)化問題(4)。若(4)有解，則將狀態(tài)反饋(7)作用于系統(tǒng);若(4)沒有解，則增加值，重新求解優(yōu)化問題。

第三步:k=k+1，返回第二步。

3 仿真結(jié)果

下面通過一個(gè)例子來說明以上提出的H∞跟蹤控制律設(shè)計(jì)方法的有效性?？紤]混沌Jerk方程為

其中 A，B，C，D 為系統(tǒng)參數(shù)，取 x=x1，它的狀態(tài)方程為

當(dāng)受控系統(tǒng)的參數(shù)取為 A=1，B=3.5，C=9.6，D= －1初始狀態(tài)x1=1，x2=1和x3= －1;目標(biāo)系統(tǒng)的參數(shù)取為{Ad=1，BD=3.5，Cd= －5.5，Dd=1}，初始狀態(tài) xd1=0，xd2=2和xd3=0時(shí)，兩系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

如圖1、2是在受控系統(tǒng)上加入控制項(xiàng)B2u(t)，和擾動(dòng)項(xiàng)B1w(t)。取 r=20，a=0，控制量約束 umax=40，w(t)=sin(t)，B1=［0 0 1］TB2=［0 0 0.6］T，C1(θ)=diag{0.1，0.1，1}，D1=0，D2=［0 0 1］T。求解 LIM(4)，得到控制輸入作用于系統(tǒng)(1)。由圖1的結(jié)果表明系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)給定參考輸入信號(hào)的同步跟蹤，并且圖2顯示控制輸入量始終保持在約束范圍之內(nèi)。

當(dāng)不考慮控制量約束時(shí)，求解LIM(4)、(5a)、(5c)和(5d)得到控制輸入，如圖3、4，給出了20 s的仿真圖。從圖中可以看出為了達(dá)到同步系統(tǒng)的高跟隨性能，控制輸入遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了約束(執(zhí)行機(jī)構(gòu)的物理限制)范圍。

圖1 同步誤差曲線

圖2 控制輸入

圖3 無約束系統(tǒng)同步誤差曲線

4 結(jié)論

用滾動(dòng)時(shí)域H∞跟蹤控制方法設(shè)計(jì)同步控制器，可以通過在線調(diào)節(jié)參數(shù)和滾動(dòng)優(yōu)化協(xié)調(diào)同步性能要求和控制約束，避免控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過于保守。不同于以往的同步方法，該控制方法同時(shí)考慮了控制約束和干擾抑制性能，能夠充分利用控制能力提高跟蹤控制性能，提高了受控系統(tǒng)抑制干擾的能力，又改善了控制系統(tǒng)的魯棒性。仿真的對(duì)比結(jié)果表明，這種優(yōu)化控制方法具有很好的控制效果。

［1］胡崗，蕭井華，鄭志剛.混沌控制［M］.上海:上海科技教育出版社，2000.

［2］KOCAREV L，SHANG A，CHUA LO.Transitions in dynamical regimes by driving:a unified method of control and synchronization of chaos［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1993，3(2):479 －483.

［3］CW WU，LO CHUA.A unified framework for synchronization and control of dynamical systems［J］.Int.J.Bifurc.Chaos，1994，4(4):979 – 998.

［4］KOCAREV L，PARLITOZ V .General approach for chaotic synchronization with applications to communication［J］.Physics Review Letters，1995，74(25):5028－5031.

［5］SHAHVERDIEV EM，SIVAPRAKASAM S，SHORE K A.Lag synchronization in time － delayed systems［J］.Phys.Lett.A，2002，292(6):320 －324.

［6］PECORA L M，CARROLL T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Physical Review Letters 1990，64(8):821－824.

［7］劉福才，王娟，彭海朋，等.Henon混沌系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制與同步［J］.物理學(xué)報(bào)，2002，51(9):1954－1959.

Chaotic Synchronization of Tracking Control Scheme by the Moving Horizon H∞

WANG Juan1，XU Guo －kai1，DU Hai－ying1，LIU Zhi－yuan2
(1.College of Electromechanical and Information Engineering，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;
2.Department of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin Heilongjiang 150001，China)

This paper is focused on the tracking control and synchronization of chaotic nonlinear dynamic systems by using the moving horizon H∞tracking control scheme.The goal system around controlled system to form an error system model is linearized firstly，and then the H∞tracking control law at each sampling time is designed.In order to obtain actual control，The parameters are adjusted suitably and solve the LMI optimization problem on－line at next sampling time is solved.The closed－loop system is able to manage the trade－off between requiring high performance(tracking and disturbance rejection)and satisfying control constraints，and hence make the most of the limited control to achieve good performance.

chaotic synchronization;H∞performance;hard constraints;robustness

Tp273

A

1009－315X(2012)01－0024－04

2011－09－13;最后

2011－10－11

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資助基金(DC10010104，DC10020116)。

王娟(1975－)，女，黑龍江齊齊哈爾人，講師，博士，主要從事非線性預(yù)測(cè)控制理論及應(yīng)用研究。

(責(zé)任編輯 劉敏)