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        Gauss-Markov結(jié)構(gòu)下GM估計(jì)關(guān)于線性變換的不變性

        2012-01-11 07:01:08謝振中李春雷
        關(guān)鍵詞:內(nèi)積邵陽回歸系數(shù)

        謝振中,李春雷

        (邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系,湖南 邵陽 422000)

        給出Gauss-Markov結(jié)構(gòu)

        (1)

        T=A'Y

        (2)

        這里A是任意n×m階矩陣. 這時(shí)直接討論可估函數(shù)的GM估計(jì)就顯得十分困難,為此有必要對模型(1)進(jìn)行線性變換,在進(jìn)行線性變換后的模型結(jié)構(gòu)下討論可估函數(shù)的GM估計(jì),一般來說,變換后的GM估計(jì)要發(fā)生改變,文獻(xiàn)[1]采用兩步最小二乘法分析了在rank(A)=m,且rank(A'X)=rank(X)=p下線性變換T=A'Y給回歸系數(shù)β的GM估計(jì)所帶來的影響.本文將文獻(xiàn)[1]中的條件減弱為rank(A'X)=rank(X),在此情況下討論了線性變換后對GM估計(jì)所產(chǎn)生的偏差,并且給出同一可估函數(shù)的GM估計(jì)具有不變性的充分必要條件.

        1 兩個(gè)引理

        對于模型(1),作線性變換T=A′Y,并假定

        rank(A′X)=rank(X).

        引理1 在線性變換(2)下,可估函數(shù)c′β的GM估計(jì)c′β*等于模型:

        (3)

        的GM估計(jì).其中H=VA,PH表示關(guān)于內(nèi)積=a′V-1b向空間u(H)的正交投影,即

        PH=H(H′V-1H)-H′V-1.

        證明 由E(T)=A′Xβ,Var(T)=A′VA,于是得線性模型:

        (4)

        當(dāng)rank(A)0可知u(A′X)?u(A′)=u(A′VA).因此可取U=0,即W=A′VA,于是

        其中H=VA,PH表示關(guān)于內(nèi)積=a′V-1b向空間u(H)的正交投影,即PH=H(H′V-1H)-H′V-1,引理1得證.

        下面用增加偽變量的方法來考察,有如下引理.

        引理2c′β*為下列模型(5)中c′β的GM估計(jì)

        (5)

        其中Z是滿足

        rank(A)+rank(Z)=n且Z′A=O

        (6)

        的任意矩陣.

        證明 不妨設(shè)Z是列滿秩的,于是(6)式等價(jià)PZ+PH=I,其中PZ=Z(Z′V-1Z)-1Z′V-1,I是n階單位矩陣,于是由引理1知,c′β*是下列模型:

        Y=(I-PZ)Xβ+ε

        (7)

        中c′β的GM估計(jì).而模型(5)中,c′β可估,且其GM估計(jì)為

        (8)

        上式與g一逆的取法無關(guān),由文獻(xiàn)[2]中定理1.2.5得

        (9)

        這個(gè)估計(jì)就是模型(7)中c′β的GM估計(jì)c′β*.引理2得證.

        2 主要結(jié)果及證明

        定理1 線性交換給回歸系數(shù)帶來的偏差為

        若rank(A′X)=rank(X),由R的定義及文獻(xiàn)[2]中定理1.1.2和文獻(xiàn)[3]中的定理9可得如下推論:

        (10)

        證明 由于u(X′A)=u{X′A(A′V-1A)-A′X},故

        又由推論2可得

        從而定理2得證.

        定理3 若rank(A′X)=rank(X),則c′β*為模型(1)中c′β的GM估計(jì)當(dāng)且僅當(dāng)c∈u{X′V-1X(X′V-1Z)⊥},其中符號B⊥表示任意滿足B′B⊥=O且具有最大秩的矩陣.

        證明 由推論2及定理2可知,若rank(A′X)=rank(X),則對任意c∈u(X′),有

        從而定理3得證.

        參考文獻(xiàn):

        [1]Gaude E.del PINO,Liner restrictions and two step least squares with applications[J].Statistics probability Litters,1994(2).

        [2]王松桂.線性模型的理論及應(yīng)用[M].合肥:安徽教育出版社,1987.

        [3]Margsaglia.G.A.and Styan,G. P.H.Equalities and inequalities for rangs of Matrices[J].Liner and Multiliner Algebra,2001(2).

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