周明旺

(連云港師范高等?？茖W校 數(shù)學系,江蘇 連云港 222006)

高等幾何是師范院校數(shù)學教育專業(yè)的重要基礎課之一,在群論觀點下完善幾何理論體系、更新思想觀念、訓練思維方法、對培養(yǎng)探求知識能力起著重要作用.而且?guī)缀误w系的建立與完善只有通過幾何群論觀點的熏陶,才能夠準確地認識幾何空間的特征、研究方法及內(nèi)在聯(lián)系,確認幾何學的本質(zhì),進而居高臨下地認識初等幾何的內(nèi)涵與外延,更深入地掌握并指導初等幾何的教學與研究.

下面將通過實例就仿射變換在指導初等幾何教學應用中的獨特性、巧妙性和靈活性加以分析、闡述.

1 預備知識

定義2 經(jīng)過任何仿射變換不改變的數(shù)量叫做仿射不變量.

引理1 仿射變換保持同素性,結合性,平行性不變.

定理1 在仿射變換下,任意兩封閉圖形面積之比不變.

2 主要結果

2.1 利用仿射變換求最值問題

例1 求橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值.

例2 求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.

解采用與例1類似的方法,可求得橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab(a,b分別為橢圓的長半軸與短半軸).

2.2 利用仿射變換證明問題

例3 設A,B分別是橢圓在坐標軸上的兩個頂點,C為線段AB的中點,則過射線OC與橢圓的交點的切線平行于AB.

證明如圖1所示,在仿射變換φ下由仿射變換φ的性質(zhì),C'為A'B'的中點.再由圓的性質(zhì)知l'∥A'B'.從而,由仿射變換φ保持平行性知l∥AB.

圖1 橢圓的φ仿射變換

例4 (阿波羅定理) 以橢圓一對共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的面積為定值.

事實上,圓O'中以共軛半徑為鄰邊的平行四邊形都是面積相等的正方形.由仿射性質(zhì)知

即S=S.由于其任意性得證,且定值為以橢圓半軸為鄰邊的矩形面積ab.

圖2 以橢圓一對共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的φ仿射變換

通過以上各例可以看出,利用仿射變換的性質(zhì),其解題思路簡潔明了;若用初等幾何的方法就比較困難.

3 結語

髙等幾何的學習不僅是幾何體系完整性的要求,而且對于在群論觀點下幾何觀念的樹立具有獨特作用,尤其是髙等幾何所提供的豐富的數(shù)學思想對指導初等幾何教學研究意義深遠.

參考文獻：

[1]梅向明,劉增賢,林向巖.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[2]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]馮福存.仿射性質(zhì)求橢圓內(nèi)接三角形的最大面積[J].綿陽師范學院學報,2009,28(11):5-11.

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