劉曉亞

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

脈沖微分方程是微分方程理論中一個(gè)新的重要分支，具有廣泛的物理背景和現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)模型，成為近年來一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域[1].對于脈沖微分方程周期邊值問題正解的存在性，已有很多報(bào)道[2-3].文[2]在R中運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了問題

(1)

正解的存在性.本文應(yīng)用更為精致的凝聚錐映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，在一般抽象Banach空間E中討論脈沖微分方程周期邊值問題(PBVP)

(2)

1 預(yù)備知識(shí)及引理

令

PC1(J,E)={u|u∈PC(J,E),u′∈PC(J,E)}，

引理2[6]設(shè)B={un}?PC(J,E)有界，則α(B(t))在J上可測，且

引理3[7]設(shè)D?E有界，則存在D的可正數(shù)子集D0，使得α(D)≤2α(D0).

引理4對?h∈PC(J,E),M>0,yk∈E,k=1,2,…,m,線性周期邊值問題

(3)

存在唯一解u∈PC1(J,E)，且

(4)

其中，

(5)

證明對h∈PC(J,E)，x∈E及yk∈E,k=1,2,…，m，線性初值問題

(6)

存在唯一解u∈PC1(J,E)，且

(7)

其中M>0是常數(shù),詳見文[8].

若初值問題(6)的解u還滿足u(ω)=x,即

則u為線性周期邊值問題(3)的解，代入(7)式，得

反過來，可直接驗(yàn)證由(4)式定義的u∈PC1(J,E)為線性周期邊值問題(3)的解.

顯然PC(J,E)也是一個(gè)有序Banach空間，其中的關(guān)系“≤”是由非負(fù)函數(shù)錐

PC(J,K)={u∈PC(J,E)|u(t)≥θ,t∈J}

導(dǎo)出的，且錐PC(J,K)也是正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)仍為N.

作算子A:PC(J,K)→PC(J,K)如式(8),

(8)

則A:PC(J,K)→PC(J,K)連續(xù)，且方程(2)的解等價(jià)于A的不動(dòng)點(diǎn).與普通常微分方程比較，在一般Banach空間中，積分算子A不再具有緊性，為了對A應(yīng)用凝聚映射的拓?fù)涠壤碚摷跋嚓P(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理，通常要給f及Ik附加一些用非緊性測度描述的“緊性條件”.為此，本文提出假設(shè)條件：

P0?R>0,f(J×KR),Ik(KR)有界且存在常數(shù)L>0,及Mk≥0,使得對?t∈J，可數(shù)集D?KR，有

α(f(t,D))≤Lα(D),α(Ik(D))≤Mkα(D),k=1,2,…,m,

引理5假設(shè)條件P0成立，則由(8)式定義的算子A:PC(J,K)→(J,K)凝聚.

證明任取非相對緊的有界集B?PC(J,K),由A的定義，A(B)有界且等度連續(xù)，由引理3知，存在可數(shù)集B1={un}?B,使得α(A(B))≤2α(A(B1)).對?t∈J,由引理2及假設(shè)P0有

因A(B1)等度連續(xù)，由引理1知,

因此，A:PC(J,K)→PC(J,K)為凝聚映射.

由(5)式易知，Green函數(shù)G(t,s)具有性質(zhì):

(i)G(t,s)>0,t,s∈J;

(ii)G(t,s)≥σG(τ,s),t,s,τ∈J,其中σ=e-Mω.

取PC(J,K)的子錐

P={u∈PC(J,K)|u(t)≥σu(τ),?t,τ∈J}.

(9)

按性質(zhì)(i)與性質(zhì)(ii)易證A(PC(J,K))?P,因此，A:P→P為凝聚映射，方程(2)的正解等價(jià)于A在P中的非零不動(dòng)點(diǎn)，對0Pr，則A在Pr,R的不動(dòng)點(diǎn)為方程(2)的正解.本文將在Pr,R上用凝聚錐映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論尋找A的不動(dòng)點(diǎn).

引理6[9]設(shè)A:P→P為凝聚映射，r>0,若A滿足u≠λAu,?u∈?Pr,0<λ≤1，則不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(A,Pr,P)=1.

引理7[9]設(shè)A:P→P為凝聚映射，r>0,若存在v0∈P,v0≠θ,使得u-Au≠τv0,?u∈?Pr,τ≥0,則不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(A,Pr,P)=0.

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐K為正規(guī)錐，設(shè)f:J×K→K連續(xù)，Ik:K→K連續(xù)，k=1,2,…,m,滿足假設(shè)P0，若條件P1或P2成立，則PBVP(2)至少存在一個(gè)正解.

證明只需證明由(8)式定義的凝聚映射A:P→P存在非平凡不動(dòng)點(diǎn).取0

情形1條件P1成立的情形，取0

u≠λAu,?u∈?Pr,0<λ≤1.

(10)

反設(shè)(10)式不成立，則存在u0∈?Pr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Au0,按A的定義，u0滿足微分方程

(11)

方程(11)的第1式兩邊在J上積分，并結(jié)合第2、3式得

因?yàn)閡0∈P,按錐P的定義有

u0(t)≥σu0(s),u0(tk)≤u0(s)/δ,?t,s∈J,

故有

i(A,Pr,P)=1.

(12)

取e∈K,使‖e=1‖,令v0(t)≡e,顯然v0∈P,以下證明當(dāng)R充分大時(shí)有

u-Au≠τu0,?u∈?PR,τ≥0.

(13)

假設(shè)存在u0∈P,τ0≥0使得u0-Au0=τ0v0,則Au0=u0-τ0v0,按A的定義，u0滿足微分方程

(14)

因此按條件P1的2)，有

若b>M，則由u0∈P,有u0(t)≥σu0(s),u0(tk)≥σu0(s),?t,s∈J,故有

若b≤M，則由u0∈P,有u0(t)≤u0(s)/σ,u0(tk)≥σu0(s),?t,s∈J,故有

取R>max{R1,R2,r}，則(13)式成立，由引理7有

i(A,PR,P)=0.

(15)

于是按不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的區(qū)域可加性及式(12)、(15),有

i(A,Pr,R,P)=i(A,PR,P)-i(A,Pr,P)=-1≠0.

因此，由可解性，A在Pr,R中存在不動(dòng)點(diǎn)，該不動(dòng)點(diǎn)為方程(2)的正解.

情形2條件P2成立的情形，類似于情形1的證明.

[1] Lakshmikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of Impulsive Differential Equations[M].Singapore：World Scientific,1989.

[2] Li Xiaoyue,Lin Xiaoning,Jiang Daqing,et al.Exsistence and multiplicity of positive periodic solutions to functional differential equations with impulse effects[J].Nonlinear Anal,2005,62(4):683-701.

[3] Liu Yuji.Positive solutions of periodic boundary value problems for nonlinear first-order impulsive differential equation[J].Nonlinear Anal,2009,70(5):2106-2122.

[4] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1989：3-5.

[5] 郭大鈞，孫經(jīng)先.抽象空間常微分方程[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1989：3-5.

[6] Heinz H P.On the behaviour of measure of noncompactness with respect to differentiation and integration of rector-value functions[J].Nonlinear Anal,1983,7(12):1351-1371.

[7] 李永祥.抽象半線性發(fā)展方程初值問題解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(6)：1089-1094.

[8] Li Yongxiang,Liu Zhe.Monotone iterative technique for addressing impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinear Anal,2007,66(1):83-92.

[9] 余慶余.半序Banach空間中凝聚映射及其正不動(dòng)點(diǎn)[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1979，15(3)：1-5.