劉雁鳴

(武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

在微積分誕生后，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)成為可能.數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的，但函數(shù)在連續(xù)點處卻不一定可導(dǎo).由此數(shù)學(xué)家們猜想連續(xù)函數(shù)在其定義域上，除去至多可數(shù)個點外都是可導(dǎo)的.直到十九世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谥铝τ谧C明這一猜想.數(shù)學(xué)家Weierstrass在1872年利用函數(shù)項級數(shù)第一個構(gòu)造出了處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)(后人稱之為Weierstrass函數(shù))[1-3]：

雖然對上述猜想給出了否定的回答.但是Weierstrass給出的這個函數(shù)，其處處連續(xù)但卻處處不可導(dǎo)的性質(zhì)的證明較為復(fù)雜[2-4].1930年，荷蘭數(shù)學(xué)家Van der Waerden給出了另外一個例子，雖然這個例子仍然采用了Weierstrass的思想方法，但它的證明確比較簡單[5-6].美國數(shù)學(xué)家Bush在1952年也給出了直接構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的例子[7].

本文在仔細(xì)研究前人工作的基礎(chǔ)上，推廣了用級數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的方法，以及用定義函數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的方法.本文分為三部分，第二部分給出了級數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的方法及其證明，推廣了Van der Waerden的方法；第三部分給出了直接定義函數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的方法及其證明，推廣了Bush的方法.

1 運用級數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)

Van der Waerden給出的例子為：

下面給出一般地構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的方法.

現(xiàn)考慮函數(shù)F(x)在任意一點x的可導(dǎo)性.由于F(x)的周期性，不妨設(shè)0

當(dāng)n≥m時，ψ(an(x+hm))=ψ(anx+anhm)=ψ(anx±an-m)=ψ(anx)，上式第二項為零.所以：

當(dāng)n=0,1,2,…,m-1時，在anx的表示中am的位置是第m-n位小數(shù)，anx=a1a2…an·an+1an+2…am…，an(x+hm)=a1a2…an·an+1an+2…(am±1)….

ψ(an(x+hm))-ψ(anx)=±lanhm.

2 直接定義函數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)

設(shè)a為大于3的正整數(shù)，x是區(qū)間[0,1]上的任意實數(shù).將x表示為a進(jìn)制小數(shù).

(1)

其中xk在集合{0,1,2,…,a-1}中取值.如果x為有限小數(shù)，則在后面添上無窮多個零.

又設(shè)b=a-1，利用b進(jìn)制小數(shù)定義函數(shù)S(x)如下：

(2)

其中：y1=1，當(dāng)k>1時，yk=0或者1.具體如下：

首先，函數(shù)S(x)的定義是合理的.盡管某些a進(jìn)制小數(shù)x可能有兩種表示法，比如：

是x的兩種a進(jìn)制小數(shù)表示，規(guī)定只取第一種形式的表示.這樣對于給定的x，函數(shù)S(x)是唯一確定的.

這樣就證明了函數(shù)S(x)在點x處右連續(xù).同理可證函數(shù)S(x)在點x處左連續(xù).這樣就證明了S(x)是在[0,1]上連續(xù)函數(shù).

最后，證明S(x)是在[0,1]上處處不可導(dǎo).設(shè)x是區(qū)間[0,1]上的任意實數(shù)，的a進(jìn)制小數(shù)表示與S(x)的b進(jìn)制表示分別為式(1)和式(2).構(gòu)作數(shù)列{x(n)}使得x(n)∈[0,1]，其a進(jìn)制小數(shù)表示為：

[1] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第2卷)[M].8版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] Falconer K J.Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications[M].John Wiley & Sons,1990.

[3] 黎姿.泛函分析講義[M].北京：科學(xué)出版社，1963.

[4] Wen, Liu. A nowhere differentiable continuous function constructed by infinite products[J].Amer Math Monthly,2002,109(4):378-380.

[5] B L van der Waerden,Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferenzierbaren stetigen Funktion[J].Math Zeit,1930,32(1):474-475.

[6] Nanjundiah T S. The nowhere-differentiable continuous functions of Weierstrass and Van der Waerden[J].Math Student,2008,77(1/4):193-196.

[7] Bush K A. Continuous functions without derivatives[J].Amer Math,Monthly,1952,59:222-225.