郭繼發(fā)，崔偉宏

1.天津師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，天津300387；2.中國(guó)科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所，北京100101

高階模糊地理現(xiàn)象建模和度量研究

郭繼發(fā)1，崔偉宏2

1.天津師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，天津300387；2.中國(guó)科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所，北京100101

模糊地理現(xiàn)象的建模和度量方法已經(jīng)取得一些進(jìn)展，但是現(xiàn)有的模型不能度量隸屬度的誤差，不足以客觀描述復(fù)雜的模糊地理現(xiàn)象。認(rèn)為尺度效應(yīng)和測(cè)量誤差是客觀上引起模糊地理現(xiàn)象隸屬度誤差的主要方面，相關(guān)人員的主觀性和部門間標(biāo)準(zhǔn)的差異性是主觀上引起隸屬度誤差的主要方面。基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集理論建立模糊地理對(duì)象模型，研究區(qū)間Ⅱ－型模糊線長(zhǎng)度、區(qū)間Ⅱ－型模糊面面積的度量方法和它們隸屬度誤差的度量方法。該模型能表達(dá)隸屬度誤差，克服現(xiàn)有模型的諸多缺陷。在自然災(zāi)害分析、全球變化和植被變化等方面有良好的應(yīng)用前景。

多尺度；高階模糊性；區(qū)間Ⅱ－型模糊集；不確定性；度量

1 引 言

模糊性是復(fù)雜地理空間中許多現(xiàn)象和實(shí)體的共性，如自然災(zāi)害區(qū)域或孕災(zāi)環(huán)境的范圍。對(duì)于空間對(duì)象的形狀模糊性，許多文獻(xiàn)用不同的詞匯來描述：具有不確定邊界的對(duì)象［1］、模糊空間對(duì)象［2］、寬邊界對(duì)象［3］。模糊地理現(xiàn)象的描述方法可分為以下幾種：① 從模糊邊界的角度研究連續(xù)場(chǎng)中的模糊現(xiàn)象［4－5］；② 從模糊對(duì)象的角度，包括三值邏輯［6］、模糊邏輯［7－9］；③ 基于其他理論的模糊空間現(xiàn)象建模，包括粗糙集理論和灰集理論［10－13］，基于這些模型討論了模糊對(duì)象的拓?fù)?、方向、距離等空間關(guān)系。這些表達(dá)方法或模型存在的共同缺陷是只能表達(dá)單一尺度下的地理特征而不能表達(dá)模糊地理現(xiàn)象在適宜尺度區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)，同時(shí)也不能表達(dá)由測(cè)量數(shù)據(jù)誤差等方面引起的隸屬度誤差。

模糊邏輯方法是模糊地理現(xiàn)象建模和分析的主要方法，但是由于經(jīng)典的模糊集理論以精確值表示隸屬度而不能度量隸屬度誤差，一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的質(zhì)疑。為了克服這一缺陷，文獻(xiàn)［14］提出n階模糊集（type nfuzzy sets）的概念，目前應(yīng)用較多的是Ⅱ－型模糊集（type－Ⅱfuzzy sets），Ⅱ－型模糊系統(tǒng)理論已在通信、金融、控制及醫(yī)療等許多領(lǐng)域取得了成功應(yīng)用［15］，Ⅱ－型模糊集以主隸屬度表示對(duì)象屬性的模糊性，以次隸屬度描述主隸屬度的不確定性，使得對(duì)不確定性的處理能力大大增強(qiáng)。區(qū)間Ⅱ－型模糊集（interval type－Ⅱfuzzy sets）是次隸屬度為1時(shí)的特殊的Ⅱ－型模糊集，大大降低了Ⅱ－型模糊集的復(fù)雜性，應(yīng)用最為廣泛。一些研究人員認(rèn)為GIS中廣泛存在高階模糊性［16－19］，研究高階模糊地理現(xiàn)象時(shí)大多采用區(qū)間Ⅱ－型模糊集［19－21］。

地理空間數(shù)據(jù)存在誤差，由這些數(shù)據(jù)模糊化得到的模糊隸屬度也應(yīng)存在誤差，文獻(xiàn)［22］基于空間數(shù)據(jù)的位置誤差推導(dǎo)了模糊地理實(shí)體隸屬度的誤差模型，給出隸屬度誤差的度量方法；在不同尺度下進(jìn)行模糊化得到的模糊隸屬度也可能不同。認(rèn)為尺度效應(yīng)和測(cè)量誤差是客觀上造成模糊隸屬度誤差的主要方面；解析模糊地理對(duì)象時(shí)專家知識(shí)的不確定性、部門間標(biāo)準(zhǔn)的差異性以及作業(yè)人員的主觀判斷是造成模糊隸屬度誤差的主觀因素?，F(xiàn)有的模型不能滿足高階地理現(xiàn)象的建模和分析，本文基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集構(gòu)建一個(gè)模糊地理對(duì)象模型，研究模糊線長(zhǎng)度和模糊面面積的度量方法，并討論區(qū)間Ⅱ－型模糊對(duì)象隸屬度誤差的描述方法。

2 基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集模糊對(duì)象表達(dá)與定義

基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊地理對(duì)象模型由區(qū)間Ⅱ－型模糊點(diǎn)、區(qū)間Ⅱ－型模糊線和區(qū)間Ⅱ－型模糊面組成，如圖1。本文采用文獻(xiàn)［23］定義的區(qū)間Ⅱ－型模糊集的拓?fù)淇臻g。設(shè)X為非空集合，I為區(qū)間［0，1］，τ為X上的區(qū)間Ⅱ－型模糊集簇，滿足：①

圖1 基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊對(duì)象模型的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of fuzzy object model based on interval type－Ⅱfuzzy sets

則稱（X，τ）為區(qū)間Ⅱ－型模糊集的一個(gè)模糊拓?fù)淇臻g，τ為一個(gè)區(qū)間Ⅱ－型模糊拓?fù)洹?/p>

2.1 模糊點(diǎn)實(shí)體

式中，v1、v2分別為上、下隸屬度值，0≤v1≤v2≤1。當(dāng)0＜v1＝v2≤1時(shí)簡(jiǎn)化為Ⅰ－型模糊點(diǎn)；當(dāng)v1＝v2＝0時(shí)表示在該位置不存在某種屬性；當(dāng)v1＝v2＝1時(shí)為分明點(diǎn)（crisp point）；當(dāng)v2＝1時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ－型模糊點(diǎn)。

圖2 區(qū)間Ⅱ－型模糊點(diǎn)Fig.2 Interval type－Ⅱfuzzy point

2.2 模糊線實(shí)體

區(qū)間Ⅱ－型模糊線實(shí)體是一種沒有寬度（大?。┑蔷€上任意點(diǎn)的隸屬度可能不能完全確定的線狀實(shí)體。例如2008年汶川地震中破壞的公路可用這種實(shí)體描述其受損程度。區(qū)間Ⅱ－型模糊線的隸屬度由上隸屬函數(shù)（upper membership function，UMF）和下隸屬函數(shù)（lower member－ship function，LMF）度量，表示為和且先定義簡(jiǎn)單區(qū)間Ⅱ－型模糊線。

（1）簡(jiǎn)單模糊線是指在模糊拓?fù)淇臻g（X，τ）中滿足以下條件的區(qū)間Ⅱ－型模糊線：① 簡(jiǎn)單模糊線在X－Y平面上的投影為線實(shí)體；② 簡(jiǎn)單模糊線的UMF和LMF曲線是三維曲線；③簡(jiǎn)單模糊線的UMF和LMF曲線是連續(xù)的；④簡(jiǎn)單模糊線的UMF和LMF曲線是凸的；⑤簡(jiǎn)單模糊線是一個(gè)閉集；⑥ 簡(jiǎn)單模糊線的閉包是緊的。在這些條件中，③ 保證線上屬性的連續(xù)性；④ 使得模糊線的任意截集都是連續(xù)線實(shí)體；⑤和⑥要求簡(jiǎn)單模糊線閉合且有界，同時(shí)要求簡(jiǎn)單模糊線不是由兩個(gè)或多個(gè)獨(dú)立的模糊線實(shí)體構(gòu)成，這樣有利于界定模糊線的邊界部分。簡(jiǎn)單模糊線包括模糊直線、折線、環(huán)線、多線、曲線等（圖3），模糊曲線在X－Y平面上的投影為曲線，本文僅討論前4種。首先定義兩種特殊的簡(jiǎn)單模糊線：模糊直線在GIS中通常以兩個(gè)點(diǎn)分別表示直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，那么簡(jiǎn)單模糊直線也可以用兩個(gè)點(diǎn)來分別定義其起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且定義其上下隸屬函數(shù)，如圖3（b）所示，在X－Y平面上的投影為直線；正則簡(jiǎn)單模糊線是一個(gè)區(qū)間Ⅱ－型模糊數(shù)［3－4］。

圖3 5類區(qū)間Ⅱ－型模糊線Fig.3 Five type’s interval type－Ⅱfuzzy line

（2）簡(jiǎn)單模糊線群是簡(jiǎn)單模糊線的集合。當(dāng)模糊線段首尾相連時(shí)稱為模糊折線，即第i條簡(jiǎn)單模糊線與第i＋1條鄰接，在連結(jié)處有當(dāng)且時(shí)為模糊環(huán)線。模糊多線由簡(jiǎn)單模糊線、模糊折線或模糊環(huán)線構(gòu)成。圖3中（c）、（d）和（e）分別為模糊折線、模糊環(huán)線和模糊多線。

（3）一般模糊線是指UMF和LMF不一定連續(xù)和凸的，但應(yīng)是閉集，包括模糊曲線。本文不對(duì)一般模糊線展開討論。

2.3 模糊面實(shí)體

2.3.1 簡(jiǎn)單模糊面

模糊拓?fù)淇臻g（X，τ）中滿足以下條件的區(qū)間Ⅱ－型模糊面稱為簡(jiǎn)單模糊面：① 簡(jiǎn)單模糊面是凸的，即LMF和UMF均是凸的；②簡(jiǎn)單模糊面的LMF和UMF是上半連續(xù)的；③簡(jiǎn)單模糊面是一個(gè)閉集；④ 簡(jiǎn)單模糊面的閉包是緊的。

與簡(jiǎn)單模糊線的性質(zhì)相似，① 使得模糊面的任意截集都是連續(xù)面實(shí)體，同時(shí)簡(jiǎn)單模糊面最多只有一個(gè)核區(qū)域；③和④同時(shí)要求簡(jiǎn)單模糊面不是由兩個(gè)或多個(gè)獨(dú)立的模糊面域構(gòu)成，簡(jiǎn)單模糊面不存在空洞。在此定義3種特殊的簡(jiǎn)單模糊面：似點(diǎn)模糊面、似線模糊面和正則簡(jiǎn)單模糊面。

2.3.2 似點(diǎn)模糊面

似點(diǎn)模糊面表示在有限范圍內(nèi)，具有某種屬性的區(qū)域。之所以稱為“似點(diǎn)模糊面”，是因?yàn)檫@種實(shí)體從認(rèn)知的角度看，在一定尺度下該類實(shí)體具有點(diǎn)的特征，但是在一定的截集水平下又具有面的特征。以參考點(diǎn)為中心，與越近就越具有某種屬性。例如在農(nóng)作物發(fā)生病蟲災(zāi)害時(shí)，莊稼地呈現(xiàn)出一個(gè)小的病蟲害斑塊，中間點(diǎn)最嚴(yán)重，然后向四周逐漸減弱，因此如果關(guān)注的尺度比較小時(shí)是一個(gè)小的斑塊（模糊面），當(dāng)關(guān)注的尺度較大時(shí)表現(xiàn)為一個(gè)模糊點(diǎn)。似點(diǎn)模糊面形式化描述為

式中，E表示一個(gè)二維平面空間區(qū)域。具有某種規(guī)則特征的似點(diǎn)模糊面的隸屬度函數(shù)表示為

圖4 區(qū)間Ⅱ－型似點(diǎn)模糊面Fig.4 Interval type－Ⅱpoint－like fuzzy region

2.3.3 似線模糊面

與“似點(diǎn)模糊面”類似，是因?yàn)檫@種實(shí)體從認(rèn)知的角度看，在一定尺度下該類實(shí)體具有線狀實(shí)體的特征，但是在一定的截集水平下又具有面的特征。

單一似線模糊面是由無限“似點(diǎn)模糊面”構(gòu)成的有序集合，顯然所有“似點(diǎn)模糊面”的中心構(gòu)成一條簡(jiǎn)單模糊線。如圖5（a）所示，單一似線模糊面可形式化表示為

圖5 區(qū)間Ⅱ－型似線模糊面Fig.5 Interval type－Ⅱlinelike fuzzy region

復(fù)合似線模糊面則為單一似線模糊面的并集，如圖5（b）

2.3.4 正則簡(jiǎn)單模糊面

正則簡(jiǎn)單模糊面是一個(gè)區(qū)間Ⅱ－型模糊數(shù)，圖6和圖7分別表示離散空間和連續(xù)空間中的正則簡(jiǎn)單模糊面，因此正則簡(jiǎn)單模糊面除了滿足簡(jiǎn)單模糊面的條件外，還需滿足以下條件：① 正則簡(jiǎn)單模糊面是一個(gè)區(qū)間Ⅱ－型模糊數(shù)；② 正則簡(jiǎn)單模糊面的內(nèi)部、核和外層是雙連通的規(guī)則開集。

圖6 離散空間中的正則簡(jiǎn)單模糊面Fig.6 The normal simple interval type－Ⅱfuzzy region in discrete space

圖7 連續(xù)空間中的正則簡(jiǎn)單模糊面Fig.7 The normal simple interval type－Ⅱfuzzy region in infinite space

3 模糊地理現(xiàn)象的度量及不確定性

3.1 模糊點(diǎn)和模糊點(diǎn)群的隸屬度誤差

于是模糊點(diǎn)群的隸屬度誤差為

3.2 模糊線的度量

文獻(xiàn)［8］通過長(zhǎng)度積分法來確定對(duì)Ⅰ－型模糊線的長(zhǎng)度，得到的長(zhǎng)度是一個(gè)確切值，這跟模糊的本質(zhì)不符。設(shè)Ⅱ－型模糊線如圖3（a）所示，設(shè)圖中X－Y平面上量綱為m。模糊線的UMF和 LMF分別表示為）和為計(jì)算方便，可以表示成參數(shù)t的方程和在直線方向上的隸屬函數(shù)如圖8所示，本文給出以下幾種度量方法。

3.2.1 模糊概略長(zhǎng)度

式中，長(zhǎng)度單位與X－Y平面上的單位一致（后文長(zhǎng)度公式的單位也等同于X－Y平面上的長(zhǎng)度單位，不再特別說明）。于是模糊長(zhǎng)度可表示為

圖8 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的隸屬函數(shù)Fig.8 Membership function of interval type－Ⅱfuzzy line

3.2.2 α－截集長(zhǎng)度

由α－截集的性質(zhì)和區(qū)間數(shù)的關(guān)系可知β＜γ?Lβ?Lγ?Length（Lβ）≥Length（Lγ）。同時(shí)對(duì)于任意一個(gè)αi存在一個(gè)Length與其對(duì)應(yīng)，因此通過和αi可以定義長(zhǎng)度和長(zhǎng)度隸屬度的關(guān)系。區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長(zhǎng)度可以表示為一個(gè)區(qū)間Ⅱ－型模糊集

3.2.3 絕對(duì)長(zhǎng)度

3.2.4 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長(zhǎng)度誤差

其模糊概略長(zhǎng)度、α－截集長(zhǎng)度均由模糊區(qū)間數(shù)表示，長(zhǎng)度誤差表示為單位與長(zhǎng)度單位一致；對(duì)于絕對(duì)長(zhǎng)度，如果存在大于0，那么隸屬度為1時(shí)為分明線。圖3（a）確定的直線的概略長(zhǎng)度為［6.3，8.55］（單位：m）；絕對(duì)長(zhǎng)度為0m；α－截集長(zhǎng)度如表1和圖9所示。

表1 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的α－截集長(zhǎng)度Tab.1 Length ofα－cut level of interval type－Ⅱfuzzy line

圖9 區(qū)間Ⅱ－型模糊線的長(zhǎng)度Fig.9 Length of interval type－Ⅱfuzzy line

3.3 模糊面的度量

面積是模糊地理實(shí)體很重要的一個(gè)屬性，在寬邊界描述方法中以最大范圍和最小范圍來表示。文獻(xiàn)［25］給出了離散空間中Ⅰ－型模糊實(shí)體面積的度量方法。文獻(xiàn)［26］分析了這種方法，并從α－截集的角度研究模糊區(qū)域的面積描述方法。這兩種方法的共同缺陷是以一個(gè)精確值表示模糊實(shí)體的面積。筆者給出兩種區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的面積度量方法。

3.3.1 三維體積法

式中，面積單位為X－Y平面上的面積量綱（此后的面積單位的確定方法與此一致，不再單獨(dú)說明），對(duì)于連續(xù)空間

那么模糊區(qū)域的面積可表示為一個(gè)區(qū)間數(shù)

3.3.2 α－截集法

區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的截集為一個(gè)寬邊界區(qū)域，內(nèi)部區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)確定的α－截集區(qū)域，而寬邊界區(qū)域?yàn)椴淮_定區(qū)域，避免了在Ⅰ－型模糊集中α－截集為確定區(qū)域的缺陷。從α－截集的角度給出了模糊區(qū)域的面積描述方法

在圖7中，設(shè)X－Y平面上的長(zhǎng)度單位為m，用三維體積法確定圖7的區(qū)間Ⅱ－型模糊面的面積為［1 102.7，2 167］，單位為m2；用α－截集法確定的面積如表2和圖10所示。

表2 區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的α－截集面積Tab.2 Area ofα－cut level of interval type－Ⅱfuzzy region

圖10 區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的面積Fig.10 Area of interval type－Ⅱfuzzy region

3.3.3 一般區(qū)間Ⅱ－型模糊面實(shí)體的不確定性度量

大量的模糊實(shí)體難以定義其幾何結(jié)構(gòu)，如通過遙感手段獲取的森林區(qū)域。假定模糊現(xiàn)象的上隸屬函數(shù)和下隸屬函數(shù)已知，由這兩個(gè)隸屬度函數(shù)可以定義區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域的不確定性立方體，由此可確定絕對(duì)隸屬度誤差和相對(duì)隸屬度誤差。設(shè)區(qū)間Ⅱ－型模糊區(qū)域支集的面積為S0，柵格單元的面積為S，上下隸屬函數(shù)為和不確定性可用如下公式度量，單位與面積單位一致。

絕對(duì)隸屬度誤差

平均隸屬度誤差

4 結(jié) 論

客觀地對(duì)模糊地理現(xiàn)象建模和度量是分析模糊自然現(xiàn)象的前提，本文討論基于區(qū)間Ⅱ－型模糊集的模糊地理對(duì)象建模、度量和不確定性等方面的關(guān)鍵理論，克服了現(xiàn)有模型和度量方法的缺陷，為高階模糊地理信息理論提供了一種可行的研究思路。本文提出的“似線模糊面”和“似點(diǎn)模糊面”在本質(zhì)上是模糊面，只是在認(rèn)知層面上像“線”和“點(diǎn)”，因此二者均用模糊面的面積及其隸屬度誤差進(jìn)行度量。本文提出的理論方法的客觀性和應(yīng)用效果有待進(jìn)一步驗(yàn)證和評(píng)價(jià)。

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Modeling and Metrics of Higher Order Fuzzy Geographical Phenomena

GUO Jifa1，CUI Weihong2
1.College of City and Environmental Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；2.Institute of Remote Sensing Applications，Chinese Academy of Sciences，Beijing100101，China

Modeling and metrics of fuzzy geographical phenomena have gained some products.But existing models can’t measure the error of membership value，so those models can’t satisfy to objectively describe complex natural and artificial phenomena.The scale effect and measurement error are two major objective reasons which bring forth the membership error of vague geographical phenomena while subjectivity of relative workers and difference of standards between departments are major subjective reasons.A fuzzy geographical object model is proposed based on interval type－Ⅱfuzzy sets，and the metrics of length of interval type－Ⅱfuzzy line and area of interval type－Ⅱfuzzy region are developed too，then the membership error of interval type－Ⅱfuzzy geographical object is analyzed.This model can handle uncertainty of membership value and avoid some limitations of existing models.The model and relative metrics methods have broad applications in natural hazard analysis，global change，land cover change and so on.

multi－scale；higher order vagueness；interval type－Ⅱfuzzy set；uncertainty；metrics

GUO Jifa（1981—），male，PhD，lecturer，majors in high order fuzzy geographical information modeling and analysis，spatial－temporal database and spatial data uncertainty.

GUO Jifa，CUI Weihong.Modeling and Metrics of Higher Order Fuzzy Geographical Phenomena［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（1）：139－146.（郭繼發(fā)，崔偉宏.高階模糊地理現(xiàn)象建模和度量研究［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（1）：139－146.）

P208

A

1001－1595（2012）01－0139－08

國(guó)家科技支撐計(jì)劃（2008BAK50B01）；國(guó)家自然科學(xué)基金（41101352）；天津師范大學(xué)博士基金（52XB1008）；天津師范大學(xué)空間信息服務(wù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金（53H10070）

宋啟凡）

2010－10－22

2011－06－08

郭繼發(fā)（1981—），男，博士，講師，主要從事高階模糊地理信息建模和分析，時(shí)空數(shù)據(jù)庫和不確定性。

E－mail：guojfx2004＠163.com