曾捷斌

（福建省仙游師范學(xué)校，福建 仙游 351200）

對(duì)比正態(tài)分布與多重分形＊

曾捷斌

（福建省仙游師范學(xué)校，福建 仙游 351200）

研究對(duì)象的標(biāo)度r與容量值N（r）的雙對(duì)數(shù)關(guān)系若包含2個(gè)直線段，常被解釋為多重分形，但這種特征可以由正態(tài)分布的觀測(cè)值造成.通過實(shí)例介紹和分析，認(rèn)為分形理論并不適用于隨機(jī)分布的研究對(duì)象.

正態(tài)分布；多重分形；對(duì)比

Mandelbrot（1982）在其不朽的著作《自然分形幾何》中引入了分形的概念.分形的基本屬性是標(biāo)度不變性，也稱自相似性，即不論測(cè)量的單位或觀察的尺度如何改變，所觀察和研究的對(duì)象的性質(zhì)（如形態(tài)、結(jié)構(gòu)、復(fù)雜程度和不規(guī)則性等）均不發(fā)生改變.具有自相似或標(biāo)度不變性的幾何對(duì)象，稱它們是分形的［1］.分形理論作為非線性科學(xué)的重要組成部分，已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程研究中的各個(gè)領(lǐng)域.以往以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)模型來(lái)描述的許多現(xiàn)象（如地球化學(xué)勘查資料）的不均勻性，現(xiàn)在也有許多學(xué)者嘗試用分形理論的方法來(lái)進(jìn)行研究［2］.但分形分布規(guī)律是否為一種普遍的規(guī)律，或者說分形理論是不是萬(wàn)能的，這仍然是值得探討的問題.筆者通過對(duì)比正態(tài)分布與分形特征，發(fā)現(xiàn)分形研究中存在謬誤，正態(tài)分布總體同時(shí)具有多重分形的某些特征，但并不能用分形來(lái)加以解釋.

式中：u是速度，B是磁場(chǎng)，p是壓力，n是?Ω上的單位外法向量，Re表示水動(dòng)力雷諾數(shù)，Rm表示磁雷諾數(shù)，Sc表示耦合系數(shù)。

1 正態(tài)分布與分形的特征簡(jiǎn)介

1.1 正態(tài)分布

正態(tài)分布（又稱高斯分布）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的分布規(guī)律之一，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布（或者對(duì)數(shù)正態(tài)分布）來(lái)描述.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)［3］為

任何一個(gè)國(guó)家和民族的文化領(lǐng)導(dǎo)權(quán)建設(shè)都會(huì)與該社會(huì)的變革和轉(zhuǎn)型相攜以進(jìn)，相伴而行。對(duì)于文化領(lǐng)導(dǎo)權(quán)概念的核心要素——主流意識(shí)形態(tài)而言，在新媒體時(shí)代下面臨著全新的傳播語(yǔ)境和全新的認(rèn)讀體系。隨著新媒體時(shí)代的來(lái)臨，各民族的文化意識(shí)形態(tài)在國(guó)際間廣泛地碰撞、溝通和交流，在一定程度上呈現(xiàn)出整合與分化的趨勢(shì)。正如美國(guó)學(xué)者愛德華·S.郝爾曼所言，“全球化也是一種意識(shí)形態(tài)，它的作用是通過那種看上去非常有益的和不可阻擋的優(yōu)勢(shì)來(lái)減少這個(gè)過程的阻力?！?[6] 56今天，在新媒體和文化領(lǐng)導(dǎo)權(quán)的內(nèi)在關(guān)系上，還存在著種種認(rèn)讀誤區(qū)，需要我們進(jìn)一步解放思想，從思想觀念上廓清若干誤區(qū)。

其中－∞＜μ＜＋∞，σ＞0為實(shí)數(shù)，前者為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，后者為此隨機(jī)變量的方差.

1.2 分形

分形的特征可以用如下關(guān)系式來(lái)描述：

Mandelbrot（1975）給出分形的第1個(gè)定義如下：設(shè)集合F?Rn的Hausdorff維數(shù)是DH.若F的Hausdorff維數(shù)DH嚴(yán)格大于它的拓?fù)渚SDT，即DH＞DT，則稱集合F為分形集，簡(jiǎn)稱分形.該定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式可記為F＝｛DH：DH＞DT｝.

并且該控制系統(tǒng)主要目的是通過控制導(dǎo)軌俯仰角α從而控制小球在導(dǎo)軌上的位置x，故可針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量x和α設(shè)置偏差函數(shù)：

以湖南省招生考試信息港［4］公布的湖南省2009年高考美術(shù)聯(lián)考成績(jī)分?jǐn)?shù)段統(tǒng)計(jì)結(jié)果（見表1）為例.公布成績(jī)的考生共34 123名，按照5分的間隔統(tǒng)計(jì).

2 對(duì)比試驗(yàn)

在不同的標(biāo)度下可能會(huì)有不同的分維數(shù)值，即自相似性具有局域特征.這種特征稱為多重分形，多重分形的N（r）與r的關(guān)系表現(xiàn)為多條直線段.

表1 湖南省2009年高考美術(shù)聯(lián)考成績(jī)分?jǐn)?shù)段

2.1 統(tǒng)計(jì)分析

從高分到低分，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)及累積人數(shù)與成績(jī)下限值的關(guān)系見圖1.從分布曲線看來(lái)，基本符合正態(tài)分布的特征.

其中N（r）為研究對(duì)象隨標(biāo)度r變化的某種容量值，D 為分維數(shù)，k為常系數(shù).（1）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到lg N（r）＝－Dlg r.可見，N（r）與r呈線性相關(guān)，擬合直線的斜率就是－D.

2.2 分形特征

將分?jǐn)?shù)段下限值（相當(dāng)于標(biāo)度r）與累計(jì)人數(shù)（相當(dāng)于容量值）取雙對(duì)數(shù)作關(guān)系圖（圖2）.從圖2中可見2條直線段，中間以弧線過渡.這種特征常被解釋為多重分形.

圖1 湖南省2009年高考美術(shù)聯(lián)考成績(jī)統(tǒng)計(jì)

圖2 分?jǐn)?shù)與累計(jì)人數(shù)雙對(duì)數(shù)關(guān)系

3 結(jié)論

實(shí)例中考試成績(jī)與人數(shù)明顯呈正態(tài)分布，分布曲線近于對(duì)稱，均值位于215分左右.從圖2可以看出，分?jǐn)?shù)與累計(jì)人數(shù)雙對(duì)數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)2個(gè)直線段，直線段之間以弧線過度，過渡部位在2.35附近，對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)值為220分，與統(tǒng)計(jì)均值非常接近.因此，2條直線段反映的是正態(tài)分布曲線兩翼的特征，而期望值附近表現(xiàn)為弧線.這種特征并不能說明2個(gè)不同分維數(shù)的分形集，而僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的正態(tài)分布總體.

玉米是我縣主要糧食作物之一，充分挖掘玉米生產(chǎn)潛力，確保玉米增產(chǎn)增收具有現(xiàn)實(shí)而重要意義。研究玉米提質(zhì)增效應(yīng)以解決生產(chǎn)上籽粒含水量高、內(nèi)在品質(zhì)差、產(chǎn)量低為目標(biāo)，配套品種、耕作、施肥和田間管理等技術(shù)。

符合正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的研究對(duì)象很多，一般都具有一個(gè)確定的期望值.如某一批產(chǎn)品中的某項(xiàng)化驗(yàn)指標(biāo)，通常是圍繞在某一特定值附近分布的.普通的地質(zhì)體的地球化學(xué)分析結(jié)果也符合這一分布特點(diǎn)，但僅僅是一種隨機(jī)分布，具有統(tǒng)計(jì)意義，并不遵循分形特征.

［1］陳 颙，陳 凌.分形幾何學(xué) ［M］.第2版.北京：地震出版社，2005.

［2］李長(zhǎng)江，麻土華，朱興盛，等.礦產(chǎn)勘查中的分形、混沌與ANN［M］.北京：地質(zhì)出版社，1999.

［3］宋代清.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ［M］.成都：西南交通大學(xué)出版社，2007.

［4］湖南招生考試信息港.2009年湖南省藝術(shù)類統(tǒng)考各專業(yè)考生成績(jī)分段表 ［EB／OL］.http：／／www.hneeb.cn／website／newsDoc／zkdt／200912295332.html，2009－02－16.

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Contrast Between Normal Distribution and Multifractals

ZENG Jie－bin
（Xianyou Normal School of Fujian Province，Xianyou 351200，F(xiàn)ujian China）

Objects investigated are usually interpreted as multifractals with the double logarithmic relationship between scale（r）and capacity value N（r）consisting of two straight segments.But such features can be caused by the observations of normal distribution.Based on case analysis，this paper argues that fractal theory does not apply perfectly to the objects of random distribution.

normal distribution；multifractals；contrast

O211.3

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2012.03.006

1007－2985（2012）03－0020－02

2012－03－02

曾捷斌（1957－），男，福建仙游人，福建省仙游師范學(xué)校高級(jí)講師，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

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