歐陽露莎，劉敏思

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2 華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430079)

1 定義及基本結(jié)果

關(guān)于級數(shù)在Cesaro意義下的收斂性，已有的研究成果如下面定理1.

定理1表明級數(shù)在Cesaro意義下收斂比級數(shù)的一般收斂適用的范圍更廣．

由定義1知，級數(shù)在Cesaro意義下收斂的問題，實質(zhì)上就是數(shù)列的均值數(shù)列收斂問題．雖然級數(shù)在Cesaro意義下收斂比級數(shù)的一般收斂適用的范圍更廣，更優(yōu)越，但它是借助均值數(shù)列的收斂性來建立的，其收斂性的討論自然比一般收斂性問題要困難得多．

文獻[2-5]對數(shù)列的均值收斂性做了一些討論，并得到了一些結(jié)論：例如，收斂數(shù)列的均值數(shù)列一定收斂，且極限與原數(shù)列的極限相等；當數(shù)列為正無窮大或負無窮大數(shù)列時，此結(jié)論也成立．但當數(shù)列僅為無窮大數(shù)列時，結(jié)論不一定成立，例如，對數(shù)列{an}結(jié)論不成立，其中：

以上這些結(jié)論，只涉及到收斂數(shù)列或者無界數(shù)列，沒有涉及一般的有界數(shù)列．

2 有界數(shù)列在均值意義下收斂的條件

定理2解決了有界數(shù)列均值意義下的一般收斂性問題．

在文獻[4,5]中，引進了子列的權(quán)重.

下面，再通過進一步建立數(shù)列的有限權(quán)重分解，來研究有界數(shù)列均值意義下收斂性的若干條件，進而部分解決級數(shù)在Cesaro意義下收斂性的條件問題．

所以，當n>nN1時，

(2)注意到：

由本定理結(jié)論(1)和引理1立即可得．

(3)由本定理結(jié)論(1)和(2)，并注意到收斂數(shù)列極限的唯一性立即可得．

推論1 設(shè)數(shù)列{an}為交錯數(shù)列，即an=(-1)nbn(bn>0)，若{b2n-1}和{b2n}都收斂，記:

證明易知{ank}的權(quán)重等于1，由引理1及類似于定理3結(jié)論(2)的方法即可得證．

[1]Apostol T M. 數(shù)學(xué)分析[M]. 2版. 邢富沖，邢 辰，李松潔，等譯. 北京：機械工業(yè)出版社，2006：166-167.

[2]徐森林，金亞東，薛春華.數(shù)學(xué)分析(第3冊)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007：55-61.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].3版. 北京：高等教育出版社，2001：18-21.

[4]趙玉環(huán)，張兆寧.數(shù)列算術(shù)平均序列的收斂性[J].中國民航學(xué)院學(xué)報，2002，20(6)：62-64.

[5]吳玲琳，劉世芬.算術(shù)平均序列的收斂性[J].中國民航學(xué)院學(xué)報，1992，10(2)：54-59.