顧恩國，廖容云，范致鑒，梁 艷

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

隨著社會的迅速發(fā)展和人口數(shù)量的劇增，漁業(yè)資源的持續(xù)利用問題越來越引起人們的重視.對漁業(yè)資源的過度開發(fā)和捕撈嚴(yán)重影響了漁業(yè)資源的再生能力和持續(xù)利用[1].因此，探索漁業(yè)資源的變化規(guī)律，為資源管理者提供決策支持具有重要的意義.近年來，博弈論模型已被大量應(yīng)用于描述捕撈個體之間競爭漁業(yè)資源的經(jīng)濟行為[2-5].對于分叉的河流，其漁業(yè)資源不僅跟經(jīng)濟因素即捕撈成本和捕撈利潤有關(guān)，還跟環(huán)境因素即魚類的自然生長與補充特別是魚類在叉河的分流情況有關(guān).現(xiàn)實生活中由于捕撈者的認(rèn)知水平有限，他們對漁業(yè)資源在叉河的分配比例并不完全了解，或者完全不了解，因此，已有一些學(xué)者利用隨機博弈論在假設(shè)漁業(yè)資源在叉河的分配比例是隨機變量的前提下，建立兩個獨立的捕撈個體同時在各自的分叉河道進行捕撈，之后剩下的漁業(yè)資源又匯總繁殖下一代魚的隨機動態(tài)規(guī)劃模型，并用計算機仿真方法分析了信息結(jié)構(gòu)對漁業(yè)資源的影響[6].本文中，我們同樣考慮有叉河的漁業(yè)資源，把漁業(yè)資源儲量在叉河的分配比例看成系統(tǒng)參數(shù)的前提下建立離散動力學(xué)模型，應(yīng)用博弈論的方法得到競爭至Nash均衡時的漁業(yè)資源消耗函數(shù)，然后應(yīng)用非線性動力學(xué)的分析方法研究了資源再生與資源消耗的動力學(xué)模型，找到漁業(yè)資源儲量在什么條件范圍(可行吸引域[7])內(nèi)才能保持不枯竭.

1 模型的建立

我們假設(shè)共享公共漁業(yè)資源的2個有理性個體分別在各自的分叉河道捕撈，并把捕撈到的魚在同一個市場以：

p=a-bH,H=h1+h2,

(1)

x(t+1)=x(t)(1+r-rx(t)/K).

(2)

假設(shè)漁業(yè)資源儲量在叉河的分流中按比例P分配，則漁業(yè)資源在有捕撈時的演化滿足：

x(t+1)=x(t)(1+r-rx(t)/K)-H(x(t))=:

F(x(t)).

(3)

這里H(x(t))是總的捕撈量，它依賴于漁業(yè)資源的儲量.

假設(shè)個體1和個體2都不知道遷徙的魚類(漁業(yè)資源)在叉河處的分配比例P的確定值，假設(shè)有Px(t)遷徙的魚類分流到個體1所在的叉河中，那么(1-P)x(t)遷徙的魚類分流到個體2所在的叉河中.因此，個體1和個體2的預(yù)期利潤分別為：

(4)

(5)

個體1和個體2都選擇自己的捕撈量，使得自身的利潤最大化即maxU，要想獲利潤最大，需滿足的條件是：

?U1/?h1=a-bH-bh1-2c1h1/Px=0.

(6)

?U2/?h2=a-bH-bh2-2c2h2/(1-P)x=0.

(7)

聯(lián)立(6)和(7)式可以得到：

h1=(ab+2ac2/(1-P)x)/((2b+2c1/Px)·

(2b+2c2/(1-P)x)-b2).

(8)

h2=(ab+2ac1/Px)/((2b+2c1/Px)·

(2b+2c2/(1-P)x)-b2).

(9)

于是由(8)和(9)式可以得到捕撈總量函數(shù)為：

H(x)=h1+h2=(2ab+2ac1/Px+2ac2/

(1-P)x)/((2b+2c1)/Px)(2b+2c2/

(1-P)x)-b2).

(10)

?H/?x=(2ab2c1x2/P+2ab2c2x2/(1-P)+

4bc2x/(1-P)+4c1c2/P(1-P))2>0.

?2H/?x2=(-12ab4c1x3/P-12ab4c2x3/(1-P)-

(3b2x2+4bc1x/P+4bc2x/(1-P)+4c1c2/

P(1-P))3<0.

G(x)=(2ab+2ac1/Px+2ac2/(1-P)x)/

((2bx+2c1/P)(2b+2c2/(1-P)x)-b2x).

(11)

2 正平衡點的存在性

系統(tǒng)(3)變?yōu)椋?/p>

x(t+1)=x(t)(1+r-rx(t)/K)-

(2ab+2ac1/Px+2ac2/(1-P)x)/

((2b+2c1/Px)(2b+2c2/(1-P)x)-

b2)=:F(x(t)).

(12)

系統(tǒng)(12)的不動點滿足：

r(1-x/K)=G(x)=

(2ab+2ac1/Px+2ac2/(1-P)x)/

(x(2b+2c1/Px)(2b+2c2/(1-P)x)-b2x),

G(0)=(ac1-aPc1+aPc2)/2c1c2,

在一定的參數(shù)值下，我們可以在同一坐標(biāo)系中畫出G(x)和r(1-x/K)的圖形，見圖1.

(a) (b)

(c) (d)

由函數(shù)G(x)的性質(zhì)和圖1，我們可以得到下面的命題1.

命題1 設(shè)G(x)滿足(11)式，則下面結(jié)論成立：

(2)如果G(0)>r，G′(0)≥-r/K那么系統(tǒng)(12)沒有正平衡點.

(3)G(0)=r.

A .如果G′(0)<-r/K，那么系統(tǒng)(12)有唯一正平衡點(圖1(c))；

B.如果G′(0)≥-r/K，那么系統(tǒng)(12)沒有正平衡點.

(4)假設(shè)G(0)

3 正平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性和分叉

當(dāng)不動點x*滿足|F′(x*)|<1，即H′(x*)-2

aP/2c1+a(1-P)/2c2-2

aP/2c1+a(1-P)/2c2.

由于正不動點不能解析，因此我們借助于數(shù)值方法研究其穩(wěn)定性和分叉性質(zhì).圖2是在參數(shù)K=3，a=12，b=2，c1=1.6，c2=1.5，r∈(0.5,5)，P∈(0,1)時關(guān)于自然增長率r和比例分配參數(shù)P的二維分叉圖.圖2中較深色和最深色區(qū)域表示參數(shù)(P,r)在該區(qū)域取值時，系統(tǒng)分別穩(wěn)定到一周期點和二周期點.當(dāng)(P,r)在白色區(qū)域取值時，系統(tǒng)穩(wěn)定到大于20的周期軌道.此時我們認(rèn)為系統(tǒng)穩(wěn)定到準(zhǔn)周期或混沌軌道，漁業(yè)資源出現(xiàn)準(zhǔn)周期或隨機波動，但不會枯竭.圖3為初始漁業(yè)資源儲量為x0=2.5時，得到的關(guān)于比例分配P的分叉圖，其中K=3,a=12,b=2,c1=1.6,c2=1.5.當(dāng)r=3(圖3(a))時漁業(yè)資源穩(wěn)定在一個正值(正不動點)，并且最終漁業(yè)資源儲量x關(guān)于分配比例P的變化為拋物線.當(dāng)P=0.5時漁業(yè)資源儲量處于最小值，這說明漁業(yè)資源在叉河的分配越均等，最終漁業(yè)資源儲量越小，越不利于資源的保護.例如P=0.1或者P=0.9時，漁業(yè)資源儲量的穩(wěn)定值遠遠比P=0.5時大.當(dāng)r=3.8(圖3(b))時，漁業(yè)資源儲量由穩(wěn)定的二周期點(P∈(0.3,0.7))發(fā)生雙向倍周期分叉，最終進入混沌狀態(tài).圖4給出了漁業(yè)資源儲量關(guān)于市場最高售價a的分叉圖，隨著a的減少，不動點經(jīng)過反向倍周期分叉為混沌，其中在a=6附近出現(xiàn)了一個周期窗口.圖5給出了漁業(yè)資源儲量關(guān)于捕撈個體2的捕撈成本c2的分叉圖.

(a) (b)

圖4 漁業(yè)資源儲量x關(guān)于捕撈到的魚在市場上的最高售價a的一維分叉圖

圖5 漁業(yè)資源儲量x關(guān)于捕撈個體2的捕撈成本c2的一維分叉圖

4 正平衡態(tài)的全局分析

資源可持續(xù)利用的正平衡態(tài)的可行吸引域的形狀和大小的研究對于弄清楚漁業(yè)資源的當(dāng)前儲量是可以維持再生能力還是最終導(dǎo)致該資源的枯竭起著關(guān)鍵作用.本節(jié)我們將利用可行吸引域的定界方法，并應(yīng)用不可逆映射理論給出吸引子和吸引域的結(jié)構(gòu)隨參數(shù)變化所產(chǎn)生的全局分叉，從而揭示漁業(yè)資源儲量處于什么范圍才能使得資源能維持再生能力而不會枯竭，從而為資源管理決策者實施有效監(jiān)控提供參考.

(a)四周期吸引子及其可行吸引域 (b)混沌吸引子及其可行吸引域

在圖6中，y=x與y=F(x)在第一象限的交點為正平衡點，橫軸上的虛線區(qū)間表示能夠再生的資源范圍即可行吸引域，其邊界由原點O及其一階前像確定，橫軸上的粗黑色點或者線段表示資源演化的最終正平衡態(tài)即系統(tǒng)吸引子.圖中粗黑色線段為系統(tǒng)的混沌吸引子，表示漁業(yè)資源出現(xiàn)隨機波動，我們雖然不能準(zhǔn)確預(yù)測其最終變化，但其波動范圍可由關(guān)鍵點和它們的像確定.橫軸上的其它實線區(qū)間表示沒有再生能力的也就是漁業(yè)資源最終枯竭的資源儲量范圍即不可行吸引域.在圖6(a)的參數(shù)下，F(xiàn)(x)在(0,∞)內(nèi)是一個單峰函數(shù)，系統(tǒng)有一個不穩(wěn)定的正不動點x*，系統(tǒng)的吸引子為一個正的四周期點P1，P2，P2，P4，漁業(yè)資源出現(xiàn)四周期波動，其可行吸引域是由原點O及其一階前像O-1界定的區(qū)間[O,O-1].在圖6(b)的參數(shù)下，吸引子為混沌吸引子，漁業(yè)資源出現(xiàn)隨機波動，其波動的范圍僅位于區(qū)間[C1,C]內(nèi)，其中C1=F(C)為C的一階像.系統(tǒng)的可行吸引域是由原點O及其一階前像O-1界定的區(qū)間[O,O-1].

5 結(jié)語

本文用博弈論的方法對有叉河捕撈的公共漁業(yè)資源建立了一維動力學(xué)模型，并運用非線性動力學(xué)方法研究了漁業(yè)資源儲量在叉河處的分配比例對穩(wěn)定漁業(yè)資源儲量的影響，揭示了漁業(yè)資源可再生的條件和漁業(yè)資源不枯竭和儲量的閾值范圍.

[1]Garcia M, Graiger J R. Gloom and doom? The future of a marine capture fishery[J]. Philosophical Transitions of Royal Society, 2005, B360: 21-24.

[2]顧恩國，陳寶香.具有不對稱對手信息的兩寡頭博弈公共漁業(yè)資源的動力學(xué)模型分析[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，27(3)：96-101.

[3]顧恩國，褚青濤.不同理性兩個體捕撈公共漁業(yè)資源的非線性分析[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，28(2):109-115.

[4]顧恩國，陳寶香.有部分個體合作的多個體博弈公共漁業(yè)資源的非線性動力學(xué)模型分析[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，27(1)：102-107.

[5] Gu Enguo. Discrete stock-effort dynamical model of a fishery on three fishing zones with a protected one [J]. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2010, 11:137-144.

[6] Mckelvey R, Golubtsov V. The effects of incomplete information in stochastic common-stock harvesting games [J]. Advances in Dynamic Games,2006, 8(5):253-292.

[7] Gu Enguo. The feasible domains and their bifurcations in an extended logistic model with an external interference[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2007,17 (3):877-889.

[8] Gordon H S. The economic theory of a common property resource: the fishery [J].Journal of Political Economy, 1954, 82:124-142.