康東升,李智萍,方 達(dá)

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

1 問題的引入

本文研究下列橢圓方程:

(1)

則稱u為方程(1)的解. 求方程(1)的解等價于求

的臨界點.

研究方程(1)涉及到Hardy不等式[1,2]

近些年來,有作者研究含有Hardy項的橢圓極限問題:

(2)

滿足:

(3)

其中S(λ)是與方程(2)對應(yīng)的最佳Sobolev常數(shù),Up,λ(x)是方程(2)的徑向解, 滿足:

其中C1,C2是關(guān)于λ,p和N的正常數(shù),a(λ)和b(λ)是函數(shù)f(t)=(p-1)tp-(N-p)tp-1+λ(t≥0)的零點,滿足:

并且存在正常數(shù)L1(λ)和L2(λ),使得:

(4)

以上結(jié)果對于研究問題(1)非常重要.

β:=b(λ)-δ,βi:=b(λi)-δ(i=1,2,…，k).

(5)

在本文中,我們假設(shè):

(H1)λ1≤λ2≤…≤λk,k≥2 且存在l∈{i=0,1,2,…，k-1}, 使得:

λl≤0<λl+1≤λl+2≤…≤λk,(l0=0),

本文的主要結(jié)果如下.

定理1 假設(shè)(H1),當(dāng)1max{p2,p+1}時, 如果下面2個條件之一成立:

則方程(1)至少存在一個正解.

2 正解的存在性

下列引理給出了泛函J0的Palais-Smale條件.

證明應(yīng)用集中緊性原理[4,5]和文[6]中的思路,可以得到需要的結(jié)論,過程略.

下面我們研究(3)式的極值函數(shù).令:

0<ρ

則存在正常數(shù)C1和C2使得?x∈Bρ(ak),1≤i≤k-1,有C1≤|x-ai|≤C2成立.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中L1(λk)和L2(λk)是(4)式中定義的常數(shù),ωN是RN中單位球的體積.

證明文獻(xiàn)[6]已經(jīng)證明了(6)和(7)式,我們現(xiàn)在證明(8)和(10)式. (9)式的證明和(10)式的證明類似.

先研究b(λ)的性質(zhì). 容易驗證:

f(t)=(p-1)tp-(N-p)tp-1+λ,t∈[0,+∞).

有唯一的最小值點δ=(N-p)/p,且f(t)在(0,δ)上單調(diào)遞減,在(δ,+∞)上單調(diào)遞增.

A1(ε)+A2(ε)+A3(ε).

(11)

下面我們估計A1(ε),A2(ε)和A3(ε)的值.

(12)

(13)

其中

另一方面,

O(εp+pb(λk)-N)=o(εp).

(14)

(15)

注意到(15)式中最后一個積分存在.又由

(16)

可知(15)式中倒數(shù)第2個積分收斂.由(15)和(16)式得:

(17)

另一方面,由(15)和(16)式得:

A2(ε)=O(εp),A3(ε)=O(εp).

(18)

引理3 在定理1的假設(shè)條件下, 有：

(19)

證明注意到:

且

因此,

(i)首先考慮下面情形:

則pb(λk)-N+p>p.由引理2可得:

當(dāng)ε充分小時可得(19)式.

則pb(λk)-N+p=p. 由引理2得:

當(dāng)ε充分小時可得(19)式.

引理3證畢.

定理1的證明根據(jù)引理1～引理3,應(yīng)用山路引理[7,8]和極大值原理[9], 可以得到定理1的結(jié)論,詳細(xì)過程也可參見文[10]中定理1.3 的證明,這里略去.

[1]Azorero J, Peral I. Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems[J]. J Differential Equations, 1998,144(2):441-476.

[2]Hardy G, Littlewood J, Polya G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1988:239-243.

[3]Abdellaoui B, Felli V, Peral I. Existence and non-

existence for quasilinear equations involving thep-Laplacian[J]. Boll Unione Mat Ital Sez B, 2006, 9(2):445-484.

[4]Lions P L .The concentration compactness principle in the calculus of variations, the limit case (I)[J]. Rev Mat Iberoamericana,1985,1(1):145-201.

[5]Lions P L. The concentration compactness principle in the calculus of variations, the limit case (II)[J]. Rev Mat Iberoamericana,1985,1(2):45-121.

[6]Han P.Quasilinear elliptic problems with critical expon-

ents and Hardy terms[J]. Nonlinear Anal,2005,61(5):735-758.

[7]Ambrosetti A, Rabinowitz H. Dual variational methods in critical point theory and applications[J]. J Funct Anal, 1973,14(2):349-381.

[8]Brezis H, Nirenberg L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents[J]. Comm Pure Appl Math, 1983,36(4):437-477.

[9]Vazquez J L. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations[J]. Appl Math Optim, 1984,12(1):191-202.

[10]Cao D, Han P. Solutions to critical elliptic equations with multi-singular inverse square potentials[J].J Differential Equations, 2006,224(2):332-372.