摘 要：運(yùn)用差分方程的相關(guān)理論，對(duì)常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用通過(guò)具體經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行了較為詳細(xì)的展示。在展示中，對(duì)各模型中經(jīng)濟(jì)變量時(shí)間路徑的收斂性采用了與模型參數(shù)的前置假設(shè)相聯(lián)系的方法進(jìn)行討論，得出一般性結(jié)論。對(duì)基本方法與基本技巧的移植提供了模板和方便。

關(guān)鍵詞：差分方程；常數(shù)系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)；經(jīng)濟(jì)分析

中圖分類號(hào)：F22 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2011）31-0005-09

將動(dòng)態(tài)學(xué)這一術(shù)語(yǔ)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)用法中，它是指這樣一種分析類型：其目的是探尋和研究經(jīng)濟(jì)變量的具體時(shí)間路徑，或者是確定在給定的充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，這些經(jīng)濟(jì)變量是否會(huì)趨向收斂于某一（均衡）值。這方面的研究非常重要，因?yàn)樗梢詮浹a(bǔ)靜態(tài)學(xué)和比較靜態(tài)學(xué)的嚴(yán)重不足。在比較靜態(tài)學(xué)中，我們總是武斷地假定：經(jīng)濟(jì)調(diào)節(jié)過(guò)程不可避免地導(dǎo)致平衡。在動(dòng)態(tài)分析中，我們直接面對(duì)的是均衡的“可實(shí)現(xiàn)性”問(wèn)題，而不是假設(shè)它必然能夠?qū)崿F(xiàn)。動(dòng)態(tài)分析的一個(gè)顯著特征是確定變量的時(shí)間，這就把時(shí)間因素明確納入分析范圍。在經(jīng)濟(jì)與管理的實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)大多是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。譬如，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）、糧食總產(chǎn)量等是按年統(tǒng)計(jì)，消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)（CPI）、失業(yè)率、企業(yè)利潤(rùn)等是按月統(tǒng)計(jì)的。由于這個(gè)原因，在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中，許多經(jīng)濟(jì)變量的取值是離散變化的。將時(shí)間視為離散變量，進(jìn)行動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析的有力數(shù)學(xué)工具是差分方程的相關(guān)理論。本文擬僅用差分方程常數(shù)線性系統(tǒng)的相關(guān)理論，展示差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

一、差分方程的相關(guān)理論簡(jiǎn)介

（一）差分方程的相關(guān)概念

定義1:給定函數(shù)yt≡f（t），t∈Z，yt在t期的一階差分定義為：

Δyt=yt+1-yt=f（t+1）-f（t）

Δyt+1=yt+2-yt+1=f（t+2）-f（t+1）

…… ……

Δyt+m=yt+m+1-yt+m=f（t+m+1）-f（t+m） （1）

其中，m∈N+

函數(shù)yt≡f（t）在t期的二階差分定義為：

Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1-yt）=Δyt+1-Δyt =yt+2-yt+1-yt+1+yt=

yt+2-2yt+1+yt （2）

…… ……

函數(shù)yt≡f（t）在t期的k階差分定義為：

Δkyt=Δ（Δk-1yt）=Δk-1yt+1-Δk-1yt （3）

其中，k∈N+ 。

定義2:含有自變量t，未知函數(shù)yt，以及yt的差分Δyt，Δ2yt，…的函數(shù)方程稱為常差分方程；出現(xiàn)在差分方程中的差分最高階數(shù)，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為：

F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0 （4）

其中，F(xiàn)（t，yt，Δyt，…，Δnyt）為t，yt，Δyt，…，Δnyt的已知函數(shù)，且Δnyt一定要出現(xiàn)。

定義3：含有自變量和兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)yt，yt+1的函數(shù)方程，稱為差分方程；出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差，稱為差分方程的階。

按此定義，n階差分方程的一般形式為

F（t，yt，yt+1，…，yt+n）=0 （5）

其中，F(xiàn)（t，yt，yt+1，…，yt+n）為t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函數(shù)，且yt和yt+n一定要出現(xiàn)。

由于經(jīng)濟(jì)分析中經(jīng)常遇到的是按定義3給出的差分方程，故本文只討論形如（5）的差分方程。

定義4：如果將已知函數(shù)yt=φ（t）代入方程（5），使其對(duì)t∈N成為恒等式，則稱yt=φ（t）為方程（5）的解。含有n個(gè)（獨(dú)立的）任意常數(shù)c1，c2，…，cn的解。

yt=φ（t，c1，c2，…，cn） （6）

稱為n階差分方程（5）的通解。

為了由通解確定差分方程的某個(gè)特解，需要給出確定此特解應(yīng)滿足的定解條件，對(duì)n階差分方程（5），應(yīng)給出n個(gè)定解條件，常見(jiàn)定解條件為初始條件：

yk=ak （k=0，1，…，n-1） （7）

其中，a0，a1，…，an-1為n個(gè)已知常數(shù)。

定義5 形如

yt+n+a1（t）yt+n+1+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t） （8）

的差分方程，稱為階線性差分方程。其中，aj（t）為t的已知函數(shù)，（j=1，2，…，n），且an（t）≠0。

若方程（8）中，a1（t）=a1，a2（t）=a2，…，an（t）=an為常數(shù)，則有

yt+n+a1yt+n+1+…+an-1yt+1+anyt=f（t） （9）

稱其為常系數(shù)n階線性差分方程。

需要說(shuō)明的是，下列諸方程等價(jià)

yt+a1yt-1+…+an-1y1+any0=f（t），

yt+1+a1yt+…+an-1yt+1+anyt=f（t），

…………

yt+n+a1yt+n+1+…+an-1yt+1+anyt=f（t）[1]

定義6 形如

It+1=At+（t） （10）

稱為常系數(shù)一階線性差分方程組。其中，I為n階單位矩陣；A=（aij）n×n，aij∈R；η（t）=[η1（t），η2（t），ηn（t）]T；t+1=（x1，t+1，x2，t+1，…，xn，t+1）T；t=（x1，t，x2，t，…，xn，t）T。

定義7：在n階線性差分方程（8）與一階線性差分方程組（10）中，若f（t）≡0與（t）≡0，則分別稱為與方程（8）對(duì)應(yīng)的齊次n階線性差分方程和與方程組（10）對(duì)應(yīng)的常系數(shù)齊次一階線性差分方程組。形式為：

yt+n+a1（t）yt+n-1+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0 （11）

和It+1=At （12）

定義8：若在線性差分方程系統(tǒng)中，齊次系統(tǒng)各系數(shù)為實(shí)常數(shù)b，且方程（8）中的f（t）為實(shí)常數(shù)b，方程組（10）中的（t）為實(shí)常向量，則稱該系統(tǒng)為常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)。

常數(shù)階線性差分方程為：

yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=b （13）

常數(shù)一階線性差分方程組為：

It+1=At + （14）

其中，aj∈R（j=1，2，…，n），b∈R；I為n階單位矩陣，A為n階實(shí)數(shù)常矩陣，為n維實(shí)數(shù)常向量。

（二）常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)相關(guān)的理論結(jié)果

1.常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)解的性質(zhì)

（1）若?準(zhǔn)（t），?準(zhǔn)1（t），?準(zhǔn)2（t）是常數(shù)n階線性齊次差分方程yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=0的解，則有：

性質(zhì)1 ?準(zhǔn)1（t）+?準(zhǔn)2（t）也是該齊次方程的解。

性質(zhì)2 對(duì)任意常數(shù)c，c?準(zhǔn)（t）也是該齊次方程的解。

由此可知，若?準(zhǔn)1（t），?準(zhǔn)2（t），…，?準(zhǔn)n（t）是該齊次方程的解，c1，c2，…，cn為n個(gè)任意常數(shù)，則?準(zhǔn)1（t）=c1?準(zhǔn)1（t）+c2?準(zhǔn)2（t）+…+

cn?準(zhǔn)n（t）也是該齊次方程的解。

（2）若（t），1（t），2（t）是常數(shù)一階線性差分方程組It+1=At的解，則有：

性質(zhì)3 1（t）+2（t）也是該齊次方程組的解。

性質(zhì)4 對(duì)任意常數(shù)c，c（t）也是該齊次方程組的解。

進(jìn)一步可知，若1（t），2（t），…，n（t）是該齊次方程組的解，c1，c2，…，cn為任意n個(gè)常數(shù)，則（t）=c11（t）+c22（t）+…+cnn（t）也是該齊次方程組的解。

（3）若?準(zhǔn)（t）[（t）]為齊次系統(tǒng)的解，?漬（t）[（t）]是非齊次系統(tǒng)的解，則有：

性質(zhì)5 ?準(zhǔn)（t）+?漬（t）是非齊次差分方程yt+n+a1yt+n-1+…+

an-1yt+1+anyt=b的解；（t）+（t）是非齊次差分方程組It+1=

At+的解。

2.常數(shù)n階線性差分方程解的結(jié)構(gòu)

（1）齊次系統(tǒng)的通解

設(shè)有常數(shù)n階線性差分方程：xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+anxt=b，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為：xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+anxt=0。

一元n次方程λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0稱為齊次方程的特征方程。并稱特征方程的n個(gè)解（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）λ1，λ2，…，λn為齊次方程的特征根（特征值）。又稱λ=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}為齊次方程的強(qiáng)根。則有如下結(jié)論：

1）若λ1，λ2，…，λn均為單根時(shí)，齊次方程的通解（記為xHt）為：

xHt= c1λt1+c2λt2+…+cnλtn+…+cktk-1λt1+ck+1λt k+1 （15）

2）若λi（不妨設(shè)為λ1）為k重根，即λ1=λ2=…=λk。其余為單根時(shí)，齊次方程的通解為：

xHt= c1λt1+c2tλt1+…+cktk-1λt1+ck+1λt k+1+…+cnλtn （16）

3）若λi（不妨設(shè)為λ1）為共軛復(fù)根，即λ1=u+iv且λ2=λ1=u-iv。其他特征根為單根時(shí)，齊次方程的通解為：

xHt=Rt（A1cosθt+A2sinθt）+c3λt3+…+cnλtn （17）

其中，R=||λ1||=||λ2||=；A1≡c1+c2，A2≡（c1-c2）i；θ由cosθ=，sinθ=決定。

（2）非齊次系統(tǒng)的特別解

關(guān)于常數(shù)n階線性非齊次差分方程xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+

anxt=b≠0，可以通過(guò)如下方法確定其特別解（記為xPt）：

1）當(dāng)1+a1+a2+…+an-1+an≠0時(shí)，特別解為常數(shù)，其數(shù)值為：

xPt= （18）

2）當(dāng)1+a1+a2+…+an-1+an=0，

但是n1+（n-1）1a1+（n-2）1a2+…+21an-1+11an≠0時(shí)，特別解為kt（k為常數(shù)），具體形式為：

xPt=t （19）

3）當(dāng)1+a1+a2+…+an-1+an＝0，且nm-1+（n-1）m-1a1+

（n-2）m-1a2+…+2m-1an-1+1m-1an=0 （m=2，3，…，n），但是nm+（n-1）ma1+（n-2）ma2+…+2man-1+1man≠0時(shí)，特別解為ktm（k為常數(shù)）。其具體形式為：

xPt=tm （20）

（3）非齊次系統(tǒng)的通解（記為xNt）為：

xNt=xHt+xPt （21）

3.常數(shù)一階線性差分方程組解的結(jié)構(gòu)

（1）齊次系統(tǒng)的通解

設(shè)有常數(shù)一階線性差分方程組It+1=At+，其對(duì)應(yīng)的齊次方程組為It+1=At。

|λI-A|=0稱為齊次方程組的特征方程；|λI-A|=0的n個(gè)解（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）λ1，λ2，…，λn，稱為齊次方程組的特征值；當(dāng)A=λ成立時(shí)，稱為屬于特征值λ的特征向量；并稱λ=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}為齊次方程組特征值的強(qiáng)根。則有如下結(jié)論：

1）若λi≠λj （i≠j；i，j=1，2，…，n）時(shí)，記λi對(duì)應(yīng)的特征向量為i=（ξ1i，ξ2i，…，ξni）T （i=1，2，…，n），并記ξ=（1 2… n）。那么，齊次系統(tǒng)的通解（記為Ht）為：

Ht=ξ∧ （22）

其中，∧=diag（λt1+λt2+…+λtn）；=（c1，c2，…，cn）T。

2）若λi為二重根（不妨記為λ1=λ2=λ），則當(dāng)對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有1與2兩個(gè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)基本解為1λt和2λt，此時(shí)通解公式依照（22）容易寫(xiě)出；而當(dāng)λ僅有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)，則其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)基本解為λt與（+t）λt，后一解中的滿足方程（A-λI）=λ。此時(shí)若其他特征值為單根時(shí)，有：

Ht=c11λt+c2（+t）λt+c33λt3+…+cnnλtn （23）

3）若λi（不妨設(shè)為λ1）為復(fù)根u+iv，則一定存在另一共軛復(fù)根λ2=λ1=u-iv。當(dāng)A為 實(shí)矩陣時(shí)，λ1與λ2對(duì)應(yīng)的特征向量也是共軛復(fù)向量1與2。記1、2=d±if，則兩共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)基本解為：

c1Rt（cosθt-sinθt）+c2Rt（cosθt+sinθt）[2]

其中，R=||λ1||=||λ2||=；θ由cosθ=，sinθ=確定。當(dāng)其他特征值為單根時(shí)，有：

Ht=c1Rt（cosθt-sinθt）+c2Rt（cosθt+sinθt）+c33λt3+…+

cnnλtn （24）

（2）非齊次系統(tǒng)的特別解

關(guān)于常數(shù)一階線性非齊次次方程組It+1=At+，≠0，當(dāng)|A-I|≠0（即矩陣A-I可逆）時(shí)，存在唯一穩(wěn)定均衡解（記為XPt）：

XPt=-（A-I）-1 （25）

（3）非齊次系統(tǒng)的通解（記為XNt）為：

XNt=XHt+XPt （26）

4.常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性

常數(shù)線性差分方程系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征值中強(qiáng)根的絕對(duì)值（復(fù)根的模）小于1。

二、差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用展示

（一） 在蛛網(wǎng)模型中的應(yīng)用

1. 模型

考察這樣一種情境：生產(chǎn)者的產(chǎn)出決策必須在實(shí)際銷售之前作出——比如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，種植必須比收獲及產(chǎn)出的銷售早一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)期。假設(shè)t期的產(chǎn)出決策是基于當(dāng)時(shí)流行的價(jià)格Pt，但因產(chǎn)出直到（t+1）期方能銷售。所以，Pt不能確定Qst，而只能確定Qs，t+1。因此，我們現(xiàn)在有了一個(gè)“滯后”供給函數(shù)：Qs，t+1=S（Pt）?；蛘叩葍r(jià)地，后移一期時(shí)間下標(biāo)，得到：Qst=S（Pt-1）。當(dāng)這個(gè)供給函數(shù)與形式為：Qdt=D（Pt）的需求函數(shù)相互作用時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生一種有趣動(dòng)態(tài)價(jià)格模式。

取線性形式的（滯后）供給函數(shù)和（非滯后）的需求函數(shù)，并假定每一時(shí)期的市場(chǎng)價(jià)格均處于市場(chǎng)出清時(shí)的價(jià)格水平，則有含如下三個(gè)方程的市場(chǎng)模型：

Qdt=QstQdt=α-βpt （α，β>0）Qst=-γ+δpt-1 （γ，δ>0） （1）

將后兩個(gè)方程代入第一個(gè)方程，模型可以化為一個(gè)一階差分方程：

βpt+δpt-1=α+γ

為解此方程，先將其規(guī)范化，并將時(shí)間下標(biāo)向前移一期（即變?yōu)閠（t+1）等等）。結(jié)果有：

pt+1+pt= （2）

方程（2）對(duì)應(yīng)的齊次系統(tǒng)為：pt+1+pt=0

特征方程為：λ+=0?圯λ=-

齊次系統(tǒng)的通解為：pHt=c-t （3）

非齊次系統(tǒng)的特別解為：pPt=÷= （4）

非齊次系統(tǒng)的通解為：pNt=pHt+pPt=c-t + （5）

若定解條件為f（0）=p0，則

c-0 +=p0?圯c=p0-

記p=，可得時(shí)間路徑：

pt=（p0-p）-t+p （6）

2.蛛網(wǎng)

關(guān)于此模型，可以觀測(cè)到以下三點(diǎn)：首先，pPt＝構(gòu)成了差分方程的特別解，可以將其視為模型的跨期均衡價(jià)格：p=，因?yàn)樗且粋€(gè)常數(shù)，所以是穩(wěn)定均衡。由方程（6）引出了第二點(diǎn)，即表達(dá)式（p0-p）的意義。因?yàn)椋╬0-p）對(duì)應(yīng)于cλt項(xiàng)中的常數(shù)c，所以（p0-p）的符號(hào)決定時(shí)間路徑是從均衡水平以上開(kāi)始還是從以下開(kāi)始（鏡像效應(yīng)），而其大小則決定與均衡水平的遠(yuǎn)近（標(biāo)度效應(yīng)）。最后一點(diǎn)，表達(dá)式-對(duì)應(yīng)于cλt中的λ部分。根據(jù)模型的設(shè)定：β>0且δ>0，可以導(dǎo)出一個(gè)振蕩的時(shí)間路徑。正是這一事實(shí)導(dǎo)致了所謂蛛網(wǎng)現(xiàn)象。易知，若δ>βδ=βδ<β，依次對(duì)應(yīng)的振蕩將為放大振蕩、單位振蕩和衰減振蕩。當(dāng)且僅當(dāng)δ<β時(shí)，即-=<1時(shí)，亦即強(qiáng)根絕對(duì)值小于1，時(shí)間路徑將趨近于穩(wěn)定值p。

由下頁(yè)圖1（a）可知，當(dāng)δ>β時(shí)，供求的相互作用將會(huì)產(chǎn)生如下放大振蕩：給定初始價(jià)格p0（這里假設(shè)高于p），順著箭頭，我們可在S曲線上讀出下一期的供給量（第1出清期）將為Q1。為使市場(chǎng)出清，第一期的需求量必須也為Q1，而這當(dāng)且僅當(dāng)價(jià)格確定在時(shí)p1，方能做到（見(jiàn)向下的箭頭）?，F(xiàn)在，根據(jù)S曲線，價(jià)格p1會(huì)導(dǎo)致在第2期產(chǎn)生Q2的供給量，且為使市場(chǎng)在第2期出清，按照需求曲線，價(jià)格必須定在p2水平。重復(fù)這一推理，順著圖中的箭頭，我們便可以依次推出以后各期的價(jià)格和數(shù)量，圍繞著供求曲線結(jié)成“蛛網(wǎng)”。比較價(jià)格水平p0，p1，p2，…，我們不僅可以觀察到振蕩的變化的模式，而且也可以觀測(cè)到，隨著時(shí)間的推移，價(jià)格與均衡價(jià)格的偏離不斷擴(kuò)大的傾向。具有這種由內(nèi)向外結(jié)成的蛛網(wǎng)的時(shí)間路徑是發(fā)散的，振蕩是放大的。

與其相相對(duì)照的是，在圖1（b）中，δ<β，會(huì)結(jié)成一個(gè)指向中心的網(wǎng)。若我們順著箭頭從p0出發(fā)，將越來(lái)越接近于供求曲線的交點(diǎn)，即價(jià)格水平為p的位置。價(jià)格路徑雖然是振蕩的，但卻是收斂的。

在圖1（c）中，繪出了δ=β的情形，即=1的圖形。不難知道，當(dāng)常數(shù)c固定時(shí)，-t在（-1）與1之間交替出現(xiàn)。于是，pNt=pHt+pPt=c（-1）t+p。這個(gè)公式告訴我們，p的時(shí)間路徑在p±c之間交替振蕩，即所謂單位振蕩。

（二）在薩繆爾森乘數(shù)——加速數(shù)相互作用模型中的應(yīng)用

1. 結(jié)構(gòu)

假設(shè)國(guó)民收入Yt由三種支出流組成：消費(fèi)Ct、投資It、政府支出Gt。Gt被看成上期收入Yt-1的函數(shù)，而非本期收入Yt的函數(shù)。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)Ct嚴(yán)格地與Yt-1成比例。作為一個(gè)“引致”變量，投資是消費(fèi)者現(xiàn)行支出傾向的函數(shù)。正是通過(guò)這一引致投資，加速原理才得以進(jìn)入模型。具體地，我們假設(shè)It與消費(fèi)增量ΔCt-1=Ct-Ct-1成固定比例。而第三個(gè)支出流Gt，則視為外生變量，假設(shè)它是一個(gè)常數(shù)，并去掉下標(biāo)以G表示之。

這些假定可以轉(zhuǎn)換成如下方程組：

Yt=Ct+It+GCt=γYt-1 （0<γ<1）It=α（Ct-Ct-1） （α>0） （7）

其中，γ表示邊際消費(fèi)傾向，α表示加速數(shù)。

利用第二個(gè)方程，可用收入It將表示如下

It=α（γYt-1-γYt-2）=αγ（Yt-1-Yt-2）

將此式與Ct代入（7）中第一個(gè)方程并整理，模型可以化簡(jiǎn)為一個(gè)方程：

Yt-γ（1+α）Yt-1+αγYt-2=G

或等價(jià)地（將下標(biāo)前移兩個(gè)時(shí)期）

Yt+2-γ（1+α）Yt+1+αγYt=G （8）

由于它是一個(gè)具有常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的二階線性差分方程，所以可用前面介紹的解法解之。

2.解法

（1）齊次系統(tǒng)的通解（YHt）

齊次系統(tǒng)為Yt+2-γ（1+α）Yt+1+αγYt=0

其特征方程為λ2-γ（1-α）λ+αγ=0

特征方程產(chǎn)生的兩個(gè)特征值為：

λ1，λ2=＝（9-1）

其中，Δ=γ2（1+α）2-4αγ?，F(xiàn)討論如下：

首先，當(dāng)Δ>0時(shí)，λ1≠λ2，有YKt=c1λt1+c2λt2； （9-2）

其次，當(dāng)Δ=0時(shí)，λ=λ1，2=，有YKt=c1λt+c2tλt （9-3）

第三，當(dāng)Δ<0時(shí)，λ1，2=±i，有YHt=Rt（A1cosθt+

A2sinθt） （9-4）

其中，R==；cosθ=且sinθ；A1≡c1+c2且A2≡（c1-c2）i。

（2）非齊次系統(tǒng)的特別解（YPt）

由公式（17），因n=2，1+a1+a2=1-γ（1+α）+αγ=1-γ≠0（因0<γ<0），故YPt= （9-5）

（3）非齊次系統(tǒng)的通解（YNt）

由公式（20），YNt=YHt+YPt

3.關(guān)于時(shí)間路徑收斂性的討論

由前面的討論，知道此差分方程產(chǎn)生的兩個(gè)根λ1，2=，其中，Δ=γ2（1+α）2-4αγ。下面我們準(zhǔn)備花費(fèi)一些精力討論Y的時(shí)間路徑的收斂性。因此，在Δ>0、Δ=0和Δ<0的情況下，需要區(qū)分衰減與放大兩種子情況。當(dāng)然，通過(guò)引用一些數(shù)字例子來(lái)說(shuō)明這種子情況是處理這一問(wèn)題的簡(jiǎn)單方式。不過(guò)我們還是設(shè)法求出收斂性和發(fā)散性的一般條件：盡管這很麻煩，但卻更有價(jià)值。

因?yàn)槭諗啃耘c發(fā)散性取決于λ1和λ2的值，又因?yàn)棣?和λ2的值取決于參數(shù)α和γ的值，所以，收斂與發(fā)散的條件應(yīng)當(dāng)可以用α和γ的值表示。為此，可以利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系將特征值λ1，λ2通過(guò)如下兩個(gè)方程聯(lián)系起來(lái)：

λ1+λ2=γ（1+α）λ1λ2=αγ （10）

在這兩個(gè)方程的基礎(chǔ)上，可以觀察到

（1-λ1）（1-λ2）=1-（λ1+λ2）+λ1λ2 =1-γ（1+α）+αγ=1-γ （11）

鑒于模型設(shè)定0<γ<1，可知0<1-γ<1，因此可知λ1，λ2必須滿足下面不等式

0<（1-λ1）（1-λ2）<1 （12）

首先，考察Δ>0情況下的收斂性問(wèn)題，其兩個(gè)根為不同的實(shí)根。因?yàn)橐罁?jù)假設(shè)，α和γ均為正數(shù)，λ1λ2=αγ>0，這意味著λ1和λ2具有相同的代數(shù)符號(hào)。進(jìn)而，因?yàn)棣?+λ2=γ（1+α）>0，所以可知λ1>0且λ2>0。因此，在這種情況下，時(shí)間路徑Y(jié)t不會(huì)產(chǎn)生振蕩。

盡管已知λ1和λ2的代數(shù)符號(hào)，但在這種情況下至少存在五種（λ1，λ2）值的組合，每種關(guān)于α和γ的對(duì)應(yīng)值如下：

（1）0<λ1<λ2<1?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ?圯0<1-γ<1?圯0<γ<1而αγ=λ1λ2<1。

（2）0<λ1<λ2=1?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ=0?圯γ=1。

（3）0<λ1<1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ<0?圯γ>1。

（4）1=λ1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ=0?圯γ=1。

（5）1<λ1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ?圯αγ=λ1λ2>1。

可能性（1）強(qiáng)根的絕對(duì)值小于1，完全滿足條件（12），并與模型設(shè)定0<γ<1一致。在此可能性下，兩根之積必然也為正分?jǐn)?shù)。由λ1λ2=αγ，這意味著αγ <1。相反，接下來(lái)的三種可能性都違背條件（12），并產(chǎn)生不可接受的γ值，因此，必須將它們排除掉。而可能性（5），兩根都大于1，故λ1λ2=αγ>1。在滿足條件（12）的情況下，它是一種可接受的結(jié)果｛存在不滿足（12）的情形，如λ1=11，λ2=21時(shí)，（1-λ1）（1-λ2）=（-10）×（-20）=200=1-γ?圯γ=-199<0，與假設(shè)γ>0相悖｝。結(jié)果，在第一種情況下，只有兩種可能接受的子可能性。第（1）種子可能性，強(qiáng)根的絕對(duì)值小于1，因而產(chǎn)生了一個(gè)收斂時(shí)間路徑。另一種是第（5）種子可能性，在剔除不滿足條件（12）的前提下，由于兩根絕對(duì)值都大于1，因而產(chǎn)生一個(gè)發(fā)散的時(shí)間路徑。但就和的值而言，收斂性與發(fā)散性的問(wèn)題僅取決于αγ<1還是αγ>1。

其次，考察Δ=0情況下的收斂性問(wèn)題。其兩個(gè)根為相等的實(shí)數(shù)根，其值為λ1=λ2=λ=。因?yàn)棣梁挺镁鶠檎龜?shù)的假設(shè)，它的代數(shù)符號(hào)為正，因此仍然不存在振蕩。這里只需將λ的值分為三種可能性：

（6）0<λ<1?圯0<γ<1且αγ<1。

（7）λ=1?圯γ=1。

（8）λ>1?圯αγ>1。

在可能性（6），λ的絕對(duì)值小于1。因此，關(guān)于α和γ的含義與Δ>0情況下的可能性（1）完全一致。與此類似，可能性（8），λ的絕對(duì)值大于1，且僅在1<λ<2時(shí)滿足條件（12）。如果是這樣，它與可能性（5）的結(jié)果相同。而可能性（7）違背條件（12），必須被排除。所以只有兩種可接受的子情況。第一種子情況（可能性（6））產(chǎn)生一個(gè)收斂的時(shí)間路徑；而另一個(gè)子情況（可能性（8））產(chǎn)生一個(gè)發(fā)散的時(shí)間路徑。關(guān)于α和γ，收斂與發(fā)散的子情況仍然是分別與αγ<1和αγ>1相聯(lián)系的。

最后，在Δ<0的情況下，我們得到階梯波動(dòng)，因而具有內(nèi)生的商業(yè)周期。在此情況下，應(yīng)當(dāng)考察共軛復(fù)根λ1=λ2=u+iv的模（絕對(duì)值）R=，作為判定收斂性與發(fā)散性的線索。R=產(chǎn)生如下三種可能性：

（9）0

（10）R=1?圯αγ=1。

（11）R>1?圯αγ>1。

盡管上述幾種可能性都是可接受的，但僅有R<1這種可能性具有收斂的時(shí)間路徑。

總之，當(dāng)且僅αγ<1當(dāng)時(shí)，可以得到收斂的時(shí)間路徑。

（三）在通貨膨脹——失業(yè)模型中的應(yīng)用

現(xiàn)在展示應(yīng)用常數(shù)一階線性差分方程組的一個(gè)宏觀模型，該模型涉及通貨膨脹與失業(yè)問(wèn)題。

1. 模型的構(gòu)成

（1）菲利普斯關(guān)系與附加預(yù)期的菲利普斯關(guān)系

在通貨膨脹與失業(yè)問(wèn)題的現(xiàn)代分析中，最廣泛使用的一個(gè)概念是菲利普斯關(guān)系。菲利普斯原來(lái)的公式是描述貨幣工資率與失業(yè)率之間負(fù)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系：

wt=f（Ut） f′（Ut）<0 （13）

其中，小寫(xiě)字母w表示貨幣工資W的增長(zhǎng)率，U表示失業(yè)率。所以，它僅與勞動(dòng)市場(chǎng)有關(guān)。但在后來(lái)的應(yīng)用中，已將菲利普斯關(guān)系調(diào)整為一種將通貨膨脹率與失業(yè)率聯(lián)系起來(lái)的函數(shù)。這種調(diào)整以下面觀點(diǎn)為基礎(chǔ)：成本加成定價(jià)是普遍存在的，從而正的w反映增長(zhǎng)的工資成本，這必然帶有通貨膨脹的含義。而這又使得通貨膨脹率像w一樣是U的函數(shù)。但正的通貨膨脹壓力可能被（假定為外生并以T表示）勞動(dòng)生產(chǎn)率的增長(zhǎng)所抵消。具體而言，通貨膨脹效應(yīng)當(dāng)且僅當(dāng)貨幣工資增長(zhǎng)快于生產(chǎn)率增長(zhǎng)時(shí)，方能具體表現(xiàn)出來(lái)。以小寫(xiě)字母p表示通貨膨脹率，則可寫(xiě)出：

pt=wt-T （14）

合并（13）和（14）并采用f（U）函數(shù)的線性形式，則可以得到調(diào)整的菲利普斯關(guān)系：

pt=α-T-βUt （α，β>0） （15）

最近，經(jīng)濟(jì)學(xué)家喜歡采用附加預(yù)期的菲利普斯關(guān)系：

wt=f（Ut）+gπt （0

其中，π表示預(yù)期的通貨膨脹率。諾貝爾獎(jiǎng)獲得者弗里德曼教授曾描述過(guò)（13′）所包含的思想：如果通貨膨脹趨勢(shì)在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)存在，人們便會(huì)形成某種通貨膨脹預(yù)期，并利用將這種預(yù)期納入其貨幣工資需求。因此，w應(yīng)為π的增函數(shù)。將這種思想納入到（15）中，產(chǎn)生如下方程：

pt=α-T-βUt+gπt （00） （16）

（2）適應(yīng)性預(yù)期

由于已經(jīng)引入一個(gè)新的變量來(lái)表示預(yù)期的通貨膨脹，所以有必要假設(shè)通貨膨脹預(yù)期是如何具體形成的。我們這里采用適應(yīng)性預(yù)期假設(shè)：

Δπt=j（pt-πt） （0

注意，此方程并不解釋?duì)械慕^對(duì)大小，而是描述其隨時(shí)間變化的方式。如果實(shí)際通貨膨脹率p超過(guò)預(yù)期通貨膨脹率π，那么，現(xiàn)在已經(jīng)證明是過(guò)低的π將會(huì)向上調(diào)整（Δπt=πt+1-πt>0）。反之，若p低于π，則π就會(huì)向下調(diào)整。

（3）貨幣政策

可以認(rèn)為，（16）和（17）構(gòu)成了一個(gè)完整的模型。但是，由于在兩個(gè)方程中存在三個(gè)變量，所以，其中一個(gè)變量必須視為外生的。譬如，若將π和p視為內(nèi)生的，則必須將U視為外生的。還有一個(gè)更好的選擇是引入第三個(gè)解釋變量U。這樣，模型會(huì)包含更豐富的行為特征。更重要的是，這將為我們提供一個(gè)考慮通貨膨脹對(duì)失業(yè)的反饋效果的機(jī)會(huì)。方程（16）告訴我們U是如何影響p的，但p無(wú)疑又會(huì)影響U。例如，通貨膨脹可能會(huì)影響公眾的消費(fèi)儲(chǔ)蓄決策，因而影響到對(duì)國(guó)內(nèi)產(chǎn)品的總需求，而這又會(huì)影響到失業(yè)率。甚至在政府需求管理政策的指導(dǎo)下，通貨膨脹率也會(huì)使得政策效果不同。在不同的通貨膨脹率條件下，一個(gè)給定的貨幣支出水平（財(cái)政政策）可能產(chǎn)生不同的實(shí)際貨幣擴(kuò)張率。而這些，又會(huì)對(duì)產(chǎn)出和失業(yè)產(chǎn)生不同的影響。

為簡(jiǎn)便計(jì)，我們僅考察通過(guò)貨幣政策傳遞的反饋。以M表示名義貨幣余額，名義貨幣余額的增長(zhǎng)率以m（視為外生）來(lái)表示，假設(shè)

ΔUt=-k（m-pt+1） （k>0） （18）

由于變量現(xiàn)在成為的一個(gè)決定因素，所以模型現(xiàn)在包含了從通貨膨脹到失業(yè)的反饋。

2.經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間路徑

（1）從模型到差分方程組

方程（16）、（17）和（18）構(gòu)成了一個(gè)包含三個(gè)變量π、p和U的封閉模型：

pt=α-T-βUt+gπt （α，β>0；00）

消去其中一個(gè)變量，可以將模型化簡(jiǎn)為一個(gè)一階差分方程組。假如消去p并合并同類項(xiàng)，可將模型重新寫(xiě)成差分方程組：

πt+1=（1-j+jg）πt-jβUt+j（α-T）-kgπt+1+（1+βk）UT+1=Ut+k（k-T-M）

?圳1 0-kg 1+βkπt+1Ut+1=1-j+jg-jβ0 1πtUt+j（α-T）k（α-T-m）

（19）

方程組（19）即為這個(gè)模型含兩個(gè)變量的線性差分方程組的矩陣表達(dá)式。

為敘述方便起見(jiàn)，將（19）簡(jiǎn)記為At+1=Bt + （20）

下面求解，并討論經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間路徑。

（2）特別解

如果存在靜態(tài)平衡，（19）的特別解可以表示成π＝πt＝πt+1和U=Ut=Ut+1，沿用（20）的符號(hào)，即=t=t+1。于是有（A-B）=

其中，A-B=j（1－g） jβ-kg βk，則|A-B|=j（1-g） jβ-kg βk=

βjk 1-g 1-g 1=βjk≠0。因而（A－B）可逆，于是=（A-B）-1。

由（A-B）-1=（A-B）*且（A-B）*=βk -jβkg j（1-g）

可得＝βk -jβkg j（1-g）j（α-T）k[（α-T）-m]=

βjk（α-T）-βjk（α-T）-mgjk（α-T）+jk（1-g）[（α-T）-m]= m1/β[α-T-（1-g）m]

即π=m，U=1/β[α-T－（1-g）m]。

非齊次系統(tǒng)的特別解為Pt=（m，[α-T－（1-g）m]T （21）

將（21）的結(jié)果代入（16），易得

p=α-T-βU+gπ=（α-T）-[（α-T）+（1-g）m]+gm=m （22）

可見(jiàn)，均衡的通貨膨脹率與預(yù)期通貨膨脹率相同，且它們恰好等于貨幣擴(kuò)張率。而U=1/β[α-T－（1-g）p]說(shuō)明此方程僅與均衡的失業(yè)率和通貨膨脹率有關(guān)，所以我們認(rèn)為它描述了長(zhǎng)期菲利普斯關(guān)系。其中引起經(jīng)濟(jì)學(xué)家廣泛關(guān)注的是g=1的情況。若g=1，則p項(xiàng)的系數(shù)為零，因而會(huì)從方程中消失。換言之，U將變成p的常函數(shù)。在此情況下的U值，被稱為自然失業(yè)率。這個(gè)結(jié)論具有明顯的政策含義：在長(zhǎng)期中，通貨膨脹與失業(yè)這對(duì)孿生魔鬼并不存在像短期中所存在的那種替代關(guān)系。

（3）齊次系統(tǒng)的通解

沿用（20）的記法，此模型的齊次系統(tǒng)為：At+1=Bt。因?yàn)閨A|=1+β≠0的原因，知道A可逆，故可將齊次系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)化為方程（12）的形式：It+1=（A-1B）t，進(jìn)而得到齊次系統(tǒng)的特征方程為：|λI-A-1B|=0。注意到：λI-A-1B?圳λA-B?圯|λA-B|=0?圳|λI-A-1B|=0

即可確定齊次系統(tǒng)的特征方程也可表示為：

|λA-B|=0 （23）

由（13）得

λ-（1-j+jg） jβ -λkj λ（1+βk）-1=0

?圯（1+βk）λ2-[1+gj+（1-j）（1+βk）]λ+（1-j+gj）=0 （24）

（24）是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，特征值存在三種情況。記判別式為：

Δ=[1+jg+（1-j）（1+βk）]2-4（1+βk）（1-j+jg）

可分述如下：

1）Δ>0，特征值λ1≠λ2，則屬于λ1，λ2的特征向量1，2線性無(wú)關(guān)，齊次系統(tǒng)的通解為：

Ht=c11λt1+c22λ2 （25）

2）Δ=0，特征值λ1=λ2=λ。此時(shí)有兩種子情況：

（a）當(dāng)λ存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1 ，2時(shí)，齊次系統(tǒng)的通解為：

Ht=（c11+c22）λt （26-1）

（b）當(dāng)僅有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)，齊次系統(tǒng)的通解為：

Ht=（c1λt +c2（+t）λt （26-2）

其中滿足方程（λA-B）=λ。

3）當(dāng)Δ<0時(shí)，存在共軛的特征值λ1，λ2=u±iv。因系數(shù)矩陣為實(shí)矩陣，所以屬于λ1，λ2的特征向量也是共軛的特征向量1=+i與2=-i。此時(shí)齊次系統(tǒng)的通解為：

Ht＝Rt?骔c1（cosθt-sinθt）+c2（cosθt+dsin?諄t）」 （27）

其中，R=，cosθ=，sinθ=。

（4）非齊次系統(tǒng)的通解為：

XNt+XHt+XPt （28）

（5）關(guān)于動(dòng)態(tài)路徑收斂性的討論

本模型中包含較多的參數(shù)，討論其收斂性稍有一點(diǎn)復(fù)雜，但仍可以應(yīng)用特征值（根）與特征方程系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行分析。具體地，由于兩個(gè)特征值λ1，λ2必定滿足下列兩種關(guān)系：

1）λ1+λ2==+（1-j） （29-1）

由β>0，00，易知λ1+λ2>0 （29-2）

2）λ1λ2= （30-1）

由0<（1-j）+gj≤1，可知0<λ1λ2<1 （30-2）

進(jìn)而，在本模型中我們有：

（1-λ1）（1-λ2）=1-（λ1+λ2）+λ1λ2 =1--1+j+=>0 （31）

下面對(duì)三種情況分別考察：

（a）λ1≠λ2。因λ1λ2>0，所以λ1與λ2必取相同的代數(shù)符號(hào)。進(jìn)而，因λ1+λ2>0，所以λ1>0且λ2>０，這意味著不會(huì)產(chǎn)生振蕩。由（31）可以推斷λ1與λ2均不會(huì)為1，否則（1-λ1）（1-λ2）將會(huì)等于零，與不等式所表明的含義相違。而一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1的情況是不可接受的，否則（1-λ1）（1-λ2）<0，與（31）相悖。由此可知，λ1λ2∈（0，1）或λ1λ2∈（1，+∞）必存其一。而λ1λ2∈（1，+∞）與（31）矛盾。故當(dāng)且僅當(dāng)λ1λ2∈（0，1）時(shí)，的時(shí)間路徑是收斂的。

（b）λ1=λ2=λ。此時(shí)分析與前面并無(wú)本質(zhì)不同。通過(guò)同樣的推理，我們可以斷定重根λ在本模型中只能是正分?jǐn)?shù)時(shí)，的時(shí)間路徑依然是非振蕩且收斂的。

（c）至于λ1=λ2=u+iv時(shí)的情形，收斂性要求R=<0。而由（30-1）知λ1λ2=（u+iv）（u-iv）=u2-（iv）2=u2+v2=R2=

∈（0，1）?圯R∈（0，1）。因此，在第三種情況下，的時(shí)間路徑也是收斂的，盡管這次會(huì)出現(xiàn)階梯波動(dòng)。

（6）數(shù)字的例子

為更直觀起見(jiàn)，現(xiàn)在我們展示一個(gè)具體數(shù)字的例子。令模型的三個(gè)方程取如下具體形式：

pt=-3Ut+πt

πt+1-πt=（pt-πt)

Ut+1-Ut=-（m-pt+1)

解 1）消去pt得差分方程組

πt+1=πt-Ut+-πt+1+Ut+1=Ut+-

?圯1 0- πt+1Ut+1=1 -0 1πtUt+ -

記t+1=πt+1Ut+1，t=πtUt，A=1 0- ，B=1 -0 1，

= -?圯At+1=Bt+

2）特別解（Pt）

令t+1=t=Pt?圯（A-B）Pt=

由|A-B|=0 - =≠0，（A-B）*= - 0?圯（A-B）-1=

- 0

可得

Pt=（A-B）-1= - 0 -= m

3）齊次系統(tǒng)的通解

（a）解特征方程

|λA-B|=0?圯λ-1 - λ-1=0?圯（λ-1）（λ-1）+λ=0

?圯20λ2-19λ+8=0

由判別式Δ=192-4×20×8=-279，得λ1λ2==u±iv。u=，v=，R2===?圯R2∈（0，1）?圯

R∈（0，1）。所以向量變量

t=（πt，Ut）T的時(shí)間路徑是衰減收斂于Pt=m，T的。

（b）求特征向量

令λ=，解線性方程組（λA-B）=，其中=（y1，y2）T。則得

（-1）y1+y2=0-×y1+（×-1）y2=0

由于λ=是特征值，|λA-B|=0，又由矩陣λA-B≠0，可知矩陣λA-B的秩是1。其兩列對(duì)應(yīng)成比例。

從第一個(gè)方程（-1）y1=-y2

可得y2=-（-1）y1 =（1-）y1=×y1

令y1=，則y2=。于是可知：

屬于特征值λ1=的線性無(wú)關(guān)特征向量為：

1= =+i= + 0-i

屬于特征值λ2=的線性無(wú)關(guān)特征向量為：

2= =-i= - 0-i

其中，= ，= 0-。

依公式（1.23），得齊次系統(tǒng)的通解：

Ht＝Rt?骔c1（cosθt-sinθt）+c2（cosθt-dsinθt）」

=（）t c1 cos?諄t- 0-sinθt+

c2 0-cosθt+ sinθt

4）非齊次系統(tǒng)的通解

XNt=XHt+XP

三、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，差分方程在離散經(jīng)濟(jì)變量動(dòng)態(tài)分析中的重要性和不可替代顯而易見(jiàn)。當(dāng)然，本文僅對(duì)差分方程常數(shù)線性系統(tǒng)的應(yīng)用進(jìn)行了初步的展示，更廣泛的應(yīng)用尚未涉及。盡管如此，仍可對(duì)差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中的執(zhí)牛耳之勢(shì)有所管窺。且此處使用的基本方法可以直接或稍加變通移植到其他更廣泛的應(yīng)用專題上。從這個(gè)意義上講，本文或能引起更多有識(shí)之士對(duì)差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析方面應(yīng)用的關(guān)注，是筆者的愿望。差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用的文獻(xiàn)頗多，在微觀、宏觀和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域不乏巨匠的開(kāi)創(chuàng)性論述。重在參與，不揣淺陋，為差分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用盡菲薄之力，亦是本文成章的主觀愿望。相信在越來(lái)越多的人共同努力下，差分方程在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析應(yīng)用的園地里會(huì)持續(xù)結(jié)出豐碩的科學(xué)成果。

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯 吳高君]