[摘要] 《復(fù)變函數(shù)》是《數(shù)學(xué)分析》的后續(xù)課程，前者的許多內(nèi)容與后者既有著相同之處，又有著新的發(fā)展和不同。我們通過(guò)把《數(shù)學(xué)分析》引進(jìn)《復(fù)變函數(shù)》的課堂進(jìn)行教學(xué)，并積極讓學(xué)生走上講臺(tái)，提高學(xué)生的參與感。

[關(guān)鍵詞] 復(fù)變函數(shù)論 數(shù)學(xué)分析 知識(shí)體系 比較教學(xué)法

復(fù)變函數(shù)論，是在實(shí)函數(shù)基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是《數(shù)學(xué)分析》的后續(xù)課程。它的許多內(nèi)容與《數(shù)學(xué)分析》的知識(shí)體系既有著相同之處，同時(shí)又有著新的發(fā)展和不同。學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》是進(jìn)一步掌握分析學(xué)核心內(nèi)容、提高數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的重要途徑。因此，無(wú)論學(xué)習(xí)知識(shí)還是培養(yǎng)能力來(lái)看，《復(fù)變函數(shù)》的教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)都十分重要。筆者從自身的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一些做法，尤其是把《數(shù)學(xué)分析》引進(jìn)課堂的教學(xué)方法。

一、與《數(shù)學(xué)分析》的知識(shí)平行講解，消除學(xué)生與知識(shí)的距離感

《復(fù)變函數(shù)》的第一節(jié)課，總會(huì)有學(xué)生問(wèn)道：“這門課難嗎？怎么有一種神秘感？”針對(duì)這個(gè)普遍的問(wèn)題，教師在上課時(shí)不僅要明確復(fù)變函數(shù)論的重要性，還要消除學(xué)生的這種神秘感，拉近學(xué)生與這門課的距離，使之產(chǎn)生一種親切感。

《復(fù)變函數(shù)》一般是大學(xué)三年級(jí)的專業(yè)課，學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)習(xí)過(guò)《數(shù)學(xué)分析》。通過(guò)對(duì)一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)微積分的核心內(nèi)容已經(jīng)很熟悉。如果能把微積分的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)程序引入到復(fù)變函數(shù)的課堂來(lái)，學(xué)生會(huì)有一種“親切感”，從而更愿意學(xué)。

我們知道，微積分的講解是沿著：函數(shù)——極限——連續(xù)——導(dǎo)數(shù)——積分——級(jí)數(shù)這一條主線來(lái)進(jìn)行的，其中，研究對(duì)象是實(shí)函數(shù)，且極限的概念是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)，而我們整個(gè)對(duì)《復(fù)變函數(shù)》內(nèi)容的講解也是沿著這條線進(jìn)行的，只是把研究對(duì)象變成復(fù)數(shù)域上的函數(shù)。

雖然《復(fù)變函數(shù)》的知識(shí)體系與《數(shù)學(xué)分析》的相關(guān)知識(shí)有著非常密切的聯(lián)系，但是有些學(xué)生對(duì)《數(shù)學(xué)分析》沒有很好的掌握，反而會(huì)對(duì)《復(fù)變函數(shù)》產(chǎn)生恐懼感，甚至逃避學(xué)習(xí)。針對(duì)這些問(wèn)題，首先，在教學(xué)中應(yīng)該注重本課程與前期課程《數(shù)學(xué)分析》的銜接，這既是對(duì)《數(shù)學(xué)分析》相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，也是對(duì)本課程知識(shí)的鋪墊；其次，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意到這兩門課的不同之處，采用比較教學(xué)法，從而使得學(xué)生更好地掌握這兩門課的異同，加深印象，便于理解和記憶。

二、把《數(shù)學(xué)分析》的相關(guān)內(nèi)容推廣到復(fù)數(shù)域，引入《復(fù)變函數(shù)》的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的興趣

《復(fù)變函數(shù)》是《數(shù)學(xué)分析》在復(fù)數(shù)域上的延拓，在知識(shí)結(jié)構(gòu)、理論體系、研究方法等方面，二者都緊密相關(guān)。因此，我們?cè)诒菊n程的教學(xué)上，有必要把《數(shù)學(xué)分析》的相關(guān)內(nèi)容引進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，吸收新內(nèi)容，并更新自己的分析知識(shí)。

我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下。在學(xué)生復(fù)變函數(shù)的積分時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)變函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)（解析性）兩章，這時(shí)，很多同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：《數(shù)學(xué)分析》的很多研究途徑可以移植到本課程的學(xué)習(xí)中。這時(shí)，不妨讓同學(xué)先回想一下一元函數(shù)積分的定義，即分割、取點(diǎn)、求和、取極限等步驟來(lái)建立，這是二重積分、三重積分、曲線積分的基礎(chǔ)，再讓他們回想曲線積分的定義。在回憶起舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，稍微修改一下，即可很自然地得到復(fù)變函數(shù)積分的定義。接下來(lái)，再平行引入積分運(yùn)算的性質(zhì)：線性性質(zhì)、積分曲線的可加性、積分估值，這些基本性質(zhì)與實(shí)函數(shù)是一致的；關(guān)于復(fù)積分的計(jì)算問(wèn)題，可以想到轉(zhuǎn)化為曲線積分，最終通過(guò)參數(shù)方程法轉(zhuǎn)化為最基本的定積分來(lái)處理，這也是很自然的一個(gè)過(guò)程。這樣，我們就在復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)知識(shí)的基礎(chǔ)上，自然地完成了新的知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且整個(gè)過(guò)程學(xué)生也在不斷思考，因此不會(huì)感覺枯燥。

三、通過(guò)比較《數(shù)學(xué)分析》與《復(fù)變函數(shù)》相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的異同，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)

當(dāng)然，有很多方面《復(fù)變函數(shù)》與《數(shù)學(xué)分析》這兩門課程的知識(shí)是不同的，這時(shí)，我們就不可以盲目地讓學(xué)生進(jìn)行推廣。

比如，復(fù)變函數(shù)積分的牛頓-萊布尼茲公式，它與實(shí)一元函數(shù)的牛頓-萊布尼茲公式在形式和結(jié)果上完全一致，但復(fù)變函數(shù)積分對(duì)函數(shù)的要求比實(shí)一元函數(shù)積分對(duì)函數(shù)的要求要高很多。對(duì)實(shí)一元函數(shù)而言，只要它在區(qū)間上連續(xù)，積分就存在，，就有牛頓-萊布尼茲公式成立。而對(duì)復(fù)變函數(shù)來(lái)說(shuō)，復(fù)函數(shù)連續(xù)，積分一定存在，但牛頓-萊布尼茲公式不一定成立。事實(shí)上，被積的復(fù)函數(shù)必須在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析。所以用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算復(fù)積分之前，首先要驗(yàn)證的是積分上下限的兩點(diǎn)必須包含在一個(gè)單連通域內(nèi)，且被積函數(shù)在該單連通域內(nèi)解析。這樣才可以利用與實(shí)分析學(xué)中一樣的牛頓-萊布尼茲公式進(jìn)行計(jì)算。

另外，在可導(dǎo)性方面，復(fù)變函數(shù)與實(shí)分析也是有區(qū)別的。在實(shí)分析中，某函數(shù)若可導(dǎo)，我們只能推出其導(dǎo)函數(shù)是存在的，而導(dǎo)函數(shù)是否是連續(xù)，我們無(wú)法確定，更無(wú)法確定導(dǎo)函數(shù)是否可導(dǎo)。而對(duì)于復(fù)變函數(shù)，一旦它在單連通區(qū)域內(nèi)是解析的，該函數(shù)就是無(wú)窮階解析的，即任意階導(dǎo)數(shù)都存在且解析，這個(gè)性質(zhì)明顯比實(shí)函數(shù)要好得多。

四、讓學(xué)生走上講臺(tái)，提高學(xué)生的參與感

不論什么課程，學(xué)生的參與是非常重要的。以往的教學(xué)方法都是“填鴨式”的，這樣的教學(xué)方法雖然能讓學(xué)生接觸到更多的知識(shí)，但是學(xué)生缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，從而導(dǎo)致教學(xué)效果大打折扣。所以，教師要想辦法讓學(xué)生參與到課堂教學(xué)中來(lái)，對(duì)于《復(fù)變函數(shù)》的教學(xué)亦是如此。

讓學(xué)生走上講臺(tái)，這個(gè)環(huán)節(jié)可以放在一節(jié)課開始時(shí)和一節(jié)課結(jié)束前。開始上課時(shí)，可以先讓學(xué)生走上講臺(tái)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的回顧。開始上課時(shí)，可以讓學(xué)生到講臺(tái)上回顧《數(shù)學(xué)分析》的相關(guān)內(nèi)容，然后展開本次課的內(nèi)容，學(xué)生就會(huì)考慮兩部分內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系，從而引起他們的興趣，接下來(lái)的內(nèi)容也比較好展開。當(dāng)然，讓學(xué)生走上講臺(tái)這個(gè)環(huán)節(jié)也可以放在內(nèi)容講解完，讓學(xué)生總結(jié)本次課的知識(shí)點(diǎn)并與《數(shù)學(xué)分析》的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行比較，找到他們的區(qū)別與聯(lián)系。這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性就被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，并且對(duì)知識(shí)的感受會(huì)比較深刻。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論.北京：高等教育出版社，2000.

[2]孫清華.復(fù)變函數(shù)內(nèi)容、方法、技巧.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

基金項(xiàng)目：浙江省教育廳基金（Y201120491）。