【摘 要】本文用代數(shù)證法分別證明了斯坦納-萊莫斯定理及該定理的兩個(gè)演變命題，并就此將斯坦納-萊莫斯定理及兩個(gè)命題推廣到了圓中，最后還對此做了進(jìn)一步的猜想。

【關(guān)鍵詞】等腰三角形 高線 中線 角平分線

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）19－0148－02

二 推廣

將斯坦納-萊莫斯定理及兩個(gè)命題推廣到圓中，得到了三個(gè)新命題，并用人們最熟悉的直接證法給予了證明。

命題3在△ABC的外接圓中，延長∠B、∠C的平分線BD、CE，分別交該圓于M、N，當(dāng)MO＝NO時(shí)，AB＝AC。

證明：如圖2，連接MB、NC。

∵∠BMC＝∠CNB，OM＝ON，∠MOB＝∠NOC。

∴△MOB≌△NOC，OB＝OC。

∴∠NBC＝∠MCB。

又∵∠MOB＝∠NOC。

∴△EOB≌△DOC。

∴OE＝OD。

∴CE＝BD。

由斯坦納-萊莫斯定理得：AB＝AC。

即結(jié)論得證。

命題4在△ABC的外接圓中，延長AB、AC邊上的中線BD、CE，分別交該圓于M、N，當(dāng)MO＝NO時(shí)，AB＝AC。

證明：如圖2，同上得△MOB≌△NOC，OB＝OC。

∵O為△ABC重心。

∴OM＝（1/3）（MA＋MB＋MC），ON＝（1/3）（NA＋NB＋NC），由已知得OM＝ON。

又∵M(jìn)B＝NC，MC＝NB。

∴MA＝NA則∠MOB＝∠NOC，BO＝CO，∠NBC＝∠MCB。

∴△EOB≌△DOC。

∴OE＝OD。

∴CE＝BD，由命題1得：AB＝AC。

即結(jié)論得證。

命題5在△ABC的外接圓中，延長AB、AC邊上的高線BD、CE，分別交該圓于M、N，當(dāng)MO＝NO時(shí)，AB＝AC。

證明：如圖2，同上得△MOB≌△NOC，OB＝OC。

又∵∠MOB＝∠NOC，∠OEB＝∠ODC＝90°。

∴△EOB≌△DOC。

∴OE＝OD。

∴CE＝BD，由命題2得：AB＝AC。

即結(jié)論得證。

三 猜想

在以上推廣中將圓退化為平行于BC的直線，則產(chǎn)生新的命題即：

命題7在△ABC中，過A平行于BC的直線為L，延長∠B、∠C的平分線BD、CE，分別交L于M、N，若MO＝NO，則AB＝AC。

命題8在△ABC中，過A平行于BC的直線為L，延長AB、AC邊上的中線BD、CE，分別交L于M、N，若MO＝NO，則AB＝AC。

命題9在△ABC中，過A平行于BC的直線為L，延長AB、AC邊上的高線BD、CE，分別交L于M、N，若MO＝NO，則AB＝AC。

參考文獻(xiàn)

［1］陳傳理、張同君.競賽數(shù)學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，2005.4

［2］李文銘.初等幾何教學(xué)基礎(chǔ)［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.6

［3］人民教育出版社中學(xué)教學(xué)室編著.幾何［M］.北京：人民教育出版社，2001

〔責(zé)任編輯：王以富〕