【摘 要】數(shù)學是集科學性、思想性、方法性和知識性于一體的基礎性科學，數(shù)學思想是對數(shù)學知識內(nèi)容和所使用方法的本質認識，是數(shù)學知識在更高層次的抽象概括和提煉，數(shù)學思想支配著數(shù)學的實踐活動。本文結合具體的例子，從四個方面闡述了利用數(shù)學思想，使解題思路更開闊、更靈活的方法。

【關鍵詞】方法 數(shù)學思想 解題 靈活

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）10－0004－02

數(shù)學是集科學性、思想性、方法性和知識性于一體的基礎性科學，數(shù)學的學習使學生獲得適應未來社會生活必需的數(shù)學知識和基本數(shù)學思想方法及必要的應用技能。北京師范大學錢佩玲教授指出：“數(shù)學思想方法是以數(shù)學內(nèi)容為載體，基于數(shù)學知識，又高于數(shù)學知識的一種隱性知識，是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂?！睌?shù)學思想是對數(shù)學的知識內(nèi)容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數(shù)學認識過程中提煉和概括出來的，而在后繼的認識活動中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，數(shù)學思想直接支配著數(shù)學的實踐活動。

一 利用數(shù)學思想做指導，使解題方法更靈活

數(shù)學思想能把知識的學習和培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機地聯(lián)系起來。數(shù)學思想方法作為數(shù)學知識的本質，它為分析、處理、解決數(shù)學問題提供了指導方法和解題策略，為靈活解題提供了指導性的觀點。在數(shù)學學習中，常用的數(shù)學思想方法大致有以下幾類：一般與特殊思想、轉化思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想等。只要我們善于分析歸納，靈活利用數(shù)學思想解題，定會起到事半功倍的效果。下面結合幾個具體的例子，談談如何利用數(shù)學思想做指導，使我們的解題思路更開闊，解題方法更靈活。

1．函數(shù)思想

函數(shù)是刻畫變量間關系的常用模型，函數(shù)的思想是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)知識揭示了在運動與變化過程中，量與量存在的一般性規(guī)律，研究函數(shù)的性質和圖像，即探尋用運動、變化的觀點來觀察、分析問題。尤其是對于一些常見的實際問題的處理，我們更需要轉化為數(shù)學問題，分析變量之間的聯(lián)系，構造函數(shù)，利用相關函數(shù)的思想借助導數(shù)等相關定理解決問題。

例1：設AD、BE、CF為銳角三角形ABC的三條高線，則三角形DEF稱為三角形ABC的垂足三角形。證明：這些高線平分垂足三角形的內(nèi)角。

解析：根據(jù)問題的條件及所給出數(shù)量關系，構造函數(shù)關系式，使原問題在函數(shù)關系中實現(xiàn)轉化，再借助函數(shù)圖像與性質，就能化難為易，從而解決問題。該題可轉化為一次函數(shù)問題，從而能利用解析幾何的有關知識來處理，從而使問題的解決思路更開闊靈活。

證明：以AD、BC分別為y軸和x軸建立直角坐標系，D為坐標系原點。設三角形的頂點和垂心坐標為A（0、α），B（β，0），C（γ，0），P（0，λ），用截距式寫出BD，AC

的方程 ， 聯(lián)立解得交點M的坐標，

所以直線DM的斜率為 。在此，寫出直線DN的

斜率 。可見直線DM與DN對稱于x軸和y軸。

所以AD為角MDN的角平分線。同理，可證的另外兩線為角平分線。

2．轉化與化歸的思想

數(shù)學方法論中所論及的轉化是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者解決比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法，該方法在解題中被廣泛用到。化歸與轉化的思想是解決數(shù)學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數(shù)學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，數(shù)與形的轉化，多元向一元轉化，函數(shù)與方程的轉化等，都是轉化思想的體現(xiàn)，同時也包含了由復雜向簡單的轉化、由未知向已知的轉化、由抽象向直觀的轉化、由函數(shù)向方程的轉化等多種轉化與化歸思想解決問題的方法。

例2：已知f（－x）＋2f（x）＝ ，求函數(shù)f（x）

的最大（?。┲?。

解析：該題目可考慮把復雜函數(shù)轉化為簡單函數(shù)。已知的等式中的位置具有自反性用－x代替x得到的新方程與原方

程聯(lián)立就可求出f（x）經(jīng)過運算得f（x）＝ 令y＝（x），

則yx2－2x＋y＝0，當y≠0時，要使x∈R，△≥0，判別式△＝4－4y2≥0，－1≤y≤1。

3．特殊化思想

特殊化思想的意義在于當研究的對象比較復雜時，通過對其特殊情況的研究，將會使我們對研究的對象有一個初步了解，并且?guī)椭覀兪煜に媾R問題的類型，這對于進一步處理以至最終解決這個問題有很大好處。另外，事物的共性存在于個性之中。對個別的特殊情況的討論，常?？梢酝宫F(xiàn)問題的關鍵，從而揭示問題的本質。只要我們尋找到題目蘊涵的特殊和一般之間的聯(lián)系，運用特殊化思想能起到事半功倍的效果。

例3，已知：在橢圓中，AB為橢圓的直徑（即AB過橢圓的中心），從橢圓上一點C作切線EF與過點A、點B的切線交于E、F，過點C作CD∥AE∥BF交AB于D，連接BE交CD于M。求證：BE平分CD。

解析：該題直接證明復雜，而歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，可以用仿射觀點研究一些歐氏幾何命題。仿射變換保留點線的結合性，很多一般形狀的圖形都可以由特殊圖形仿射變換得到，所以對于只涉及點線的有關數(shù)學問題，我們可以利用從特殊到一般的思想，只就特殊問題證明，一般問題的結論自然就成立。因為橢圓可以由圓徑仿射變換而得，因此只就圓證明即可，對圓來說結論顯然。

4．數(shù)形結合的思想

數(shù)形結合的思想就是把問題中的數(shù)量關系與相應的圖形結合起來，由數(shù)的性質得到相應圖形的性質，或由圖形的特征得出相應的數(shù)量關系，從而解決問題。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。

例4，求方程lgx－sinx＝0的解的個數(shù)。

解析：對于這道題，用我們常用的解方程的知識難以判斷出其解的個數(shù)的，但是，如果用數(shù)形結合的思想分析一下此題就會知道：此方程解的個數(shù)為y＝lgx的圖像與y＝sinx的圖像的交點個數(shù)。因為sinx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10。平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

二 結論

數(shù)學思想是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，要提高我們分析和解決問題的能力，形成用數(shù)學的意識解決問題，這些都離不開數(shù)學思想。除了上述討論的幾種數(shù)學思想以外，如分類討論思想、類比思想、方程思想等都是數(shù)學解題中常用的思想，只要我們善于分析歸納，將數(shù)學思想靈活運用，定能開闊解題思路，更好地掌握這門課程的知識。

參考文獻

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［2］張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用［M］.北京：北京大學出版社，2009

［3］同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學［M］.北京：高等教育出版社，2007

［4］朱德祥.初等幾何研究［M］.北京：高等教育出版社，2008

〔責任編輯：王以富〕

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文