【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想是把代數(shù)上的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，對(duì)題目中的條件和結(jié)論，既分析其代數(shù)含義，又挖掘其幾何背景，在代數(shù)和幾何的結(jié)合上尋找解題思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 方程 方法 圖形

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2011）08－0170－01

數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，而且是一種重要的思維方法，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，在中考數(shù)學(xué)試題中是重點(diǎn)考查、運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法之一。

一 中學(xué)數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)，其本質(zhì)就是研究數(shù)與形兩個(gè)問(wèn)題：這兩個(gè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是圍繞著這兩個(gè)問(wèn)題而展開(kāi)的。每個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解題中依據(jù)題目中所提供的信息及數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)作圖（函數(shù)圖象、幾何圖形、示意圖）來(lái)表述、反映問(wèn)題中數(shù)量間個(gè)元素的關(guān)聯(lián)，同時(shí)對(duì)圖形實(shí)施某些操作，往往能使問(wèn)題輕松得到解決。而形的問(wèn)題借助數(shù)去思考，把代數(shù)、幾何知識(shí)相互轉(zhuǎn)化，相互利用。解題過(guò)程使“數(shù)”與“形”各展其長(zhǎng)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來(lái)，這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想是把代數(shù)上的“數(shù)”（代數(shù)式或變量之間的數(shù)量關(guān)系）與幾何上的“形”（曲線或區(qū)域）結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，也就是對(duì)題目中的條件和結(jié)論，既分析其代數(shù)含義，又挖掘其幾何背景，在代數(shù)和幾何的結(jié)合上尋找解題思路。數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”，既是一般意義上的數(shù)，如實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等，也可以是表示數(shù)的式，如代數(shù)式或超越式，甚至它還可以是變數(shù)即函數(shù)；“形”當(dāng)然是各種形式的數(shù)的幾何圖形表示。

在解決與幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)的信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，這就是數(shù)形結(jié)合中的又一個(gè)重要方面——以數(shù)解形；在解決與數(shù)量有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，即轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，給數(shù)學(xué)問(wèn)題以直觀圖像的描述，揭示出問(wèn)題的幾何特征，變抽象為形象，這就是數(shù)形結(jié)合中的另一個(gè)重要方面——以形助數(shù)。

二 “數(shù)形結(jié)合”具體解題指導(dǎo)

1．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的主要途徑

第一是通過(guò)坐標(biāo)系。幾何形式具有直觀形象的優(yōu)勢(shì)，代數(shù)形式也具有便于計(jì)算的長(zhǎng)處，因而也有具有操作程序化的優(yōu)勢(shì)。具體在解決問(wèn)題時(shí)最好將二者結(jié)合起來(lái)。

第二是轉(zhuǎn)化。通過(guò)分析數(shù)式的結(jié)構(gòu)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度考慮，比如：數(shù)學(xué)中有很多概念，如距離、角度、斜率、點(diǎn)集、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都有明顯的幾何背景，它們都是容易轉(zhuǎn)化成“形”的，因此題目中設(shè)計(jì)到這些問(wèn)題時(shí)，可以用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決。

第三是構(gòu)造。通過(guò)構(gòu)造幾何模型，構(gòu)造函數(shù)式，構(gòu)造圖標(biāo)等等。比如：函數(shù)的圖像為數(shù)形結(jié)合帶來(lái)了便利條件，從圖像上尋找突破口常常是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。如果方程自身或方程兩邊（或通過(guò)變形）的表達(dá)式有明顯的幾何意義，可以把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形來(lái)解決。由于方程的解是函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)，因此，對(duì)一些解起來(lái)很困難的方程，用數(shù)形結(jié)合的方法求解是很重要的方法，特別是判斷方程解的個(gè)數(shù)，而不是求方程的具體值時(shí)，這樣解題更方便，也使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、直觀、明了，省略了繁雜的運(yùn)算過(guò)程。

2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的基本思路

第一，根據(jù)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)上述三個(gè)途徑，作出與之相適應(yīng)的幾何圖形（“數(shù)”上構(gòu)形），并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)式問(wèn)題，就是利用圖形分心問(wèn)題，由題目本身提供信息，在作圖過(guò)程中，實(shí)施一系列實(shí)驗(yàn)性操作，邊畫(huà)圖、邊分析、邊思考、邊解決。

第二，將圖形的信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，消弱或清除形的部分（形中覓數(shù)），使要解決的形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的討論。使問(wèn)題得到解決。

3．需要注意的問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合雖然有利用解決思路，探究結(jié)論，優(yōu)化解題過(guò)程，但應(yīng)該注意的是：（1）它是解答選擇題和填空題的有效方法，在解答題中應(yīng)慎重使用，若應(yīng)用時(shí)，解答過(guò)程應(yīng)盡可能表達(dá)清晰、詳盡，某些運(yùn)算或推理過(guò)程不得隨便省略。（2）有些數(shù)式雖然有一定的圖形背景，但求解不一定簡(jiǎn)單，可見(jiàn)它有一定的局限性，不應(yīng)過(guò)分依賴及片面追求，只需將常見(jiàn)的數(shù)形轉(zhuǎn)化類型的題目掌握好，運(yùn)用好就可以。（3）在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，要注意解析語(yǔ)言的意義及其運(yùn)用，要掌握?qǐng)D形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言及文字語(yǔ)言的互化，自覺(jué)地“由形到數(shù)”與“由形變數(shù)”地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法。

通過(guò)原形來(lái)注釋許多代數(shù)問(wèn)題都可以通過(guò)畫(huà)出圖形或圖象找到直觀的解釋，從而受到啟發(fā)找到解題捷徑，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，但需要注意的是：（1）圖象解題的嚴(yán)密性；（2）圖形與原來(lái)題意的等價(jià)性；（3）圖形的準(zhǔn)確性；（4）圖象的簡(jiǎn)單性；（5）圖形的完整性。

總之，數(shù)形結(jié)合思想方法有助于概念的相互轉(zhuǎn)化，從而利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢(shì)尋覓出解決問(wèn)題的途徑，使初看很難或者很繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單和容易。數(shù)形結(jié)合是一種典型的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)換，它具有直觀性、靈活性、深刻性和綜合性的特點(diǎn)。因此，數(shù)形結(jié)合是一把“雙刃劍”，特別對(duì)解答選擇題和填空題則是一條重要的捷徑。

〔責(zé)任編輯：陳晨〕