普通高中數(shù)學(xué)課本必修（4）（蘇教版）在教三角函數(shù)的應(yīng)用課后，安排了一道實習(xí)作業(yè)：請同學(xué)們分組，通過實驗、猜想、探索和研討焊做煙筒彎頭的裁剪方案。筆者在指導(dǎo)和參與學(xué)生研討過程中，深有感觸。這樣的問題設(shè)計有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的指向性、嚴(yán)密性和創(chuàng)造性。

在分析討論過程中，大家一致認(rèn)為：首先應(yīng)弄清側(cè)面展開圖上的接口是什么曲線，其次考慮怎樣劃線材料最省。

一 側(cè)面展開圖的接口是什么曲線

我們經(jīng)歷了實驗、猜想、證明的三個過程：

1．實驗

把一個圓柱形木材用和軸線成45°角的平面截開后，兩端一拼接就成了一個實心的直角彎頭（見圖1）。用一張矩形的紙張包裹住其中的一截木材，用鉛筆沿截口在包裹紙上畫出輪廓線，展開后觀察，發(fā)現(xiàn)輪廓線很像正弦余弦曲線。

２．猜想

在輪廓線的平衡位置劃上水平線為x軸，過最高點垂直于x軸的直線為y軸，進一步觀察，猜想輪廓線為余弦曲線的一部分。

３．證明

設(shè)圓柱的半徑為R，以過截口橢圓長軸端點C的母線為y軸。過截口橢圓中心M和y軸垂直的截面圓為x軸建立（如圖2）所示的直角坐標(biāo)系（沿過截口橢圓長軸另一個端點的母線展開）。設(shè)點P（x，y）為截口上的任一點，過點P引PQ⊥OM于Q。設(shè)截面交OM于AB，過Q引QN//OT交AB于N，連PN，則∠PNQ＝∠OMC＝45°，設(shè)∠OMQ＝θ，則θ∈[－π，π]：PQ＝y(tǒng)＝NQ＝Rcosθ，又OQ＝Rθ＝x，∴y＝

Rcos ，x∈[－Rπ，Rπ]。

二 怎樣使畫線材料最省

由余弦曲線的性質(zhì)，知按如圖怎樣使畫線材料最省所示的畫法用料最省，則材料長和寬立即可得。

三 聯(lián)想延伸

通過指導(dǎo)學(xué)生實習(xí)，深深地感到上好實習(xí)課，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，更能提高學(xué)生思維的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，不僅學(xué)到了知識，而且培養(yǎng)了興趣。

課后還有學(xué)生提出這樣的問題，柱面的數(shù)據(jù)有了，但生產(chǎn)生活實際中也有柱面和錐面焊接成的彎管，若將柱面換成錐面情況那又怎樣計算呢？

我們知道：圓錐面被平面所截，截口為圓錐曲線，若將圓錐的側(cè)面展開，截口是什么曲線呢？能求出曲線的方程嗎？筆者和幾個積極分子通過建立極坐標(biāo)系，求出了它們的方程。

以圓錐頂點O為極點，右側(cè)的母線為極軸，建立（如圖4所示）的極坐標(biāo)系（沿左側(cè)的母線展開）。

設(shè)圓錐的半頂角為a，截面與軸OT的夾角為Φ，截面與軸交于O′點。

設(shè)OO′＝d，0≤Φ≤ ，設(shè)p（p，θ）為截口上的任一點，

過點P作垂直于軸的截面OO″，與截口交于PB，則AP＝Pθ

＝O″P#8226;cos∠BO″P，O″P＝psina，∵BO″P＝ ?！郞B＝

O″P#8226;cos∠BO″P＝psina cos（ ）。

注意到O′O″＝pcosa，在Rt△OO″B中，有OB＝O′O″tanΦ

＝（d－pcosa）tanΦ?！遬sina cos（ ）＝（d－pcosa）tanΦ。

∵p＝ ，由圓錐側(cè)面展開圖的弧

長關(guān)系2πr＝lθ得：

扇形中心角θ＝2π ＝2πsind，θ∈［－πsina，πsinaπ］。

〔責(zé)任編輯：王以富〕

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