聯(lián)想是一個(gè)由此及彼的心理過程，解題時(shí)總是先細(xì)致觀察題目的題意和細(xì)微之處，充分挖掘隱蔽條件，然后深入分析因果關(guān)系，與此同時(shí)通過積極的聯(lián)想，找到已知和未知、新與舊、復(fù)雜與簡(jiǎn)單的聯(lián)系，靈活運(yùn)用一些問題的解法或結(jié)論去展開聯(lián)想，往往能使問題迎刃而解。

例1，求證：1 = 0.9。

證明：設(shè)0.9 = x，則10x = 10 × 0.9 = 9.9 = 9 + x，解得x＝1，∴1 = 0.9。

這是一道有趣的證明題，題目中是以x替換0.9，給了我們一個(gè)啟迪，使我們聯(lián)想到下一問題的解決。

例2，證明：＜ （a＞0）。

分析：本題若按常規(guī)方法，從外向內(nèi)逐個(gè)去根號(hào)，則勢(shì)必陷入死胡同，現(xiàn)根據(jù)題目特征，轉(zhuǎn)換思維方式，展開聯(lián)想，構(gòu)造數(shù)列可使問題迎刃而解。

證明：令tn =，則可構(gòu)造數(shù)列tn2＝tn-1＋a

（n≥2，n∈N）。

又∵tn-1＜tn（n≥2，n∈N），∴tn2＝tn-1＋a＜tn＋a，∴tn2－tn－a＜0。

又∵tn＞0，∴ 。

例3，從和式 中必須除去哪些項(xiàng)，

才能使余下的項(xiàng)等于1。

解：由于除去的項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)未知，所以不宜直接計(jì)算，將和式改成：

從變形中聯(lián)想到 （n∈N*），則本題可解出：

∴只須除去 、 。

例4，解不等式 。

解：原不等式可化為 ，由此我們

聯(lián)想到函數(shù)f（u）＝u3＋5u，則原不等式化為 ，

即 。

又∵f（u）是奇函數(shù)且為增函數(shù)，∴ ＞f (－x)，

∴ 。

∴ ，∴x＞－1。

例5，已知正數(shù)a，A，b，B，c，C滿足條件a＋A＝b＋B＝c＋C＝k。

求證：aA＋bB＋cC＜k2。

證明：原條件可化為a－k＋A＝0，由此我們聯(lián)想到方程

ax2－kx＋A＝0有根為1，∴Δ＝k2－4aA≥0，即aA≤ ，

同理bB≤ ，cC≤ ，∴aA＋bB＋cC＜ ＜k2。

例6，曲線l將正ΔABC分為等面積的兩部分（如圖1）。

求證：l≥ （其中l(wèi)為曲線長(zhǎng)，a為正ΔABC邊長(zhǎng)）。

證明：題目乍一看，毫無頭緒，如補(bǔ)成圖2，則問題就能化為曲線l'＝6l，將正六邊形分成等面積的兩部分，求證l'≥

，此時(shí)，曲線所圍成的面積為定值 ，

這時(shí)聯(lián)想到面積相等的圖形以圓的周長(zhǎng)最小，所以曲線l'面積為最小時(shí)，則是以A為圓心的圓，設(shè)其半徑為R，則SA＝πR2，

πR2＝ ，所以R＝ ，∴l(xiāng)'≥2πR＝2π ，

又∵l'＝6l，∴l(xiāng)≥ 。

上題的解法較為靈活，是通過聯(lián)想加上數(shù)形轉(zhuǎn)換而得出證明，所以解題時(shí)，思維一定要向外拓展，積極聯(lián)想，并在“靈”字上下工夫，這樣往往能得出簡(jiǎn)捷的解題方法。

〔責(zé)任編輯：王以富〕