導數(shù)的幾何意義是導數(shù)及其應用教學的一個重要內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富、應用廣泛，并且已經(jīng)成為新課改以來高考和各地模擬試題中的熱點考查內(nèi)容之一。下面舉例說明導數(shù)的幾何意義的應用。

我們先來回顧一下導數(shù)的幾何意義：導數(shù)f '（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點［x0，f（x0）］處的切線的斜率。

一 一個切點，雙重身份

例1，函數(shù)y＝f（x）的圖像在P處的切線方程是y＝－x＋8，求f（5）及f '（5）?！蔡K教版選修1－1習題3.1第2題〕

分析：本題把握切點的雙重身份——在曲線上，也在直線上。而直線上點的橫坐標已知，即可求出縱坐標f（5）。再者，由導數(shù)的幾何意義可知，f '（5）即為曲線上點［5，f（5）］處的切線的斜率。

解：f（5）＝－5＋8＝3，f '（5）＝1。

二 一字之差，兩種題型

應用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程也是導數(shù)的重要應用之一，這里要注意的是——“在某點的切線”≠“過某點的切線”。在某點處的切線，切線的切點就是這一點，過某點的切線切點不一定是這個點，也可能是別的點，但是切線是經(jīng)過這一點的。

下面來看兩個具體的例子：

例2，（1）求曲線y＝3x－x3上在點A（2，－2）的切線方程。

（2）求曲線y＝3x－x3上過點A（2，－2）的切線方程。

分析：第（1）小問較為簡單，是求在點A（2，－2）的切線方程，則這點就是切點，直接由導數(shù)求出在該點處的切線的斜率就可以了。

第（2）問，是求過點A（2，－2）的切線方程，所以該點未必是切點，這種情況下，一般都是設(shè)出切點坐標，用切點表示出切線方程，再將已知點代入，從而求出切點坐標，最后由切點寫出切線方程。

解：（1）Q函數(shù)的導數(shù)是y'＝3－3x2，y'|x＝2＝－9。

∴所求切線方程為y＋2＝－9（x－2），即9x＋y－16＝0。

（2）設(shè)切點（x0，y0）

Q函數(shù)的導數(shù)是y'＝3－3x2，y'|x＝x0＝3－3x0。

∴所求切線方程為y－（3x0－x03）＝（3－3x02）（x－x0），又該切線過點A（2，－2），則－2－（3x0－x03）＝（3－3x02）（2－x0）。

解得x0＝2或－1。

則所求切線方程為9x＋y－16＝0或y＋2＝0。

三 一條切線，兩條曲線

例3，已知拋物線C1∶y＝x2＋2x和C2∶y＝－x2＋a，如果直線l同時是C1和C2的切線，則稱l是C1和C2的公切線，

公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。

（2）若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。

分析：第（1）問，應先求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)切點研究切線方程和公切線方程。

第（2）問，只需證明兩條公切線段有相同的中點。

解：（1）函數(shù)y＝x2＋2x的導數(shù)是y'＝2x＋2，設(shè)曲線C1上的切點為P（x1，x12＋2x1），則切線方程為y－（x12＋2x1）＝（2x1＋2）（x－x1）。

即y＝（2x1＋2）x－x12。

函數(shù)y＝－x2＋a的導數(shù)y'＝－2x，設(shè)曲線C2上的切點Q（x2，－x22＋a）的切線方程是y－（－x22＋a）＝2x2（x－x2）。

即y＝－2x2x＋x22＋a。

如果直線l是C1和C2的公切線，則 。

消去x2得方程：2x12＋2x1＋1＋a＝0。

當判別式Δ＝4－4×2×（1＋a）＝0時，即 時，

解得 ，此時點P與Q重合。

即當 時，C1和C2有且僅有一條公切線，而且所

得公切線方程為 。

（2）證明：由（1）可知，當 時，C1和C2有兩

條公切線。

設(shè)一條公切線上切點為P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，則有：

x1＋x2＝－1

y1＋y2＝x12＋2x1＋（－x22＋a）

＝x12＋2x1－（x1＋1）2＋a

＝－1＋a

線段PQ的中點是（ ， ）。

同理，另一條公切線段P'Q'的中點也是（ ， ）。

所以，公切線段PQ和P'Q'互相平分。

點評：本題把導數(shù)與二次曲線位置關(guān)系融為一體，重在考查用導數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的能力。有關(guān)曲線切線的問題，一般都可用導數(shù)的幾何意義完成，曲線在某一定點處的切線是唯一的，因此斜率也是唯一的（若存在的話），采用斜率相等這一重要關(guān)系，往往都可解決這類問題。

〔責任編輯：王以富〕