一般來說，數(shù)學(xué)教材中蘊含著兩條主線：一是按邏輯體系編排的知識所構(gòu)成的顯性主線，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的外在形式，也是教師教和學(xué)生學(xué)的主要依據(jù)；另一條是數(shù)學(xué)的思想方法，它蘊含于知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中，是隱性主線，它是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力，是數(shù)學(xué)知識的“靈魂”。數(shù)學(xué)的核心要素是知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想，不管是新授課、練習(xí)課還是活動課等，都是在單元核心思想指導(dǎo)下使不同課型體現(xiàn)不同的思想功能，體現(xiàn)不同的育人價值。在教學(xué)過程中，教師要有意識地挖掘和提煉知識發(fā)展過程中所蘊涵的這些思想和方法，有意識地運用這些數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生不僅在學(xué)知識，更是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想和方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和靈魂，這才是真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本領(lǐng)。

下面就以蘇教版五年級《圓》這個單元為例，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ā?/p>

一、新授課，有效設(shè)計教學(xué)，感受數(shù)學(xué)的思想與方法

新授課的特點是“新”，新技能、新知識、新方法等，因此，教師要采取有效的方法，讓學(xué)生能正確、清楚地感知教材，掌握知識，學(xué)會方法。《圓》這一單元蘊含的主要數(shù)學(xué)思想是無限逼近思想、運動變化思想、轉(zhuǎn)化思想等，確立了本單元的核心思想，展開的新授課《圓的認識》、《圓的周長》、《圓的面積》等就應(yīng)該圍繞這幾種思想進行教學(xué)。

在《圓的認識》新授課中，圓的定義通過用圓規(guī)畫圓，結(jié)合圓規(guī)運動的過程把圓描述為一動點以一定點為圓心，定長為距離運動一周的軌跡，也可結(jié)合操場畫圓描述為當(dāng)一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓，要讓學(xué)生感受到運動變化的過程。還可設(shè)計畫正多邊形的方法來探究圓的形成，滲透無限逼近的思想等。

圓周率的推導(dǎo)可以用正多邊形邊長和與外接圓直徑的比值來探究，當(dāng)正多邊形邊數(shù)越來越多時，比值越接近圓周率，這時的正多邊形越來越接近圓。這樣推導(dǎo)圓周率，滲透的是無限逼近思想。

又如圓面積公式推導(dǎo)的時候把圓轉(zhuǎn)化為近似長方形，既有轉(zhuǎn)化的思想，又滲透著無限逼近的思想，使學(xué)生認識到物質(zhì)世界是運動的、變化的、可以相互轉(zhuǎn)化的，數(shù)學(xué)就是研究這些現(xiàn)實世界的空間形式和它們之間數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。

二、練習(xí)課，靈活運用習(xí)題，鞏固數(shù)學(xué)的思想與方法

數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，題目數(shù)不勝數(shù)，如果都一一去做，既不可能也無必要，關(guān)鍵在于教給學(xué)生學(xué)會靈活分析的方法，掌握解題的規(guī)律。特別是我們平時的練習(xí)課，很多老師把它上成做作業(yè)課，做過講或講過做。這樣呆板、機械的練習(xí)，只會抑制學(xué)生思維的發(fā)展。如果把靜態(tài)的習(xí)題變?yōu)閯討B(tài)的操作題，把單一解題變成靈活的問題，不但能夠提高學(xué)生的解題能力，鞏固數(shù)學(xué)的知識與思想方法，還能提高學(xué)生的綜合實踐能力。

以蘇教版《圓的面積》練習(xí)課為例，107頁的練習(xí)十九第7題：下圖（圖1、圖2、圖3）“三個正方形的邊長都是3厘米，涂色部分的面積相等嗎？為什么？”本題的設(shè)計意圖是通過計算或觀察，總結(jié)出三個圖形的涂色部分面積相等。學(xué)生通過計算或觀察都能夠總結(jié)出涂色部分面積相等，但是解決問題的策略往往只知道用正方形面積減去空白面積，只停留在表層，沒有深入到解決問題的本質(zhì)上去，也沒有得出規(guī)律性的東西。

我是這樣教學(xué)的：只出示圖1，讓學(xué)生求出陰影部分的面積，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：你能在這個正方形中畫出比這個圓更大的圓嗎？學(xué)生怎么也畫不出比這個圓面積更大的圓了，最后得出：正方形中最大的圓是直徑等于正方形邊長的圓。

規(guī)律得出來以后，我并沒有就此罷休，把它作為解決下面問題的依據(jù)。要求學(xué)生發(fā)揮各自的想象力，動手設(shè)計出正方形減去一個最大圓面積的圖形，并要說出是怎么畫出來的。學(xué)生們興致盎然，積極性非常高漲，畫出了十幾種美麗的圖案（從圖2往后的都是學(xué)生自己設(shè)計出來的），

不少孩子是用 整個圖形的1/4進行旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、平移、對折等變化而來，這里運用了轉(zhuǎn)化的思想、運動變化的思想、等級變形的思想、求同思想、求異思想等，收效很好。

通過這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)到的何止是探討三個圖形涂色部分的面積相等，更有如何去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，如何應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律去創(chuàng)造數(shù)學(xué)，去創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。所以，抓住本單元的核心要素有效開發(fā)習(xí)題，靈活運用習(xí)題進行鞏固練習(xí)，可以鍛煉孩子的靈活性思維，孩子們學(xué)到的是數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)到的是數(shù)學(xué)能力、空間想象能力、動手操作能力、手腦并用能力，感受到的是幾何世界的多彩性、豐富性，享受著數(shù)學(xué)世界的的美。

又如，第110頁的第10題：

劉大爺用15.7米的籬笆靠墻圍一個半圓形的養(yǎng)雞場（如左圖）。這個養(yǎng)雞場的面積是多少平方米？

本題的設(shè)計意圖是運用圓周長解決生活中的實際問題，根據(jù)書上提供的信息學(xué)生很容易解答出來，但是學(xué)生解答完這個題目以后，并不會留下深刻的印象，并無利用圓周長解決生活中的實際問題的意識。

于是我進行了改編：抽象的的文字全部刪除，題目中的數(shù)字和圖結(jié)合起來，變成數(shù)形結(jié)合，把數(shù)字15.7改為18.84，這樣便于計算，原來完整的雞圈圖拆成兩部分。

教學(xué)時，先出示第一部分小雞和墻的圖，緊接著出示18.84米長的籬笆。

師：同學(xué)們，劉大爺要用竹籬笆把這些雞圍起來，你能想到哪些數(shù)學(xué)問題？

生1：雞圈圍成什么形狀的？

生2：怎樣圍最美觀？

生3：怎樣圍雞圈面積最大？

師：能否給老大爺提些有益的建議呢？

生4：我想建議老大爺把雞圈圍成長方形，并且盡量長一些，這樣墻可以盡可能多地占用，面積也許會大一些。

生5：我反對，墻被占用得多，圍的長方形越長，面積會越小，應(yīng)該是正方形的時候面積最大。

師：這就是剛才一個同學(xué)提出的怎樣圍面積最大的問題，等會兒我們具體研究圍成什么形狀面積最大。

生6：我想建議老大爺把雞圈圍成正方形，這樣方方正正的，很漂亮。

生7：我覺得，如果地方很大的，就把雞圈圍得盡可能大，這樣小雞在里面活動也自由；如果地方較小，靠近路邊，就盡可能圍成長方形，不影響路邊行人走路；如果老大爺愛美，就圍成正方形，這樣美觀。

師：你考慮問題很全面，很周到。

生8：我想建議劉大爺圍成半圓形，半圓形也很漂亮，面積不是太大，也不是很小。

師：呵呵！你肯定圍成半圓形面積不大也不??？

生8：我想是的。

師：那就請同學(xué)們拿起筆來，算一算，到底怎樣圍面積最大？圍成半圓形時面積是不是不大也不??？

通過計算驗證，圍成半圓形的時候，面積最大。

緊接著，我相機引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：由此，你們還能聯(lián)想到什么？能夠得到什么規(guī)律？學(xué)生通過討論、猜想、驗證得出：在周長一定的時候，圍成的圖形中圓面積最大。

這樣的練習(xí)課，學(xué)生不僅鞏固了運用圓周長和圓面積公式解決生活中的實際問題，而且數(shù)學(xué)應(yīng)用意識得到了真正的提高，更重要的是問題意識的提高，解決問題能力的發(fā)展，同時通過這樣的靈活改變，對學(xué)生進行了數(shù)學(xué)思想和方法的教育，例如，極值思想、運動變化思想（一根繩子可以圍成長方形、正方形、圓等）、由分到合的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、數(shù)學(xué)美的思想、人文思想等等。這樣的練習(xí)課，使數(shù)學(xué)知識得到了升華，數(shù)學(xué)能力得到了提升，數(shù)學(xué)思想與方法得到了靈活運用和鞏固。

三、復(fù)習(xí)課，舊知翻版變新知，升華數(shù)學(xué)的思想與方法

一般的復(fù)習(xí)課，就是回憶知識、結(jié)構(gòu)整理、查漏補缺，用孩子們的感覺是“燙餿飯”，沒有新鮮感，很少新收獲。而抓住核心思想進行復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)課承擔(dān)的功能就是溫故而知新，舊知翻版變新知。

本單元復(fù)習(xí)，我設(shè)計了三個問題：1.通過下面的填空，你發(fā)現(xiàn)了什么？2.圓是怎樣形成的呢？以前哪些地方也用到運動變化的思想？3.圓的面積是怎樣推導(dǎo)出來的？以前還有哪些地方用到過轉(zhuǎn)化的思想和無限逼近的思想？

第1題，復(fù)習(xí)圓的一些基本知識如半徑、直徑、周長、面積的計算，然后讓學(xué)生觀察它們之間的變化，引導(dǎo)學(xué)生用擴大、縮小等知識說出半徑、直徑、周長、面積之間的變化關(guān)系，這個變化關(guān)系就是本節(jié)課的一個新知點，讓學(xué)生在溫故中知新。

第2題，復(fù)習(xí)圓的特征，讓學(xué)生復(fù)習(xí)畫圓的過程，體會圓是一個動點以定長繞一個定點運動后形成的軌跡，復(fù)習(xí)運動變化的思想，同時告訴學(xué)生點通過運動可以形成線（這里是曲線）。再讓學(xué)生回憶，以前還有哪些地方也有運動變化的思想，引導(dǎo)出兩直線位置關(guān)系結(jié)構(gòu)的運動變化：兩直線平行，如其中一條開始旋轉(zhuǎn)，其位置關(guān)系結(jié)構(gòu)立即開始變化，平行→相交、交角從略小于180°開始連續(xù)減小→垂直→相交、交角繼續(xù)減小直至略大于0°→平行。幾種基本幾何圖形形狀結(jié)構(gòu)的運動變化：長方形一邊向?qū)吰揭疲瑢⒆兂稣叫?，接著變回長方形，如該邊繞某頂點向?qū)呅D(zhuǎn)，逐漸變出梯形、三角形；平行四邊形某銳角逐漸增大（想象著擠壓它），將變出長方形，接著變回平行四邊形，如某邊繞某頂點旋轉(zhuǎn)，將變出梯形；菱形可壓縮成正方形，正方形可拉伸成菱形。

讓某一個面平移，正方體可變出長方體、長方體可變出正方體?？s小圓柱某底面面積至0，可變出圓錐。正方體、長方體和圓柱的側(cè)面展開后變成長方形，圓錐的側(cè)面展開后變成扇形。

某一面進行旋轉(zhuǎn)或平移后的軌跡，如果是正方形，旋轉(zhuǎn)后的軌跡可以得到圓柱體，如果平移得到的軌跡可以是正方體也可是長方體；如果是圓面，平移后的軌跡是圓柱，如果繞直徑旋轉(zhuǎn)后的軌跡就是球體等等。

第3題，復(fù)習(xí)圓面積公式的推導(dǎo)，把圓分割成越來越多等面積的近似三角形、再拼成近似的長方形，滲透了極限運動、轉(zhuǎn)化的思想方法。接著引導(dǎo)回憶在我們學(xué)過的內(nèi)容中，哪些地方運用過這些思想，如一年級的湊十計算法，小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的互相轉(zhuǎn)化、分?jǐn)?shù)除法的計算轉(zhuǎn)化為乘法計算、小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計算、除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法、平行四邊形面積公式推導(dǎo)、三角形面積公式推導(dǎo)、梯形面積公式推導(dǎo)等等都應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

這樣的復(fù)習(xí)課，由一個知識點鏈接成了一棵知識樹，把點變成了線，把線變成了體，把散亂變成有序，把舊知變成了新知。不僅復(fù)習(xí)了基本知識與技能，還運用本單元的核心思想把整個小學(xué)階段的知識進行了一次梳理。很多知識孩子們以前只知道用來做題解題，但不知道其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，通過復(fù)習(xí)，這些數(shù)學(xué)思想以及相關(guān)知識在孩子們的頭腦中栩栩如生，運用起來更是游刃有余，真正讓學(xué)生在溫故中知新。

四、活動課，開放自主揚個性，熔化數(shù)學(xué)的思想與方法

通過新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對本單元主要數(shù)學(xué)思想的內(nèi)核已經(jīng)掌握得比較牢固，運用這些思想解決數(shù)學(xué)問題也比較熟練了。但是要把這些思想轉(zhuǎn)化為生活運用能力、綜合實踐能力，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還有一定的困難，因為這是由知識轉(zhuǎn)化為能力，由量變到質(zhì)變的過程，也正是當(dāng)前新課程改革棘手的問題。蘇霍姆林斯基說過：要想使知識不再成為死的行囊，使它們自覺地周轉(zhuǎn)起來，只有到實踐中去，才能使其轉(zhuǎn)化為孩子們自己的東西。

本單元的綜合實踐活動主題是圍繞幾種數(shù)學(xué)思想搜集生活中的格言、警句、成語、名人名言等，只要能夠體現(xiàn)本單元極限思想、運動變化思想、轉(zhuǎn)化思想等方面的都可以，不拘形式、不限字?jǐn)?shù)。于是孩子們八仙過海各顯神通，搜集的情況如下：

體現(xiàn)事物都是運動變化的：“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同?！薄笆縿e三日將刮目相看?！薄吧傩‰x家老大回，鄉(xiāng)音未改鬢毛衰”等等。

體現(xiàn)極限思想的：喬維泰利的《零極限》心理小說、“若不好到至極，就不算偉大。”“每一種事物都有一種極限，超越極限可能帶來的是升華或者是滅亡?！薄跋嘈抛约?，堅持自己，極限將被突破，卓越就在眼前，人生終將輝煌?！薄坝麩o極限，禍亂生焉。”“明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰(zhàn)自己的極限固然是令人激奮的經(jīng)驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰?！薄皠?chuàng)新無極限！只要敢想，沒有什么不可能，立即跳出思維的框框吧”等等。

體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的：窮則思變，因禍得福，物極必反，虛心使人進步、驕傲使人落后等等。

這樣的數(shù)學(xué)綜合實踐活動課，是語文和數(shù)學(xué)的融合，是科學(xué)和哲學(xué)的融合，是社會和學(xué)校的融合，是知識和能力的融合，是教書和育人的融合。學(xué)生體會到數(shù)學(xué)不僅可以用來表達和研究科學(xué)，用來解決問題，還可以用來描寫人生，感悟做人的準(zhǔn)則，激起孩子們對數(shù)學(xué)的熱愛，對生命價值的追求。

長期以來，人們總是視數(shù)學(xué)為工具性學(xué)科，只重視數(shù)學(xué)的工具性價值，把訓(xùn)練學(xué)生的基本技能、基礎(chǔ)知識作為數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一目標(biāo)，有時竟變成一種空洞的機械解題訓(xùn)練，把學(xué)生的生活空間擠壓在分?jǐn)?shù)的爭奪上，學(xué)生的情感和精神生活在機械訓(xùn)練中逐漸萎靡，創(chuàng)造性退化。這種工具性教學(xué)，忽略了數(shù)學(xué)的文化教育價值。如果我們抓住數(shù)學(xué)的核心思想，不同的課型承擔(dān)著不同的功能，就能使數(shù)學(xué)課堂從多側(cè)面多視角展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，用數(shù)學(xué)的思想提升學(xué)生的文化素養(yǎng)，從科學(xué)的數(shù)學(xué)走向文化的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂折射出數(shù)學(xué)之美，折射出人生價值。

（陳家梅，泗陽雙語實驗學(xué)校，223700）