摘要：作為一項(xiàng)重要的教育理念，計(jì)算思維得到了國內(nèi)外科學(xué)界和教育界的廣泛關(guān)注，相應(yīng)地對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的人才培養(yǎng)提出了新的要求。本文分析了計(jì)算思維培養(yǎng)與離散數(shù)學(xué)教學(xué)之間的內(nèi)在關(guān)系，在此基礎(chǔ)上分別從課程引入和課程教學(xué)兩個(gè)階段探討如何將離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算思維培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來。通過案例，著重論述了如何將抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)核心思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，以及如何根據(jù)所講授的知識(shí)點(diǎn)適時(shí)地引入計(jì)算思維中其他基本概念和思維方法。
　　關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；離散數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；抽象；自動(dòng)化
　　
　　計(jì)算思維是卡內(nèi)基梅隆大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任Jeannette M. Wing教授在2006年提出的教育理念[1]，被認(rèn)為是近十年來產(chǎn)生的最具有基礎(chǔ)性、長期性的重要思想[2]。Wing教授認(rèn)為計(jì)算思維不僅僅屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)家，還應(yīng)該和閱讀、寫作和算術(shù)一樣，成為21世紀(jì)每個(gè)人必須具備的基本技能。
　　計(jì)算思維的概念一經(jīng)提出就引起了國內(nèi)外科學(xué)界和教育界的廣泛關(guān)注?？茖W(xué)界主要關(guān)注于計(jì)算思維如何深刻影響其他領(lǐng)域的思考方式，進(jìn)而如何促進(jìn)其他領(lǐng)域的創(chuàng)新能力。例如美國國家科學(xué)基金會(huì)于2008年啟動(dòng)了以計(jì)算思維為核心的重大基礎(chǔ)研究計(jì)劃“計(jì)算使能的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與技術(shù)創(chuàng)新”，旨在通過計(jì)算思維領(lǐng)域的創(chuàng)新和進(jìn)步來促進(jìn)自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域產(chǎn)生革命性的成果。教育界主要關(guān)注于對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)。例如ACM和IEEE-CS在修訂后的計(jì)算機(jī)科學(xué)教程2008(Computer Science Curriculum 2008)[3]79-84中明確指出應(yīng)該將計(jì)算思維作為計(jì)算機(jī)科學(xué)教學(xué)的重要組成部分。
　　計(jì)算思維對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的人才培養(yǎng)提出了新的要求。針對(duì)計(jì)算思維培養(yǎng)問題，文獻(xiàn)[4]介紹了普渡大學(xué)開設(shè)計(jì)算思維導(dǎo)論課程取得的經(jīng)驗(yàn)。文獻(xiàn)[5]對(duì)以計(jì)算思維為基礎(chǔ)和以學(xué)科思想與方法為基礎(chǔ)的兩類計(jì)算機(jī)導(dǎo)論課程進(jìn)行了分析比較。文獻(xiàn)[6]探討了如何在程序設(shè)計(jì)課程中強(qiáng)化學(xué)生的計(jì)算思維能力。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]分別探討了如何在編譯原理課程和人工智能課程中培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力。
　　離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程；該課程不僅為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫原理、人工智能等專業(yè)課程提供必須的基礎(chǔ)知識(shí)，更是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力起著重要作用。因此，針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力這個(gè)新的目標(biāo)，抓好離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)顯得尤其重要。本文首先對(duì)計(jì)算思維培養(yǎng)與離散數(shù)學(xué)教學(xué)之間的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行分析，然后通過若干案例探討如何在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)。
　　1計(jì)算思維培養(yǎng)與離散數(shù)學(xué)教學(xué)
　　在探討對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)之前我們需要明確什么是計(jì)算思維。根據(jù)Cuny、Snyder和Wing等的定義[9]，計(jì)算思維是指對(duì)問題及其解決方案進(jìn)行闡釋進(jìn)而將解決方案表示成可以被信息處理代理(information-processing agent)有效實(shí)現(xiàn)的形式的思維過程。從這個(gè)定義可以看出，計(jì)算思維最本質(zhì)的內(nèi)容是抽象和自動(dòng)化；而這兩個(gè)內(nèi)容恰好反映了計(jì)算的根本問題，即什么能被有效地自動(dòng)進(jìn)行。
　　從外延的角度來看，計(jì)算思維運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本概念來求解問題、設(shè)計(jì)系統(tǒng)和理解人類行為，包括了一系列廣泛的計(jì)算機(jī)科學(xué)的思維方法[1]。例如，計(jì)算思維通過約簡(jiǎn)、嵌入、轉(zhuǎn)化、仿真等方法，把一個(gè)看起來困難的問題重新闡釋成一個(gè)我們知道如何解決的問題；計(jì)算思維采用抽象和分解來迎接龐雜的任務(wù)；計(jì)算思維選擇合適的表示方式來陳述一個(gè)問題或者對(duì)問題的相關(guān)方面進(jìn)行建模，從而使問題易于處理；計(jì)算思維通過冗余、容錯(cuò)、糾錯(cuò)等方法來預(yù)防、檢測(cè)或者從最壞的情況恢復(fù)系統(tǒng)；計(jì)算思維在時(shí)間與空間，處理能力與存儲(chǔ)容量等之間進(jìn)行折中，計(jì)算思維進(jìn)行遞歸思考等等。
　　根據(jù)Jeannette M. Wing等的設(shè)想[9]，一個(gè)人具備計(jì)算思維能力之后將體現(xiàn)在以下方面：給定一個(gè)問題，能夠理解其哪些方面是可以計(jì)算的；能夠?qū)τ?jì)算工具或技術(shù)與需要解決的問題之間的匹配程度進(jìn)行評(píng)估，能夠理解計(jì)算工具和技術(shù)所具有的能力和局限性；能夠?qū)⒂?jì)算工具和技術(shù)用于解決新的問題；能夠識(shí)別出使用新的計(jì)算方式的機(jī)會(huì)；能夠在任何領(lǐng)域應(yīng)用諸如分而治之等計(jì)算策略。此外，對(duì)于科學(xué)家、工程師以及其他專業(yè)人士來說，具備計(jì)算思維能力之后還應(yīng)該能夠應(yīng)用新的計(jì)算方法來解決具體的專業(yè)問題，能夠?qū)栴}進(jìn)行重新闡釋從而可以采用計(jì)算策略，能夠通過分析大型的數(shù)據(jù)從而得到新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，能夠提出之前沒有想過或者由于問題的規(guī)模不敢提出但采用計(jì)算的方式容易處理的問題，能夠應(yīng)用計(jì)算的術(shù)語對(duì)問題及其解決方案進(jìn)行解釋等等。
　　基于以上分析我們認(rèn)為，為了培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力，最為關(guān)鍵的是抓住抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)核心內(nèi)容。而對(duì)于計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生來說，抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)核心內(nèi)容更具體地體現(xiàn)為如何構(gòu)建各種層次的計(jì)算環(huán)境以及如何在這種環(huán)境下進(jìn)行問題求解。此外，我們還需要提煉出計(jì)算機(jī)學(xué)科的基本概念和思維方法，在教學(xué)過程中有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這些基本概念和思維方法的理解和掌握。實(shí)際上，對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)科的基本概念和思維方法的梳理已經(jīng)得到了國內(nèi)外教育者的重視；在ACM和IEEE-CS聯(lián)合攻關(guān)組制訂的計(jì)算教程CC1991(Computing Curricula 1991)中已經(jīng)提取出了計(jì)算機(jī)學(xué)科的12個(gè)核心概念[10]，包括：概念化和形式化模型、大問題的復(fù)雜性、抽象層次、折中和結(jié)論、一致性和完備性、效率、演化、按空間排序、按時(shí)間排序、重用、安全性、以及綁定等。這些概念反映了計(jì)算機(jī)學(xué)科最核心的思想、方法和原則，我們應(yīng)該在教學(xué)過程中不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這些概念的理解和掌握。
　　作為計(jì)算機(jī)專業(yè)課程體系中的核心課程，離散數(shù)學(xué)具有內(nèi)容多、概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象等特點(diǎn)，被普遍認(rèn)為是一門既難教又難學(xué)的課程。首先，該課程由數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等多個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支組成；這些內(nèi)容自成體系，很容易讓學(xué)生覺得各部分內(nèi)容聯(lián)系不大，進(jìn)而使得學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的目的不明確。其次，該課程每部分都包含大量以字母、符號(hào)、圖形等形式呈現(xiàn)出來的抽象概念，使得學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以適應(yīng)由大量抽象概念建立起來的理論體系，往往會(huì)茫然不知所措。最后，學(xué)生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)認(rèn)識(shí)不到這門課程的重要性，覺得這門課程與計(jì)算機(jī)科學(xué)聯(lián)系不起來，看不到離散數(shù)學(xué)知識(shí)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用，從而缺乏相應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣。
　　計(jì)算思維為我們提供了一種重新審視離散數(shù)學(xué)的視角。從計(jì)算思維的角度來看，雖然離散數(shù)學(xué)由多個(gè)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容組成，但這些內(nèi)容的教學(xué)目的其實(shí)是高度統(tǒng)一的，即：訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)構(gòu)建問題的抽象模型并在其基礎(chǔ)上構(gòu)造算法和解決問題的能力；而根據(jù)上文的分析，這種能力恰好就是計(jì)算思維能力的核心所在。因此，一方面，離散數(shù)學(xué)課程為我們培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力提供了一個(gè)很好的平臺(tái)。另一方面，我們可以從計(jì)算思維這個(gè)層面來梳理和組織離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，從計(jì)算思維這個(gè)高度來進(jìn)行離散數(shù)學(xué)教學(xué)。
　　2面向計(jì)算思維的離散數(shù)學(xué)教學(xué)
　　計(jì)算思維可以貫穿于離散數(shù)學(xué)課程的整個(gè)教學(xué)過程。下面分別從課程引入和課程教學(xué)兩個(gè)階段探討如何將離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算思維培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來。
　　2.1從計(jì)算思維出發(fā)的課程引入
　　在引入離散數(shù)學(xué)課程之前，首先要向?qū)W生指明：對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練是計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)的核心所在；大家在經(jīng)過四年的大學(xué)學(xué)習(xí)之后，不僅要掌握計(jì)算機(jī)專業(yè)的相關(guān)知識(shí)，更為重要的是能夠應(yīng)用這些知識(shí)構(gòu)建出各種層次的計(jì)算環(huán)境并在這些計(jì)算環(huán)境下進(jìn)行問題求解。在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步向?qū)W生闡述：電子計(jì)算機(jī)本身是一個(gè)離散結(jié)構(gòu)，只能處理離散的或者離散化了的數(shù)量關(guān)系；因此，無論是計(jì)算機(jī)科學(xué)本身，還是與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的現(xiàn)代科學(xué)研究領(lǐng)域，都面臨著如何運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)建立模型或者如何將已用連續(xù)數(shù)量關(guān)系建立起來的模型離散化，從而可以由計(jì)算機(jī)加以處理和實(shí)現(xiàn)。
　　
　　接下來，可以比較自然地引入離散數(shù)學(xué)課程，告訴學(xué)生該課程的目的是訓(xùn)練大家運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)構(gòu)建問題的抽象模型并在其基礎(chǔ)上構(gòu)造算法和解決問題的能力，而這種能力是計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生具備計(jì)算思維能力的重要體現(xiàn)。
　　最后，還可以按照引入離散數(shù)學(xué)課程的常見方式，介紹該課程在ACM和IEEE-CS制定的計(jì)算機(jī)科學(xué)教程以及我國高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)制定的計(jì)算機(jī)專業(yè)規(guī)范中所處的核心地位；用一棵樹形象地展示該課程在計(jì)算學(xué)科主要課程中處于樹干位置的情形；以及分別列舉出數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等內(nèi)容在計(jì)算學(xué)科的相關(guān)課程和領(lǐng)域中的應(yīng)用等等。
　　總的來說，從計(jì)算思維出發(fā)引入離散數(shù)學(xué)課程可以較好地達(dá)到以下目的。首先，能夠讓學(xué)生明白該課程的重要性，能夠從整體上了解該課程在整個(gè)專業(yè)課程體系中所處的位置。其次，能夠讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)該課程的目的，即訓(xùn)練運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)構(gòu)建問題的抽象模型并在其基礎(chǔ)上構(gòu)造算法和解決問題的能力；圍繞這個(gè)學(xué)習(xí)目的，離散數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等內(nèi)容形成了一個(gè)有機(jī)的體系。最后，能夠糾正學(xué)生普遍存在的認(rèn)為計(jì)算機(jī)專業(yè)就是學(xué)習(xí)編程的誤解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到通過離散數(shù)學(xué)等各門專業(yè)課程訓(xùn)練出來的計(jì)算思維能力才是大家應(yīng)該具備的核心競(jìng)爭(zhēng)力。在實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的基礎(chǔ)上，一方面還可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)課程為訓(xùn)練他們的計(jì)算思維能力提供和一個(gè)非常好的機(jī)會(huì)，從而激發(fā)他們對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣；另一方面還可以讓他們提前認(rèn)識(shí)到抽象和自動(dòng)化將是貫穿該課程的兩個(gè)主題，從而為接下來將要接觸的大量抽象概念和符號(hào)做好心理準(zhǔn)備。
　　2.2結(jié)合計(jì)算思維的課程教學(xué)
　　計(jì)算思維與離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的結(jié)合主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先可以將抽象和自動(dòng)化兩個(gè)核心思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，其次可以根據(jù)講授的具體知識(shí)點(diǎn)適時(shí)地引入計(jì)算思維中其他基本概念和思維方法。下面分別從數(shù)理邏輯部分和圖論部分挑選兩個(gè)教學(xué)實(shí)例進(jìn)行說明。
　　實(shí)例１：從計(jì)算思維的角度組織數(shù)理邏輯教學(xué)
　　對(duì)于數(shù)理邏輯部分，按照經(jīng)典的教學(xué)方式，我們首先可以介紹萊布尼茨的理想，即把推理過程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來描述，建立直觀而又精確的思維演算，從而得出正確的結(jié)論；形象地說，當(dāng)兩個(gè)人遇有爭(zhēng)論時(shí)，雙方可以拿起筆來說“讓我們來算一下”，就可以很好地解決問題。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)理想，基本思路是首先引入一套符號(hào)體系，規(guī)定一些符號(hào)變換規(guī)則，然后借助這些符號(hào)和規(guī)則將邏輯推理過程在形式上變得像代數(shù)演算一樣。
　　從計(jì)算思維的角度來看，上述基本思路的核心恰好就是抽象和自動(dòng)化，即將雙方爭(zhēng)論的內(nèi)容抽象成符號(hào)，將邏輯思維過程抽象成符號(hào)演算，進(jìn)而可以借助工具實(shí)現(xiàn)邏輯推理。當(dāng)學(xué)生建立起這種認(rèn)識(shí)之后，我們比較自然地引入數(shù)理邏輯的基本概念，并且通過表1將離散數(shù)學(xué)中數(shù)理邏輯部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學(xué)生對(duì)該部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容形成一個(gè)清晰、全面的認(rèn)識(shí)。在接下來學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯部分的每個(gè)章節(jié)時(shí)，我們可以反復(fù)呈現(xiàn)這張表，一方面可以幫助學(xué)生知道接下來的學(xué)習(xí)內(nèi)容處于哪個(gè)位置，另一方面可以加深學(xué)生對(duì)抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)核心思想的理解和掌握。
　　在表1列出的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，對(duì)歸結(jié)推理方法的教學(xué)往往被許多教材和老師忽略。但從計(jì)算思維的角度看，歸結(jié)推理方法非常直觀地體現(xiàn)了自動(dòng)化這個(gè)核心思想，是離散數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。學(xué)習(xí)了構(gòu)造證明方法之后，學(xué)生一般會(huì)形成一個(gè)印象，覺得構(gòu)造證明法使用起來簡(jiǎn)單方便，但使用過程中需要一定的觀察能力或者需要一定的技巧。以學(xué)生的這種直觀認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，我們可以比較自然地引入歸結(jié)推理方法，告訴學(xué)生這種方法容易用算法實(shí)現(xiàn)，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)自動(dòng)的推理證明。在接下來講授了歸結(jié)推理方法的基本原理之后，我們可以將這種方法以算法的形式呈現(xiàn)出來；在有條件的情況下，還可以讓學(xué)生上機(jī)實(shí)現(xiàn)命題邏輯的歸結(jié)推理算法等[11]。
　　在給出命題邏輯的歸結(jié)推理算法之后，我們還可以對(duì)算法的可終止性、可靠性、完備性、復(fù)雜度等進(jìn)行簡(jiǎn)單論述。與之相對(duì)應(yīng)，在給出謂詞邏輯的歸結(jié)推理算法之后，可以告訴學(xué)生這個(gè)算法不一定會(huì)終止，即謂詞邏輯本身是不可判定的。當(dāng)學(xué)生理解了上述內(nèi)容之后，我們可以進(jìn)一步分析邏輯系統(tǒng)的表達(dá)能力與推理能力之間存在的矛盾關(guān)系，進(jìn)而引入計(jì)算機(jī)科學(xué)中的“折中”這個(gè)核心概念，訓(xùn)練學(xué)生能夠以解決問題為導(dǎo)向來選擇合適的工具。
　　實(shí)例2：在歐拉圖和哈密爾頓圖教學(xué)中訓(xùn)練計(jì)算思維能力
　　對(duì)于圖論部分，我們可以在一開始介紹圖論的起源時(shí)就將計(jì)算思維的相關(guān)內(nèi)容融入到課堂教學(xué)中。具體來說，在給出著名的哥尼斯堡七橋問題之后，可以向?qū)W生強(qiáng)調(diào)歐拉如何將橋的寬度、距離等無關(guān)的因素去掉，進(jìn)而構(gòu)建出一個(gè)抽象的以圖的形式呈現(xiàn)的模型；接下來，可以讓學(xué)生分析歐拉如何在圖的基礎(chǔ)上總結(jié)出三條判定規(guī)則，形成一套用來解決類似問題的可靠并且完備的理論；最后可以讓學(xué)生體驗(yàn)如何應(yīng)用歐拉建立的理論判斷任何一個(gè)圖中是否含有歐拉回路。上述三個(gè)階段實(shí)際上體現(xiàn)了進(jìn)行科學(xué)研究或者問題求解時(shí)采用的一般方法，同時(shí)也是計(jì)算思維的精髓所在。
　　在講授完歐拉圖的相關(guān)內(nèi)容之后，可以類似地引入并講授哈密爾頓圖的相關(guān)內(nèi)容，并且可以從問題的定義以及是否存在有效的判定方法等方面對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較和總結(jié)。在此基礎(chǔ)上，我們可以通過一個(gè)單詞排序問題來強(qiáng)化學(xué)生對(duì)計(jì)算思維能力的掌握。其中，對(duì)單詞排序問題描述如下：假設(shè)有n個(gè)盤子，每個(gè)盤子上分別寫著由小寫字母組成的英文單詞；需要給這些盤子安排一個(gè)合適的順序，使得相鄰兩個(gè)盤子中前一個(gè)盤子上面單詞的末字母與后一個(gè)盤子上面單詞的首字母相同。針對(duì)這個(gè)問題，要求學(xué)生對(duì)其進(jìn)行抽象后建立模型，并在此基礎(chǔ)上給出該問題的解決方法，以及分析所給出的解決方法的復(fù)雜度。
　　對(duì)于上述單詞排序問題，學(xué)生可能會(huì)給出兩種抽象建模方法。第一種方法將每個(gè)單詞作為圖中的一個(gè)頂點(diǎn)；兩個(gè)單詞之間存在一條邊當(dāng)且僅當(dāng)前一個(gè)單詞的末字母與后一個(gè)單詞的首字母相同。在此基礎(chǔ)上，單詞排序問題可以轉(zhuǎn)換為尋找哈密爾頓路徑的問題。第二種方法將26個(gè)小寫字母作為圖中的各個(gè)頂點(diǎn)；每個(gè)單詞都對(duì)應(yīng)于一條以其首字母為始點(diǎn)并且以其末字母為終點(diǎn)的邊。在此基礎(chǔ)上，單詞排序問題可以轉(zhuǎn)換為尋找歐拉路徑的問題。對(duì)這兩種方法進(jìn)行分析后學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：第一種方法的復(fù)雜度為NP完全，而第二種方法的復(fù)雜度為多項(xiàng)式時(shí)間?？偟膩碚f，借助單詞排序問題，不僅進(jìn)一步訓(xùn)練了學(xué)生進(jìn)行抽象建模和問題求解的能力，還將計(jì)算機(jī)科學(xué)中的復(fù)雜性、效率等核心概念融合進(jìn)來，訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)解決方案進(jìn)行評(píng)估的能力。
　　限于篇幅，這里僅僅列舉數(shù)理邏輯部分和圖論部分的兩個(gè)例子。其他典型例子還有：結(jié)合學(xué)生在小學(xué)和中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)有理數(shù)四則混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)運(yùn)算等進(jìn)行抽象后得到代數(shù)結(jié)構(gòu)；利用等價(jià)關(guān)系對(duì)集合進(jìn)行劃分；利用偏序關(guān)系劃分抽象層次等等。實(shí)際上，離散數(shù)學(xué)中基本上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都蘊(yùn)含了抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)核心思想以及計(jì)算思維中其他典型的基本概念和思維方法。將這些基本思想、概念和方法抽取出來并教授給學(xué)生，是我們授課教師的職責(zé)所在，但同時(shí)也對(duì)授課教師提出了挑戰(zhàn)。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，要求授課教師不僅僅是照本宣科，不僅僅是以教會(huì)學(xué)生課本上的知識(shí)為目的，而是要能夠從計(jì)算思維的高度來看待離散數(shù)學(xué)教學(xué)，要具備開闊的視野和廣博的知識(shí)，要能夠不斷學(xué)習(xí)并且不斷提升自己的知識(shí)和認(rèn)知水平。
　　3結(jié)語
　　作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，離散數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)點(diǎn)都為計(jì)算思維提供了很好的詮釋和生動(dòng)的案例。將離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算思維培養(yǎng)結(jié)合起來之后，一方面可以從計(jì)算思維的角度重新審視和組織離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，取得更好的教學(xué)效果；另一方面可以加強(qiáng)對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠更好地應(yīng)用計(jì)算思維來解決問題。
　　
　　計(jì)算思維的培養(yǎng)不是通過一兩門課程的教學(xué)就能解決的問題，而是應(yīng)該貫穿于所有專業(yè)課程的教學(xué)中。這就需要計(jì)算機(jī)專業(yè)的老師能夠從計(jì)算思維的層面看待所教授的課程，能夠?qū)@些課程中含有的計(jì)算思維的基本概念、方法和思想進(jìn)行提煉，以及能夠從計(jì)算思維的角度對(duì)這些課程進(jìn)行重新梳理和建設(shè)等。總的來說，計(jì)算思維對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的人才培養(yǎng)提出了新的要求，我們必須在專業(yè)課程的教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)計(jì)算思維能力的培養(yǎng)。
　　參考文獻(xiàn)：
　　[1] Jeannette M. Wing. Computational Thinking [J]. Communications of the