2011年上半年，筆者有幸參加了為期2個(gè)月的深圳市第15期赴美國圣文森山學(xué)院學(xué)習(xí)，在紐約市參觀了近十所中小學(xué)，旁聽了十多節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課，收集了美國紐約州2套小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對(duì)3所不同類型學(xué)校六年級(jí)100位學(xué)生及十多位成人進(jìn)行了計(jì)算能力的問卷調(diào)查，對(duì)中美兩國小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)進(jìn)行了比較。文中的中美兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主要是指中國廣東與美國紐約州的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。
　　一、從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)
　　及教材內(nèi)容方面進(jìn)行比較
　　1．課程標(biāo)準(zhǔn)方面
　　美國沒有全國統(tǒng)一的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，每個(gè)州制訂本州的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，各州的標(biāo)準(zhǔn)存在一定差異。整體而言，美國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)涉及從幼兒園至高中數(shù)學(xué)內(nèi)容：而我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)分為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)兩部分，不涉及幼兒數(shù)學(xué)教育，國家也沒有幼兒教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。本文重點(diǎn)以美國紐約州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(New York State P-12 Common CoreLearningStandards for Mathematics)與中國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)部分內(nèi)容進(jìn)行比較。美國小學(xué)數(shù)學(xué)分成數(shù)與數(shù)的讀寫(Number and Numeration)、運(yùn)算與估算(op—erations and Computation)、數(shù)據(jù)與概率(Data andChance)、幾何(Geometry)、測(cè)量(Measurement and Ref—erence Frames)、規(guī)律(Patterns)、函數(shù)及代數(shù)(Functionsand Algebra)，中國小學(xué)數(shù)學(xué)分成數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用四個(gè)部分。通過對(duì)比可以看出，中美兩國小學(xué)數(shù)學(xué)均把數(shù)與代數(shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，只不過美國小學(xué)數(shù)學(xué)分得較細(xì)，把數(shù)與代數(shù)分成三部分，并把測(cè)量專門作為一部分進(jìn)行教學(xué)，增加了“規(guī)律”部份，而“規(guī)律”是代數(shù)、函數(shù)的基礎(chǔ)。
　　2．教材內(nèi)容方面
　　在美國，不同的學(xué)校允許使用不同的教材，教材的選擇權(quán)在學(xué)校。參考了幾套教材發(fā)現(xiàn)，美國數(shù)學(xué)教材涉及知識(shí)面較廣，有些知識(shí)的介入時(shí)間比中國教材更早，但難度深度不及中國教材，計(jì)算的難度也相對(duì)較低。比如分?jǐn)?shù)教學(xué)，美國學(xué)生在小學(xué)一年級(jí)就開始學(xué)習(xí)簡單的分?jǐn)?shù)，分成四節(jié)課來學(xué)習(xí)，分別是：介紹平均分(Equal Parts)，要求學(xué)生數(shù)出平均分成多少份；學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)1／2(One Half)；學(xué)習(xí)1／4(One fourth)；學(xué)習(xí)l／2、1／3、1／4(0ne Half OneThird and One Fourth)。通過多種活動(dòng)來體會(huì)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，比如動(dòng)手為幾何圖形、常見事物的簡筆畫圖形涂色。中國的教材中，都是教授了除法之后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，除法是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，而美國的這套教材是把學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)放在學(xué)習(xí)除法之前，把分?jǐn)?shù)當(dāng)成除法的基礎(chǔ)。這一點(diǎn)與中國的數(shù)學(xué)教材差別很大。
　　美國的教材中出現(xiàn)了幾節(jié)中國初中數(shù)學(xué)教材中的指數(shù)的內(nèi)容，如10的冪、指數(shù)標(biāo)記法、冪的正負(fù)、科學(xué)記數(shù)法，出現(xiàn)了指數(shù)及負(fù)數(shù)的簡單運(yùn)算，并介紹了運(yùn)算順序，再比如出現(xiàn)了正負(fù)數(shù)的簡單運(yùn)算，如負(fù)數(shù)的應(yīng)用、正負(fù)數(shù)的加減法。學(xué)習(xí)數(shù)對(duì)之后還有兩課時(shí)的初步認(rèn)識(shí)坐標(biāo)平面及兩課時(shí)的一次函數(shù)的課程。美國計(jì)算教學(xué)中很重視平方數(shù)的教學(xué)，在問卷調(diào)查中，我們也發(fā)現(xiàn)學(xué)生、成人較善于利用平方數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，比如計(jì)算25×28時(shí)，有學(xué)生是這樣計(jì)算的：25×25=625，25×3=75，625+75=700。顯然，他利用了平方數(shù)進(jìn)行計(jì)算，相比大多數(shù)中國人的計(jì)算方法來說比較獨(dú)特。在對(duì)成人進(jìn)行調(diào)查時(shí)也發(fā)現(xiàn)，對(duì)156+12這道題目，他們是這樣運(yùn)算的：12×12=144，144+12=156，得出結(jié)果13，使用了平方數(shù)進(jìn)行計(jì)算。通過交流發(fā)現(xiàn)，他們已把20以內(nèi)的平方數(shù)記在腦中。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，這種口算方法在美國較普遍，但在中國很少見。中國小學(xué)數(shù)學(xué)中的九九乘法口訣對(duì)學(xué)生幫助很大，學(xué)生熟背九九乘法表后，計(jì)算乘除法就會(huì)很輕松，而美國教材中沒有出現(xiàn)過類似的口訣。
　　二、從學(xué)習(xí)環(huán)境，教學(xué)方式
　　方法方面進(jìn)行比較
　　在學(xué)習(xí)環(huán)境方面，美國教師很注重教室環(huán)境的布置，他們會(huì)把一些最近學(xué)習(xí)的重要的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念、公式等張貼在教室四周墻上，方便學(xué)生隨時(shí)學(xué)習(xí)。教室通常分成以下幾個(gè)功能區(qū)：一是學(xué)習(xí)區(qū)，主要供學(xué)生學(xué)習(xí)使用，配備了電子白板、黑板、電腦投影等教學(xué)設(shè)備；二是資料閱讀區(qū)，相當(dāng)于一個(gè)小型圖書館，為學(xué)生準(zhǔn)備了學(xué)習(xí)時(shí)常用的資料、學(xué)具，并配備一兩臺(tái)電腦供學(xué)生上網(wǎng)查閱資料;三是游玩休息區(qū)。
　　在教學(xué)形式方面，在美國小學(xué)課堂上，學(xué)生通常以小組形式開展學(xué)習(xí)。每堂課至少有兩位教師同時(shí)上課，一位為主講教師，另一位為助教。每班學(xué)生人數(shù)不超過25人。主講教師負(fù)責(zé)調(diào)控教學(xué)及安排學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)。主講教師有時(shí)把學(xué)生集中起來討論學(xué)習(xí)中遇到的問題，有時(shí)講解重點(diǎn)內(nèi)容，有時(shí)安排學(xué)生獨(dú)立探究然后在小組內(nèi)分享，有時(shí)是兩位教師參與小組學(xué)習(xí)、討論，學(xué)生還可以在教師的指引下操作學(xué)具，學(xué)習(xí)形式多種多樣。美國課堂上，學(xué)生較自由，可以隨便走動(dòng)，但學(xué)生的走動(dòng)必須是有目的的，或?yàn)榱饲笾诮處熁騽e的同學(xué)，或?yàn)榱说劫Y料區(qū)拿學(xué)具、學(xué)習(xí)資料，或?yàn)榱撕人蛏舷匆率珠g。由于各種原因，同一個(gè)班的學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)度上存在區(qū)別，有的學(xué)生很快就能學(xué)會(huì)當(dāng)天的任務(wù)，有的還存在一定困難。這時(shí)，兩位教師會(huì)合理分工，一方面安排學(xué)習(xí)過關(guān)的同學(xué)到資料區(qū)，去研究新的更難一點(diǎn)的任務(wù)；同時(shí)會(huì)花更多的時(shí)間去關(guān)注那些學(xué)習(xí)上存在困難的學(xué)生，及時(shí)幫助輔導(dǎo)他們，有時(shí)是一對(duì)一的形式，有時(shí)是一對(duì)多的形式。
　　在教具與模型使用方面，在進(jìn)行加減法計(jì)算教學(xué)時(shí)，中美教師使用的模型、學(xué)具也不相同。
　　例如：計(jì)算43-27=?的步驟如下。
　　
　　A．?dāng)[出43，見圖1。B．減去20，見圖2。C．3不夠減7。借—當(dāng)十，見圖3。
　　
　　
　　通過上述方法可以知道，美國教師是用一個(gè)小方塊代表1個(gè)一，一條小方塊(10個(gè)小方塊)代表一個(gè)十，一塊(10條小方塊)代表一個(gè)百，來體現(xiàn)十進(jìn)制原理，讓學(xué)生理解數(shù)位，理解滿十進(jìn)一、借一當(dāng)十的道理。我們中國教師的做法是，以一根小棒代表1個(gè)一，一捆小棒(10根)代表1個(gè)十。兩種方法均能較好地化抽象為形象。但美國的這種模型除了適用于整數(shù)加減法，還能在小數(shù)加減計(jì)算中繼續(xù)起作用，具有連貫性。中國北京師范大學(xué)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材是以人民幣為模型展開小數(shù)加減法計(jì)算，人民幣的計(jì)算對(duì)學(xué)生來說是生活中常遇到的事情，更具情景性、趣味性及實(shí)用性。
　　下面展示美國小數(shù)計(jì)算時(shí)的模型，以2.34＋1．27=?為例，見圖6。
　　
　　三、從算法與算法優(yōu)化方面進(jìn)行比較
　　中美小學(xué)計(jì)算教學(xué)都注重學(xué)生口算能力的訓(xùn)練，都強(qiáng)化了估算教學(xué)，都注重算法多樣化與算法優(yōu)化的整合，但也存在一些不同的地方。
　　1．中美計(jì)算教學(xué)均提倡算法多樣化，但美國的算法非常有個(gè)性
　　大部分美國學(xué)生在進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)用豎式計(jì)算，但也有一些相對(duì)中國人而言非常獨(dú)特的、個(gè)性化的計(jì)算方法。
　　例如：計(jì)算34×26=?時(shí)，有學(xué)生采用了格子方法，為了方便研究，我把計(jì)算過程分成如下圖兩步，得出結(jié)果34×26=884，見，圖7。
　　
　　再比如計(jì)算26×5=?時(shí)，有學(xué)生使用豎式方法計(jì)算，但與我國的計(jì)算方法區(qū)別很大。他們是先用5乘以乘數(shù)26之中十位上的2，再乘個(gè)位上的6，最后把兩個(gè)積加起來(見圖8)。
　　中國乘法計(jì)算是要求先乘個(gè)位，再乘十位，最后把兩層積加起來。在中國，如果學(xué)生出現(xiàn)這種先算十位再算個(gè)位的情況，教師通常會(huì)認(rèn)為方法錯(cuò)誤，糾正后引導(dǎo)到先算個(gè)位再算十位的方法上來。美國的教師則完全認(rèn)可學(xué)生的這種計(jì)算方法。
　　再比如，美國教師在教學(xué)除法計(jì)算時(shí)，學(xué)生也出現(xiàn)了非常有個(gè)性的計(jì)算方法。
　　如：計(jì)算371+4=?，見圖9。
　　
　　這種方法允許學(xué)生得到的余數(shù)大于除數(shù)，余數(shù)大于除數(shù)時(shí)，繼續(xù)除，直到不能除為止；然后把每一步的商加起來就是最后的結(jié)果，這種方法對(duì)學(xué)生的試商能力要求不高，對(duì)于學(xué)數(shù)學(xué)存在困難的同學(xué)幫助很大。中國除法豎式計(jì)算通常只有一種方法，計(jì)算時(shí)絕對(duì)不允許出現(xiàn)余數(shù)大于或等于除數(shù)的情況。
　　再比如，在美國二年級(jí)兩位數(shù)加減法教學(xué)時(shí)，計(jì)算：27+16=?時(shí)，美國教師還允許學(xué)生借助表格工具進(jìn)行計(jì)算(見圖10)。而我們?cè)诮潭昙?jí)計(jì)算時(shí)，通常要求學(xué)生不能再借助手指或其他工具去計(jì)算，必須去思考，或列豎式筆算。
　　
　　可以說，中美在計(jì)算教學(xué)均注重算法多樣化，但通過觀察可以看出，美國學(xué)生的計(jì)算方法更有個(gè)性，美國教師也很尊重學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。
　　2在算法優(yōu)化方面，中國教師傾向于統(tǒng)—算法，美國教師更尊重個(gè)性化算法
　　在教授計(jì)算新課程時(shí)，中國教師也非常重視算法多樣化，但到了優(yōu)化階段，教師通常會(huì)選擇自認(rèn)為的最快最好的一種計(jì)算方法，接著通過讓學(xué)生大量練習(xí)來強(qiáng)化這種方法。在這種模式下，其他的計(jì)算方法就被否決了，學(xué)生最后只能掌握一種方法。但學(xué)生之間存在差異，思維不同，基礎(chǔ)也不同，我們認(rèn)為最好的方法可能未必適合一些學(xué)生。在這種模式的長期影響下，有創(chuàng)造思維的學(xué)生也不會(huì)再嘗試自己的方法。美國教師非常尊重學(xué)生的差異，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法、尋找適合自己的計(jì)算方法，不強(qiáng)迫孩子使用教師認(rèn)為最高效、最好的方法。學(xué)生們的個(gè)性化算法因此得到保持。
　　對(duì)于25×28=?，沒有一位學(xué)生使用了把28分成7乘4，再利用4乘25等于100的簡便方法進(jìn)行計(jì)算。原以為美國孩子也會(huì)像中國孩子一樣，看到25馬上就會(huì)聯(lián)想到4，這點(diǎn)大大出乎我的意料。這也可看出中美計(jì)算思路的差別性。調(diào)查后，我把這種方法對(duì)他們進(jìn)行介紹，學(xué)生很感興趣。
　　四、從作業(yè)要求、書寫要求方面進(jìn)行比較
　　可以說中美學(xué)生作業(yè)要求差別很大，美國教師對(duì)學(xué)生的書寫要求不如中國教師嚴(yán)格。大部分美國學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)書寫比較潦草，教師對(duì)學(xué)生作業(yè)的書寫要求也較低，允許六年級(jí)學(xué)生使用鉛筆答題。中國數(shù)學(xué)教師對(duì)于計(jì)算書寫有一套嚴(yán)格要求，比如列豎式時(shí)，數(shù)位要對(duì)齊，橫線需用尺子畫，等號(hào)要寫得一樣長，不允許一長一短。再比如書寫多步計(jì)算題(梯等式)時(shí)，中國數(shù)學(xué)教師通常要求學(xué)生將等號(hào)對(duì)齊，過程需一步一步寫清楚。中國教師通常要求三年級(jí)以上的學(xué)生不能再用鉛筆答題。
　　然而美國教材中也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些不夠規(guī)范的現(xiàn)象，比如多步計(jì)算沒有等號(hào)等情況。如美國小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)教材(Everyday Mathematics)中，第151頁的梯等式就沒有等號(hào)。雖然例題主要目的是介紹運(yùn)算順序，但可以看出教材的示范性不如中國教材。美國學(xué)生看到教材上沒有等號(hào)，會(huì)以為不寫等號(hào)是可以的。所以，調(diào)查中的美國成人、學(xué)生的多步計(jì)算書寫出現(xiàn)類似情況也就理所當(dāng)然。
　　五、從運(yùn)算符號(hào)的使用方面進(jìn)行比較
　　美國數(shù)學(xué)深受計(jì)算機(jī)文化影響，融合了計(jì)算機(jī)語言的一些文化，比如使用3／4表示3÷4。再比如乘號(hào)可以用“*”表示，教材中也有提及到并且允許使用。目前中國教材中還沒有涉及到這些符號(hào)，沒有提及允許使用這些符號(hào)。這一現(xiàn)象在一定程度上反應(yīng)出美國文化的包容性。
　　六、從評(píng)價(jià)與測(cè)試方面進(jìn)行比較
　　美國各州從小學(xué)三年級(jí)開始有各州舉行的統(tǒng)一考試，學(xué)生成績分成A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)，各學(xué)校各等級(jí)的人數(shù)比例會(huì)公布在州教育部網(wǎng)上，統(tǒng)考成績與學(xué)校的辦學(xué)績效掛鉤，教育部門不僅看各學(xué)校當(dāng)年的成績，而且會(huì)與學(xué)校往年的成績進(jìn)行對(duì)比。
　　筆者對(duì)三所學(xué)校的六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了計(jì)算能力的問卷調(diào)查，問卷以兩步計(jì)算為主，最后附上一個(gè)問題“你是否喜歡學(xué)數(shù)學(xué)?”。筆者曾用這套問卷對(duì)廣東省深圳市寶安區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。出于公平的原則，在美國的測(cè)試選擇六年級(jí)的學(xué)生(美國的六年級(jí)屬于中學(xué))。計(jì)算能力統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：美國學(xué)生達(dá)A(i00分)的占41％，B(80-99分)的占30％，C(60-79分)的占20％，D及E占9％。中國學(xué)生達(dá)A(100分)的占78％，B(80-99分)的占20％，C(60-79分)的占2％，D及E占O％。可以看出，中國學(xué)生的計(jì)算能力(計(jì)算正確率)比美國學(xué)生強(qiáng)，中國學(xué)生的書寫也比美國學(xué)生工整。但對(duì)最后一個(gè)問題“你是否喜歡學(xué)數(shù)學(xué)?”，有55％的美國學(xué)生表示喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，有56％中國的學(xué)生也表示喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，比例接近。雖然中國學(xué)生的計(jì)算能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于美國學(xué)生，但真正喜歡學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生人數(shù)比例并沒有隨成績優(yōu)秀而高一些，這一點(diǎn)也值得我們深思。
　　七、從使用計(jì)算器方面進(jìn)行比較
　　美國教材中花了大量課時(shí)介紹計(jì)算器，學(xué)生從一二年級(jí)就開始按觸計(jì)算器，教材專門用1個(gè)單元7頁篇幅介紹普通計(jì)算器的使用，小學(xué)畢業(yè)班教材還專門用1個(gè)單元6節(jié)36頁篇幅介紹數(shù)學(xué)計(jì)算器的使用。在中國，中低年級(jí)學(xué)生是絕對(duì)不允許使用計(jì)算器的，高年級(jí)學(xué)生也不例外，考試時(shí)學(xué)生也只能筆算，不能使用計(jì)算器。中國的考試目前也刪除了一些繁雜的計(jì)算，但仍然要求學(xué)生考試時(shí)不能使用計(jì)算器。另外，在美國，每冊(cè)數(shù)學(xué)教材均附上了許多數(shù)學(xué)游戲方法，供教師參考和使用。
　　八、結(jié)語
　　綜上所述，中美兩國均很重視計(jì)算教學(xué)，均使用一些模型或?qū)W具幫助學(xué)生理解計(jì)算原理，都意識(shí)到口算、估算及算法多樣性的重要性。中美教師在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)方面各有優(yōu)劣，美國教師較尊重學(xué)生的個(gè)性，注重學(xué)生個(gè)性發(fā)展；中國教師更注重效率，對(duì)學(xué)生的書寫、計(jì)算格式更嚴(yán)格。對(duì)比中也發(fā)現(xiàn)，美國學(xué)生個(gè)性發(fā)展較好，創(chuàng)造性思維發(fā)展較好；中國學(xué)生計(jì)算技能、計(jì)算能力較強(qiáng)，計(jì)算正確率高，書寫普遍較工整。由于筆者所調(diào)查與研究的對(duì)象主要以紐約州部分學(xué)校、學(xué)生為例，具有一定的局限性，難以推及美國國家層面。但這些點(diǎn)滴現(xiàn)象對(duì)于今后的教學(xué)，特別在如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維方面，仍能起到一定的借鑒參考作用。
　　參考資料：
　　[1]New York State P-12 Common Core Learning Stan-dards for Mathematics[EB／OL].http：／／www.p12.nysed.gov／ciai／common_core_standards／pdfdocs／p 12 common core learn-Lug.standards mathematics final ．pdf2011-6-1．
　　[2]Everyday Mathematics frhe University of chicagoSchooI Mathematics Project)[M]．New York：McGraw HillWright Gr