江衛(wèi)華，陳志紅

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

奇異（k，n－k）共軛多點邊值問題方程組的正解

江衛(wèi)華，陳志紅

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

對固定的1≤k≤n－1，運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理，研究了具有奇性的（k，n－k）共軛多點邊值問題方程組正解的存在性。

奇異；（k，n－k）共軛多點邊值問題；正解；不動點定理

在文獻［1］中，蔣達清等對奇異（k，n－k）共軛2點邊值問題

進行了討論，并在超線性和次線性的條件下，運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理，得出了該方程的正解存在性。在文獻［2］中，蔣達清又對此問題進行了更進一步的研究，給出了格林函數(shù)的精確表達式。

在文獻［3］中，張國偉等應用不動點指數(shù)理論，得到了奇異（k，n－k）共軛邊值問題（－1）n－kφ（n）（x）＝h（x）f（φ（x）），0＜x＜1，n≥2，1≤k≤n－1分別在邊界條件：

下正解的存在性結(jié)果。對方程組的研究也已有很多結(jié)果，讀者可參見文獻［4］—文獻［9］，但對（k，n－k）共軛多點邊值問題方程組的研究，據(jù)筆者所知還未有結(jié)論。

受到以上文獻的啟發(fā)，筆者討論多點奇異（k，n－k）共軛邊值問題方程組

下面的錐拉伸與錐壓縮不動點定理，是本文的關(guān)鍵定理，其證明可見文獻［7］。

1 主要引理

引理1［2］方程（1）的格林函數(shù)為

引理4［3］假設Ⅰ）、Ⅱ）成立，則算子T為全連續(xù)算子。

證明 要證T為全連續(xù)算子，只需證明T1，T2全連續(xù)。下面給出T1全連續(xù)的證明，記作

于是T1＝A1＋A2，由文獻［2］知A1為全連續(xù)算子，易見A2為全連續(xù)算子，所以T1全連續(xù)。用類似的方法，可以得出T2全連續(xù)。所以算子T為全連續(xù)算子。

2 主要結(jié)果

所以，由式（6）、式（7）和定理1知，算子T在P∩（ˉΩ2＼Ω1）中有1個不動點。證畢。

注：考慮函數(shù)f1（x，y）＝｜sin（x＋y）｜＋｜cos（x＋y）｜，f2（x，y）＝e－（x＋y），顯然，當（x，y）∈［0，＋∞］×［0，＋∞］時，函數(shù)連續(xù)、非負，且滿足假設條件Ⅳ）。

［1］ JIANG Da－qing，LIU Hui－zhao．Existence of positive solutions to（k，n－k）conjugate boundary value problems［J］．Kyushu J Math，1999，53（1）：115－125．

［2］ 蔣達清．奇異（k，n－k）共軛邊值問題的正解［J］．數(shù)學學報（Acta Mathematica），2001，44（3）：541－548．

［3］ 張國偉，孫經(jīng)先．奇異（k，n－k）多點邊值問題的正解［J］．數(shù)學學報（Acta Mathematica Sinica），2006，49（2）：391－398．

［4］ XI Shou－liang，JIA Mei，JI Hui－Peng．Positive solutions of boundary value problems for systems of second－order differential equations with integral boundary condition on the half－line［J］．Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2009，31：1－13．

［5］ HU Ling，WANG Liang－long．Multiple positive solutions of boundary value problems for systems of nonlinear second－order differential equations［J］．J Math Anal Appl，2007，335：1 052－1 060．

［6］ JIANG Wei－h(huán)ua，CHEN Zhi－h(huán)ong．Positive solutions for systems of two－point（k，n－k）conjugate boundary value problems［A］．2010 First International Conference on Cellular，Molecular Biology，Biophysics and Bioengineering［C］．［s．L．］：［s．n．］2010．420－422．

［7］ KRASNOSELSKII M．Positive Solutions of Operator Equations［M］．Groningen：Noordhoof，1964．

［8］ 王 斌，江衛(wèi)華，黃曉芹，等．帶有p－Laplacian算子的二階微分方程組多個正解的存在性［J］．河北科技大學學報（Journal of Hebei University of Science and Technology），2011，32（1）：15－19．

［9］ 董士杰，周長杰．帶p－Laplacian算子時滯微分方程多點邊值問題的正解［J］．河北科技大學學報（Journal of Hebei University of Science and Technology），2010，31（5）：385－389．

Positive solutions to system of singular（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problems

JIANG Wei－h(huán)ua，CHEN Zhi－h(huán)ong
（College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

As 1≤k≤n－1，by using the fixed－point theorem of cone expansion and compress，the existence of positive solutions to a system of singular（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problems is studied．

singular；（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problem；positive solutions；fixed－point theorems

O121

A

1008－1542（2011）04－0303－05

2011－03－06；責任編輯：張 軍

江衛(wèi)華（1964－），女，河北邯鄲人，教授，博士，主要從事應用泛函分析、常微分方程邊值問題方面的研究。