郭守月，袁興紅，穆姝慧，周 倩，馮克成

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥 230036；2.長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022）

GRIN（Gradient Index）介質(zhì)中的Maxwell方程組與光線光學(xué)

郭守月1，袁興紅1，穆姝慧1，周 倩1，馮克成2

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥 230036；2.長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022）

利用坡印廷矢量（Poynting vector）的方向就是光線軌跡曲線的切線方向，推出程函方程（Eikonal equation）的矢量式.經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)此式包含了光的粒子性與光的波動(dòng)性因素，光線的傳播規(guī)律還受介質(zhì)折射率函數(shù)的制約.再由程函方程進(jìn)一步推得光線方程，并給出了應(yīng)用實(shí)例.

光線光學(xué)；光線方程；坡印廷矢量；變折射率介質(zhì)；程函方程

光具有波粒二相性就意味著研究光的傳播特性，既可從光的粒子性著手也可以從光的波動(dòng)性開始.光的波粒二相性應(yīng)從不同角度（或側(cè)面）考察同一個(gè)對(duì)象得出的結(jié)論，其表象是對(duì)立的，但實(shí)質(zhì)應(yīng)是統(tǒng)一的，統(tǒng)一于光的電磁本質(zhì).因此研究光的傳播行為也可以從麥克斯韋電磁波理論中的麥克斯韋方程組開始［1－2］.

光在各向同性的均勻介質(zhì)（介質(zhì)的電容率和磁導(dǎo)率均為常數(shù)，也就是介質(zhì)的折射率是常量）中傳播時(shí)，常見典型的波陣面（也稱為等相位面）是平面、球面或柱面等曲面，其形狀是不隨位置變化的，與波陣面垂直的波射線是直線.當(dāng)光在折射率隨位置（r）變化的非均勻介質(zhì)（電容率ε＝ε0εr（r）和磁導(dǎo)率μ＝μ0μr（r）均為空間位置的函數(shù)）中傳播時(shí)，雖等相位面（形狀）是隨位置變化的曲面，但波射線或者稱光線（下文用光線）總是與其經(jīng)過的每一點(diǎn)處的波陣面相垂直，此時(shí)的光線也不再是直線.比如海市蜃樓現(xiàn)象，太陽(yáng)落到地平線以下時(shí)，我們?nèi)匀荒芸吹教?yáng)等自然現(xiàn)象以及光在變折射率光學(xué)器件中沿彎曲路徑傳播等人為現(xiàn)象，都是光非直線傳播的例子.本文從麥克斯韋（方程組）電磁理論開始，推導(dǎo)程函方程及變折射率介質(zhì)中的光線方程的矢量形式，并對(duì)其進(jìn)行深入的分析和討論.

1 程函方程

當(dāng)光在非均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度E（r）與磁場(chǎng)強(qiáng)度H（r）滿足麥克斯韋方程組：

2 光線方程的矢量式

3 結(jié)果與討論

光線光學(xué)或稱幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)（波長(zhǎng)趨于零時(shí)）的極限.波動(dòng)光學(xué)是直接根據(jù)麥克斯韋方程組（或波動(dòng)方程）求解光的傳播問題.隨著光波長(zhǎng)的減小，光在均勻介質(zhì)傳播的直進(jìn)性和粒子性愈明顯.而光線光學(xué)就是利用光波長(zhǎng)趨于零的條件來簡(jiǎn)化研究光的傳播問題.即不考慮光的矢量性質(zhì)（用光子術(shù)語(yǔ)就是忽略了光子的自旋特性），而將其按一個(gè)標(biāo)量過程來對(duì)待.

仔細(xì)分析程函方程（15）式的各量可見：L（x，y，z）表示波陣面函數(shù)，它是光的波動(dòng)性的體現(xiàn)；e t和▽L都是沿光線軌跡方程的切線方向，它體現(xiàn)了光粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律；n體現(xiàn)了介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)，對(duì)光粒子的運(yùn)動(dòng)起制約作用.

（18）式在已知介質(zhì)折射率函數(shù)的條件下，一般不易求解光線軌跡方程，往往將其化為二維的標(biāo)量形式后求解［4－8］.例如：

（1）當(dāng)介質(zhì)的折射率n為常數(shù)時(shí)，由（18）式知，e t是常矢量，光線沿直線傳播；

（2）受夏日陽(yáng)光熾曬的沙漠地區(qū)或公路，接近地表的空氣密度隨高度（y）的增加而緩慢增加，導(dǎo)致折射率隨高度的增加而緩慢地線性變大［9］，可表示為

在二維直角坐標(biāo)系中，設(shè)光線軌跡方程為y＝y(tǒng)（x），由（18）式推得光線方程的標(biāo)量形式為［10］

當(dāng)α很小且光線沿地表傳播時(shí)，y′2＋1≈1，由（19）式和（20）式可得

由（21）式且利用初始條件（見圖1）：x＝x0＝0，y＝y(tǒng)0，θ＝θ0得到與文獻(xiàn)［9］一致的光線軌跡方程為

圖1 光線在GRIN介質(zhì)中傳播軌跡

以上討論可見，在GRIN介質(zhì)中以麥克斯韋方程組作為光線光學(xué)的起點(diǎn)推出的結(jié)論，如（15）式，體現(xiàn)了光的波動(dòng)性與微粒性的統(tǒng)一，同時(shí)光粒子的運(yùn)動(dòng)因受GRIN介質(zhì)折射率的制約［4－5，10］，其運(yùn)動(dòng)的軌跡一般不再是（均勻介質(zhì)中的）直線.

［1］GERMAIN CHARTIER.Introduction to optics［M］.New York：Springer，2005：136－143.

［2］劉鐵安.應(yīng)用程函方法研究光線方程式和費(fèi)馬原理［J］.應(yīng)用光學(xué)，1995，16（4）：1－3.

［3］蔡履中.光學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2007：75－78.

［4］郭守月，馮克成.媒質(zhì)中的光線方程和媒質(zhì)折射率的關(guān)系研究［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（4）：122－124.

［5］郭守月，曹春斌，孫兆奇.介質(zhì)折射率的光線光學(xué)方法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2008，46（5）：967－970.

［6］劉玉英，高建平.平方律漸變光纖中近軸子午光線的自聚焦特性研究［J］.沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，23（2）：59－61.

［7］陳智浩，何志賢，陳曦耀.拋物形梯度折射率棒透鏡中的光線軌跡［J］.激光雜志，1993，14（3）：139－141.

［8］陳凱，周自剛，張韌.正方形自聚焦透鏡光線理論研究［J］.光子學(xué)報(bào)，2008，37（4）：1739－1742.

［9］鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2003：17－25.

［10］郭守月，穆姝慧，袁興紅，等.GRIN介質(zhì)中的程函方程與光線方程［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2011，49（3）：533－536.

The Maxwell's equations and ray optics in gradient index media

GUO Shou－yue1，YUAN Xing－h(huán)ong1，MU Shu－h(huán)ui1，ZHOU Qian1，F(xiàn)ENG Ke－cheng2

（1.School of Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；2.School of Sciences，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China）

The vector expression of Eikonal equation is deduced by using the direction of Poynting vector is tangent direction of ray track.The expression contains both wave nature of light and corpuscular nature of light.At the same time，it can obtain the conclusion that ray track is restricted by the function of dielectricle refractive index.Finally，the Eikonal equation is transformed into ray equation，and application examples are given.

ray optics；equation of light ray；Poynting vector；gradient index material；Eikonal equation

O 435

140·10

A

1000－1832（2011）04－0072－04

2011－05－25

安徽省自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2011Z118）.

郭守月（1955—），男，副教授，主要從事梯度折射率光學(xué)研究.

石紹慶）