楊 帆，周士玉，馮毅夫，張慶靈

（1.天津城市建設(shè)學(xué)院電子與信息工程系，天津 300384；2.天津城市建設(shè)學(xué)院土木工程系，天津 300384；3.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；4.東北大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)研究所，遼寧沈陽(yáng) 110004）

線性雙時(shí)滯廣義系統(tǒng)時(shí)滯依賴H∞控制

楊 帆1，4，周士玉2，馮毅夫3，張慶靈4

（1.天津城市建設(shè)學(xué)院電子與信息工程系，天津 300384；2.天津城市建設(shè)學(xué)院土木工程系，天津 300384；3.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；4.東北大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)研究所，遼寧沈陽(yáng) 110004）

研究了線性雙時(shí)滯廣義系統(tǒng)時(shí)滯依賴H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.利用線性矩陣不等式方法和Lyapunov－Krasovskii泛函相結(jié)合，給出了線性雙時(shí)滯廣義系統(tǒng)的一個(gè)有界實(shí)引理.在此基礎(chǔ)上，給出了H∞控制器的設(shè)計(jì)方法和存在的充分條件.該控制器的設(shè)計(jì)使得在滿足一定的條件下閉環(huán)系統(tǒng)是正則、穩(wěn)定、無(wú)脈沖的，且從擾動(dòng)到控制輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)不超過(guò)某個(gè)確定的上界.

時(shí)滯廣義系統(tǒng)；時(shí)滯依賴；H∞控制；有界實(shí)引理；線性矩陣不等式

0 引言

時(shí)滯現(xiàn)象經(jīng)常在控制系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入或量測(cè)輸出中遇到，引起系統(tǒng)不穩(wěn)定及系統(tǒng)指標(biāo)的衰竭.時(shí)滯廣義系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用背景，尤其時(shí)滯H∞控制已成為熱點(diǎn)研究問(wèn)題［1－5］.時(shí)滯系統(tǒng)H∞控制涉及時(shí)滯獨(dú)立和時(shí)滯依賴兩種情況.時(shí)滯獨(dú)立H∞控制條件一般較為保守，特別是當(dāng)系統(tǒng)的時(shí)滯較小時(shí)；對(duì)于時(shí)滯依賴的H∞控制，為了降低系統(tǒng)對(duì)時(shí)滯依賴的保守性，有許多種方法.

E.Fridman利用廣義模型變換和線性矩陣不等式方法，給出了時(shí)滯獨(dú)立和時(shí)滯依賴H∞控制存在的充分條件，同時(shí)還研究了輸出反饋H∞控制等問(wèn)題［4］.文獻(xiàn)［6］利用積分不等式，構(gòu)造了一個(gè)不僅與時(shí)滯狀態(tài)有關(guān)，而且與時(shí)滯上界狀態(tài)有關(guān)的Lyapunov－Krasovskii泛函，有效地降低了系統(tǒng)的保守性.文獻(xiàn)［5］利用權(quán)矩陣的方法討論了線性時(shí)滯廣義系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)H∞控制，文獻(xiàn)［7］引入了一個(gè)新的Lyapunov－Krasovskii泛函，以嚴(yán)格矩陣不等式的形式設(shè)計(jì)了保守性較小的時(shí)滯依賴H∞控制器.

本文在文獻(xiàn)［2－3，8－9］的啟發(fā)下，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov－Krasovskii泛函，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有更小保守性的H∞控制器.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下線性時(shí)滯廣義系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u（t）∈Rl為系統(tǒng)控制輸入向量，ω（t）∈Rq為系統(tǒng)擾動(dòng)輸入向量且ω（t）∈Lq2［0，∞）；z（t）∈Rp為系統(tǒng)受控輸出；φ（t）為系統(tǒng)的初始狀態(tài)函數(shù)，A0，A1，A2，B，B1，C是已知適當(dāng)維數(shù)常數(shù)實(shí)矩陣，矩陣E∈Rn×n且rank（E）＝r≤n；未知時(shí)滯d j≥0但具有上界hj且0≤d j≤hj（j＝1，2），

2 時(shí)滯依賴有界實(shí)

WT＝ETP＋SRT，R∈Rn×（n－r）為滿足ETR＝0的列滿秩矩陣.則系統(tǒng)（1）是正則、無(wú)脈沖和穩(wěn)定的，且對(duì)于非零擾動(dòng)ω（t）∈Lq2［0，∞），系統(tǒng)（1）具有H∞性能指標(biāo)γ.

證明定理的證明分兩部分.首先證明系統(tǒng)是正則和無(wú)脈沖的.

由不等式（6），有

3 時(shí)滯依賴H∞控制

在定理1的基礎(chǔ)上，討論線性雙時(shí)滯廣義系統(tǒng)（1）的時(shí)滯依賴H∞控制問(wèn)題.

定理2給定性能指標(biāo)γ＞0，時(shí)滯d1，d2∈［0，h］，其中h是一個(gè)已知的正常數(shù).給定矩陣G，如果存在正定對(duì)稱矩陣P＝PT＞0，Q i＝QTi＞0，Z i＝ZTi≥0（i＝0，1，2，3）和矩陣S，F(xiàn)，T，使得如下的線性矩陣不等式（LMI）成立：

4 結(jié)論

本文研究了線性雙時(shí)滯廣義系統(tǒng)時(shí)滯依賴H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.對(duì)于兩時(shí)滯系統(tǒng)，充分考慮了兩個(gè)時(shí)滯的相互關(guān)系，構(gòu)造了一個(gè)新的Lyapunov－Krasovskii泛函，并且沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)模型變換，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有較小保守性的H∞控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是正則、穩(wěn)定和無(wú)脈沖的且具有H∞范數(shù)界.

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［2］王紅，張友，王彩玲.一類中立時(shí)滯系統(tǒng)的帶記憶輸出反饋H∞控制［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，42（1）：32－35.

［3］YANG FAN，ZHANG QINGLING.Delay－dependentH∞control for linear descriptor systems with delay in state［J］.Journal of Control Theory and Applications，2005，1：76－84.

［4］FRIDMAN E，SHAKED U.H∞－control of linear state－delay descriptor systems：an LMI approach［J］.Linear algebra and its applications，2002，（351／352）：271－302.

［5］DU Z P，ZHANG Q L，LIU L L.Delay－dependent robust stabilization for uncertain singular systems with multiple input delays［J］.ACTA Automatica Sinica，2009，35（2）：162－167.

［6］PARK P G，KO J.Stability and robust stability for systems with a time－varying delay［J］.Automatica，2007，43（8）：1885－1858.

［7］WU Z G，ZHOU W N.Delay－dependent robustH∞control for uncertain singular time－delay systems［J］.IET Control Theory and Applications，2007，1（5）：1234－1341.

［8］張偉，時(shí)寶，蓋明久.廣義時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)型H∞控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2009，26（12）：1430－1434.

［9］何勇，吳敏.多時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定及有界實(shí)引理的時(shí)滯相關(guān)條件［J］.控制理論與應(yīng)用，2004，21（5）：735－741.

Delay－dependentH∞control for singular systems with two time－delays

YANG Fan1，4，ZHOU Shi－yu2，F(xiàn)ENG Yi－fu3，ZHANG Qing－ling4

（1.Department of Electronic and Information and Engineering，Institute of Urban Construction，Tianjin 300384，China；2.Department of Civil Engineering，Institute of Urban Construction，Tianjin 300384，China；3.School of Science，Jilin Normal University，Siping 136000，China；4.Institute of Systems Science，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

The problem of delay－dependentH∞control for singular systems with two state delays is concerned.In terms of linear matrix inequalities（LMIs）approach and Lyapunov－Krasovskii functional，it presents a delay－dependent bounded real lemma（BRL）to ensure the system to be regular，impulse free，and stable withH∞performance condition for two state delays.Based on this criterion，it obtains the sufficient conditions for the existence ofH∞state－feedback controller.

singular time－delay systems；delay－dependent；H∞control；bounded real lemma（BRL）；linear matrix inequalities（LMIs）

TP 13

510·80

A

1000－1832（2011）03－0044－05

2010－04－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60574011）.

楊帆（1966—），女，博士，教授，主要從事時(shí)滯廣義系統(tǒng)魯棒控制理論及應(yīng)用研究.

陶 理）