董艷芹，佟守愚，華宏圖

（1.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春 130022；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024）

可限制李三系

董艷芹1，2，佟守愚1，華宏圖1

（1.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春 130022；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024）

給出了可限制李三系的定義，討論了限制李三系和可限制李三系的等價(jià)關(guān)系，并通過(guò)可限制李三系，討論了限制李三系的存在性問(wèn)題.

李三系；限制李三系；可限制李三系

1 預(yù)備知識(shí)

李三系源于微分幾何中黎曼對(duì)稱(chēng)空間、全測(cè)地流形、Jordan代數(shù)和李代數(shù)的研究.限制李三系（特征p域上的李三系）作為一個(gè)新興的研究領(lǐng)域，它的發(fā)展還處在起步階段.2001年，T.L.Hodge給出限制李三系的定義，并討論了限制李三系和它的包絡(luò)代數(shù)之間的關(guān)系［1］.2002年，T.L.Hodge又討論了限制李三系的表示論［2］.本文主要運(yùn)用李三系和模李代數(shù)的知識(shí)和手法來(lái)研究可限制李三系［3－7］.在本文中，除了另外表明，k都是特征p域，其中p是大于2的素?cái)?shù).

定義1.1若T是一個(gè)關(guān)于三元積封閉的向量空間，并且對(duì)任意a，b，c，d，e∈T，滿足下面等式：

則稱(chēng)T為李三系.

定義1.2T是一個(gè)李三系，任意x，y，z∈T，我們定義L（x，y）∈EndT，使得L（x，y）z＝［x，y，z］，并且L（T，T）表示由｛L（x，y）｜x，y∈T｝線性張成的空間.定義T的標(biāo)準(zhǔn)嵌入李代數(shù)Ls（T）＝L（T，T）⊕T，它的運(yùn)算為

定義1.3李三系T的中心Z（T）定義為Z（T）＝｛x∈T｜［x，a，b］＝0，?a，b∈T｝.

定義1.4若李三系T滿足［x，y，z］＝0，?x，y，z∈T，則稱(chēng)T為交換李三系.

定義1.5李三系T到的一個(gè)線性映射Φ：T→，若滿足

則稱(chēng)Φ為李三系T到的同態(tài).

定義1.6李三系T的子空間φ，如果滿足［φ，φ，φ］?φ，則稱(chēng)φ為李三系T的子系.

定義1.7李三系T的子空間φ，如果滿足［φ，T，T］?φ，則稱(chēng)φ為李三系T的理想，表示為φ?T.定義1.8設(shè)φ是李三系T的理想，定義φ0∶＝φ.當(dāng)n≥0，定義φn＋1∶＝［φn，T，φ］＋［φ，T，φn］.

定義1.9［2］設(shè)T是任意一個(gè)李三系，T的標(biāo)準(zhǔn)嵌入李代數(shù)是Ls（T）＝L（T，T）⊕T，對(duì)于任意N≥3的正奇數(shù)，任意x1，x2，…，x N∈T，我們定義：

定義1.10［2］設(shè)T是域k上的一個(gè)李三系.如果存在一個(gè)映射［p］：T→T，并且對(duì)任意a，b，c∈T，α∈k，滿足下面等式：

其中isi（a，b）是λi－1在（ad（λa＋b））p－1（a）中的系數(shù)（由文獻(xiàn)［1］的命題3.9知si（a，b）∈T），則稱(chēng)T為限制李三系.

引理1.1［2］T是k上的李三系，如果存在T的基｛ui｝i∈I，使得對(duì)每個(gè)i∈I與任意a，c∈T，都存在vi∈T，滿足

那么T上存在唯一的限制結(jié)構(gòu)a｜→a［p］，?a∈T，滿足u［p］i＝vi，?i∈I.

2 可限制李三系

定義2.1T是k上的李三系，若任意a，b，x∈T，都存在一個(gè)y∈T，使得

成立，則稱(chēng)T是可限制李三系.

下面是可限制李三系的兩個(gè)例子.

例1每個(gè)域k上的交換李三系是可限制李三系.

例2T是k上李三系，若Ls（t）是可限制李代數(shù)，那么T是可限制李三系.

事實(shí)上，因?yàn)長(zhǎng)s（T）是可限制李代數(shù)，任意x∈T，都存在y∈Ls（T），使得（adx）p＝ady.若y∈L（T，T），上面等式兩邊同時(shí)作用T中元素a，有

這就導(dǎo)致矛盾，因此y∈T，并且有

兩邊再同時(shí)作用T中元素b，則有

即

因此T是可限制李三系.

定理2.1T是可限制李三系當(dāng)且僅當(dāng)T是限制李三系.

證明充分性.若T是可限制李三系，那么根據(jù)定義2.1，對(duì)任意x∈T，都存在y∈T，使得

成立.特別的，對(duì)T中的一組基｛ui｝i∈I，一定存在vi∈T，滿足

因此根據(jù)引理1.1，T是限制李三系.

必要性.若T是限制李三系，根據(jù)定義1.10中的等式（3），對(duì)任意x∈T，都存在x［p］∈T，使得下式成立：

因此根據(jù)定義2.1，T是可限制李三系.

注意在很多時(shí)候用可限制李三系比限制李三系更為方便.

定理2.2設(shè)f是李三系T1到李三系T2的滿同態(tài).若T1是可限制李三系，則T2也是可限制李三系.

證明由于f是T1到T2的滿同態(tài)，對(duì)任意a2，x2，b2∈T2，都存在a1，x1，b1∈T1，使得a2＝f（a1），x2＝f（x1），b2＝f（b1）.因而

又由于T1是可限制李三系，所以對(duì)任意x1∈T1，都存在y1∈T1，使得

成立.因此，我們有

即T2是可限制李三系.

引理2.1T1，T2是李三系，在T＝T1⊕T2這個(gè)向量空間上，我們定義：

那么T＝T1⊕T2是一個(gè)李三系，并且T1，T2是T＝T1⊕T2的理想.

根據(jù)李三系的定義容易驗(yàn)證此結(jié)論.

定義2.2T是k上的李三系，I是T的理想，若任意x∈I，都存在y∈I，使得（a，x，…，x，b）＝［a，y，b］（p個(gè)x），?a，b∈I成立，則稱(chēng)I為可限制理想.

定理2.3T1，T2是k上李三系T的理想，并且滿足T＝T1⊕T2，那么T是可限制的李三系當(dāng)且僅當(dāng)T1，T2是可限制的理想.

證明充分性.因?yàn)門(mén)1，T2是T的理想，那么一定存在兩個(gè)滿同態(tài)

由定理2.2，T／T1，T／T2是可限制李三系，又由于T＝T1⊕T2，可知

因此T1，T2都是可限制的理想.

必要性.由于T1，T2是可限制的理想，所以對(duì)任意x1∈T1，x2∈T2，都存在y1∈T1，y2∈T2，滿足

因此T是可限制的李三系.

定理2.4T1，T2是李三系T的可限制理想，且有

那么T是可限制李三系.

證明類(lèi)似定理2.3，略.

推論2.1若T＝T n⊕Z（T）且I?Z（T）是T的理想，則T是可限制的李三系?T／I是可限制的李三系.

證明充分性.根據(jù)定理2.2，結(jié)論顯然成立.

必要性.若T／I是可限制的李三系，則對(duì)任意x∈T n，?y∈Tn，滿足從而Tn是T的可限制的理想.而Z（T）是交換的，因而Z（T）是T的可限制的理想.又由于［Tn，Z（T），Z（T）］＝0，［Tn，Z（T），T n］＝0，因此根據(jù)定理2.4，T是可限制李三系.

定理2.5T是限制李三系（G，［p］）的有限維子系，若λ：G×G→F是對(duì)稱(chēng)雙線性的結(jié)合型，且λ在T×T上非退化，則T是可限制的李三系.

證明由黎茲表示定理知，對(duì)任意z∈T，都存在y∈T，使得f（z）＝λ（y，z）.對(duì)任意x∈T，z∈T，都存在y∈T，使得λ（x［p］，z）＝λ（y，z），即λ（x［p］－y，z）＝0.又由于λ在T×T上非退化，因而x［p］－y＝0.因此有

即T是可限制李三系.

［1］HODGE T L.Lie triple systems，restricted Lie triple systems and algebraic groups［J］.Journal of Algebra，2001，244：533－588.

［2］HODGE T L.On the representation theory of Lie triple systems［J］.Trans Amer Math Soc，2002，354：4359－4391.

［3］STRADE H，F(xiàn)ARNSTEINER R.Modular Lie algebras and their representations［M］.New York：Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics，1988：80－100.

［4］董艷芹，張永正，孟凡洪.一類(lèi)廣義模李超代數(shù)W－型模李超代數(shù)的導(dǎo)子［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，41（2）：1－6.

［5］夏利猛，沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代數(shù)［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，41（4）：9－12.

［6］馬麗麗，張永正.M－階化廣義李超代數(shù)H（n）的導(dǎo)子超代數(shù)［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，42（4）：6－11.

［7］溫啟軍，錢(qián)玲，陳良云.Jordan李代數(shù)的分解與Frattini理論［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，42（4）：12－16.

Restrictable Lie triple systems

DONG Yan－qin1，2，TONG Shou－yu1，HUA Hong－tu1

（1.Department of Aviation，University of Air Force，Changchun 130022，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In the paper，restrictable Lie triple systems are defined.Second，the equivalence relation between restricted Lie triple systems and restrictable Lie triple systems is elaborated.Finally，it discusses the existence of restricted Lie triple systems by restrictable Lie triple systems.

Lie triple systems；restricted Lie triple systems；restrictable Lie triple systems

O 152.5

110·21

A

1000－1832（2011）03－0001－04

2010－05－04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871057，10701019）.

董艷芹（1976—），女，講師，博士研究生，主要從事李代數(shù)研究.

陶 理）