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        W-空間上的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)

        2011-12-26 08:59:36樸勇杰姜美蘭
        關(guān)鍵詞:定義

        樸勇杰,姜美蘭

        (1.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,吉林 延吉133002;2.延邊大學(xué)附屬中學(xué),吉林 延吉 133002)

        W-空間上的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)

        樸勇杰1,姜美蘭2

        (1.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,吉林 延吉133002;2.延邊大學(xué)附屬中學(xué),吉林 延吉 133002)

        介紹了比度量空間和對(duì)稱空間更弱的W-空間的概念,并在W-空間上引進(jìn)了若干個(gè)具有廣義收縮型條件的映射族,得到了三個(gè)具有反交換性的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理.

        W-空間;反交換映射;交換點(diǎn);廣義收縮型;公共不動(dòng)點(diǎn)

        1 預(yù)備知識(shí)

        近年來(lái)很多研究者對(duì)度量空間、對(duì)稱空間等進(jìn)行了大量的討論,并給出了映射族的公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性問(wèn)題[1-4],特別是文獻(xiàn)[5-7]通過(guò)在度量空間或?qū)ΨQ空間上引入反交換映射的概念,討論了公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性問(wèn)題,而文獻(xiàn)[8]給出了對(duì)稱空間上兩個(gè)自映射存在唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條件.在本文我們首先引進(jìn)了比對(duì)稱空間和度量空間更弱的一類空間,即W-空間,并在該空間上給出了一些公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性定理,這些結(jié)果推廣和改進(jìn)了很多相應(yīng)結(jié)果.然后在W-空間上進(jìn)一步得出滿足某種廣義收縮型條件的映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理.

        定義1設(shè)X是非空集合,如果映射d:X×X→+滿足d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng),則稱(X,d)為W-空間.

        定義2設(shè)f和ɡ是W-空間(X,d)上的兩個(gè)自映射,稱f和ɡ是反交換自映射,如果存在x∈X使得fɡx=ɡfx,則fx=ɡx.

        定義3稱x∈X為W-空間(X,d)上的兩個(gè)自映射f和ɡ的交換點(diǎn),如果滿足fɡx=ɡfx.

        注記1文獻(xiàn)[5-7]在對(duì)稱空間或度量空間上分別引進(jìn)了定義2和定義3.

        2 唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理

        綜上所述,ffu=fu,即fu是f的不動(dòng)點(diǎn).又ɡfu=ffu=fu,于是fu是ɡ的不動(dòng)點(diǎn),從而fu=ɡu是f和ɡ的公共不動(dòng)點(diǎn).

        下面證明唯一性,若f和ɡ存在兩個(gè)不同的公共不動(dòng)點(diǎn)u,v∈X,則d(u,v)>0且d(v,u)>0,于是

        注記4如果d是對(duì)稱映射,則定理3只需要條件(3)或(4).

        注記5從定理1—3的證明可以看出,條件(1)—(4)中的部分項(xiàng)可用其他條件代替,但不影響其結(jié)論.

        [1] HICKS T L,RHOADES B E.Fixed point theory in symmetric spaces with applicatios to probabilistic spaces[J].Nonlinear Analysis,1993,36:331-334.

        [2] PANT R P.Common fixed point theorems for contractive maps[J].J Math Anal Appl,1998,226:251-258.

        [3] ASMRI M,MOUTAWAKIL D E.Common fixed points under contractive conditions in symmetric spaces[J].Applied Mathematics E-notes,2003,3:156-162.

        [4] ASMRI M,MOUTAWAKIL D E.Some new common fixed points under strict contractive conditions[J].J Math Anal Apl,2002,270:181-188.

        [5] 呂中學(xué).度量空間中反交換映射的公共不動(dòng)點(diǎn)[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2002,4(3):226-228.

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        [7] 胡新啟,劉啟寬.度量空間中反交換映射的公共不動(dòng)點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)雜志,2007,27(1):19-22.

        [8] 夏大峰,符美芬,江波.具有對(duì)稱的集合和完備度量空間上兩個(gè)自映射的公共不動(dòng)點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2007,36(4):415-420.

        Unique common fixed points for generalized contractive type maps onW-spaces

        PIAO Yong-jie1,JIANG Mei-lan2

        (1.Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;
        2
        .Subsidiary Senior School,Yanbian University,Yanji 133002,China)

        The concept ofW-spaces,which is weaker than those of metric spaces and symmetric spaces,was introduced,and several maps with generalized contractive type conditions were introduced onW-spaces,and then three existent theorems of unique common fixed point for generalized contractive type maps possessing the converse commuting property were obtained inW-spaces.

        W-space;converse commuting selfmaps;commuting point;generalized contractive type;common fixed point

        O 177.91

        110·1460

        A

        1000-1832(2011)03-0028-04

        2010-03-17

        國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10361005);吉林省教育廳科研項(xiàng)目(吉教科合字[2011]第434號(hào)).

        樸勇杰(1962—),男,博士,教授,主要從事非線性理論和分析學(xué)研究.

        陶 理)

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