蔣衛(wèi)建 胡 昉 方本民

(浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院公共基礎(chǔ)部,浙江寧波 315100)

在大學(xué)物理課程中利用Excel電子表格作數(shù)值計(jì)算

蔣衛(wèi)建 胡 昉 方本民

(浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院公共基礎(chǔ)部,浙江寧波 315100)

在大學(xué)物理課程中,通常均要求作解析計(jì)算,而不涉及數(shù)值計(jì)算.本文以簡(jiǎn)諧振動(dòng)、行星運(yùn)動(dòng)、雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)、限制性三體等問(wèn)題為例介紹了用 Excel電子表格作數(shù)值計(jì)算,求解運(yùn)動(dòng)方程的辦法.數(shù)值計(jì)算的思路簡(jiǎn)單明了,更有助于理解物理知識(shí).隨著計(jì)算機(jī)普及,學(xué)生利用計(jì)算機(jī)的能力提高,在大學(xué)物理課程中介紹利用 Excel作數(shù)值計(jì)算是有益的.

Excel;數(shù)值計(jì)算;大學(xué)物理;運(yùn)動(dòng)方程

1 引言

大學(xué)物理課程中所涉及的計(jì)算,例如應(yīng)用牛頓定律求解運(yùn)動(dòng)方程等,均要求作解析計(jì)算.這樣存在一定的弊病,一方面,大學(xué)生剛開(kāi)始接觸微積分,解析計(jì)算能力較差,求解微分方程有困難,影響對(duì)物理知識(shí)的理解.另一方面,有一些物理內(nèi)容簡(jiǎn)單但解析計(jì)算困難的問(wèn)題,大學(xué)物理課程就不能涉及了.另外,物理學(xué)是實(shí)驗(yàn)科學(xué),計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)最終是要與實(shí)驗(yàn)比較,完全精確解的意義不大.所以,在大學(xué)物理課程中,可以適當(dāng)引入數(shù)值計(jì)算.

在20世紀(jì)60年代,電子計(jì)算器剛開(kāi)始普及,個(gè)人計(jì)算機(jī)剛出現(xiàn),費(fèi)恩曼物理學(xué)講義[1]中,就列出表格,用計(jì)算尺或計(jì)算器作數(shù)值計(jì)算,幫助理解運(yùn)動(dòng)方程的含義,并指出可以用同樣的方法來(lái)計(jì)算太陽(yáng)系中行星的運(yùn)動(dòng).如今,計(jì)算機(jī)已十分普及.大學(xué)生幾乎人人有計(jì)算機(jī),能使用微軟公司的Office軟件.可以利用Office軟件的組件之一,電子表格軟件 Excel,遵循費(fèi)恩曼的方法,在大學(xué)物理課程中引入數(shù)值計(jì)算.

2 牛頓定律求解運(yùn)動(dòng)方程的含義

如果知道t時(shí)刻物體的位置和速度,就可以算出t+Δt時(shí)刻物體的位置.當(dāng)Δt很小時(shí),可以采用以下近似公式

如果還知道 t時(shí)刻物體的質(zhì)量和所受的力,根據(jù)牛頓第二定律,F=ma,就可以求得 t時(shí)刻的加速度,也就可以根據(jù)加速度來(lái)求得 t+Δt時(shí)刻的速度.在Δt很小時(shí),可以采用以下近似公式

這樣,有了t+Δt時(shí)刻的物體的位置和速度,由此重復(fù),可以計(jì)算出 t+2Δt,t+3Δt,…時(shí)刻物體的位置和速度,也即所有時(shí)刻物體的位置和速度.這就是用牛頓定律求解運(yùn)動(dòng)方程的含義.

為了減少計(jì)算的次數(shù),增加準(zhǔn)確度,再仔細(xì)地分析一下以上的計(jì)算過(guò)程.以上近似公式(1)中,采用的是t時(shí)刻的速度來(lái)計(jì)算t+Δt時(shí)刻物體的位置.但是,因?yàn)榧铀俣炔粸榱?所以在 t～t+Δt這段時(shí)間內(nèi)速度是在不停地變化的.應(yīng)該采用其間哪個(gè)時(shí)刻的速度呢?可以采用 t+Δt/2時(shí)刻的速度.這樣有

同樣,計(jì)算速度時(shí)采用 t+Δt/2時(shí)刻的加速度,有

最后,對(duì)于初始時(shí)刻,已知 t=0時(shí)的位置和速度,可以用一個(gè)特殊的公式來(lái)計(jì)算 v(Δt/2),即

3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)

先來(lái)看簡(jiǎn)諧振動(dòng),假設(shè) k/m=1,有

在 Excel表格中依次輸入表1的內(nèi)容,包括公式[2].

Wij表示元素組Ci和Cj之間元素的相對(duì)重要度矩陣。以元素組Cj的元素ejl (l=1,2，…，n)為準(zhǔn)則，構(gòu)造判斷矩陣，將元素組Ci中的各元素與ejl的重要度進(jìn)行比較。通過(guò)一致性檢驗(yàn)，即得到網(wǎng)絡(luò)元素的權(quán)重向量，從而形成矩陣Wij。例如，矩陣Wij中的第一列表示Ci中各元素相對(duì)于Cj中第一個(gè)元素的重要度歸一化后的結(jié)果。如果Ci和Cj之間無(wú)影響，則Wij = 0。

表 1

Excel表格中,每一個(gè)格子稱(chēng)為單元格,用表1中第一列的1,2,3,…表示行數(shù),第一行A,B,C,…表示列數(shù).例如表1中選中的是C2單元格,其內(nèi)容是“0”.單元格中既可以輸入數(shù)字,如單元格B2;也可以輸入字符,如單元格 G1;還可以輸入公式,如單元格 D2、C3等.公式的特點(diǎn)是以“=”號(hào)作為起始符號(hào).就是要利用其可以利用公式作計(jì)算的功能.注意,在 Excel表格中輸入公式后,將直接顯示計(jì)算結(jié)果,如表2所示.若要查看某單元格公式,可以用鼠標(biāo)選中后,在表中頂端 fx后的空格內(nèi)查看.D2單元格的公式表示引用B2單元格的值,即為“1”.若改變B2單元格的內(nèi)容,D2單元格的值也會(huì)隨之變化.

還要用到自動(dòng)填充功能.選中某個(gè)單元格,把鼠標(biāo)移到單元格右下角方框的位置,這時(shí)鼠標(biāo)會(huì)變成一個(gè)黑色的十字,按住鼠標(biāo)左鍵向下拖動(dòng),就可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)填充.表1中,第4、5行的公式,就是根據(jù)第3行的公式自動(dòng)填充的.注意到,F4、F5單元格的公式中,Excel自動(dòng)把F3單元格引用D3改成了引用 D4、D5;而 C3單元格的公式中,“＄B＄1”表示絕對(duì)引用,在自動(dòng)填充到C4、C5單元格時(shí),不會(huì)改變.

用C列表示時(shí)間,D列表示位置,E列表示速度,F列表示加速度.單元格 E2的公式表示式(5);D3的公式表示式(3);E3的公式表示式(4);F2的公式表示式(6);……

取Δt=0.100作計(jì)算,所有的結(jié)果都保留到小數(shù)點(diǎn)后三位.結(jié)果如表2所示.

?

最后一列是完全準(zhǔn)確的解析解.可以做一個(gè)比較,我們發(fā)現(xiàn)僅在小數(shù)點(diǎn)后第三位上偶有一個(gè)單位的差別.

利用 Excel的作圖功能,我們可以作出 x-t圖.用鼠標(biāo)左鍵依次點(diǎn)擊插入、圖表、XY散點(diǎn)圖,選擇第一類(lèi)散點(diǎn)圖,根據(jù)提示,將C列作為橫坐標(biāo),D列作為縱坐標(biāo),所得 x-t圖如圖1所示.

利用 Excel的添加趨勢(shì)線(xiàn)功能,作曲線(xiàn)多項(xiàng)式擬合,并給出擬合公式.可以看出結(jié)果和精確解

可以改變初始位置(單元格B2)和初始速度(單元格B3),改變時(shí)間間隔(單元格B1),其他所有的計(jì)算結(jié)果會(huì)自動(dòng)改變.例如在B2中輸入“0”,B3中輸入“1”,則 x-t圖就會(huì)自動(dòng)變成正弦曲線(xiàn).這相當(dāng)于在做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”.

4 行星的運(yùn)動(dòng)

再來(lái)看恒星系中行星的運(yùn)動(dòng).假設(shè) GM=1,行星的質(zhì)量比恒星小很多,可以認(rèn)為恒星是不動(dòng)的,以恒星為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,有矢量方程

寫(xiě)成分量形式

取行星的初始位置為(0.5,0),初始速度為(0,1.63),取Δt=0.100.

在Excel中的輸入如表3所示.所得結(jié)果如表4所示.同樣可以做出 x-y圖,如圖2.

?

?

大致可以看出,運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓,原點(diǎn)即恒星所在位置是焦點(diǎn).每個(gè)點(diǎn)表示相等時(shí)間間隔行星的位置,所以越稀表示速度越快,越密表示速度越慢.開(kāi)始時(shí)運(yùn)動(dòng)較快,到末尾時(shí)運(yùn)動(dòng)較慢.還可計(jì)算周期、長(zhǎng)軸、偏心率等.

有了 Excel作數(shù)值計(jì)算這一工具,還可以研究更復(fù)雜的情況.

5 雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

考慮一個(gè)雙星系統(tǒng),其中一顆恒星A的質(zhì)量M是另一顆恒星B的兩倍.假設(shè) GM=1;恒星A的初始位置為(-0.167,0),初始速度為(0,-0.543);恒星B的初始位置為(0.334,0),初始速度為(0,1.086).取以上數(shù)值,是為了保證雙星系統(tǒng)的質(zhì)心在原點(diǎn),并保持不動(dòng);恒星B相對(duì)于恒星A的初始位置和初始速度與前面討論的情況相同,以便比較.取Δt=0.010作計(jì)算.經(jīng)過(guò) Excel表格計(jì)算所得結(jié)果如圖3所示,系列1表示恒星A,系列2表示恒星B.可以看出,雙星各自繞它們共同的質(zhì)心作橢圓運(yùn)動(dòng)[3].

圖3

將在質(zhì)心系中B的位置減去A的位置,并作出 y-x圖,如圖4所示.此即跟隨恒星 A,看到的恒星B的運(yùn)動(dòng)的情況.可以看出恒星B繞恒星A作橢圓運(yùn)動(dòng),但是周期、長(zhǎng)軸、偏心率均有變化.

圖4

6 限制性三體問(wèn)題

再來(lái)考慮“限制性三體問(wèn)題”[3].以上的雙星系統(tǒng)中,另有一顆宇宙塵埃,假設(shè)塵埃的質(zhì)量很小,不會(huì)影響雙星的運(yùn)動(dòng),考察宇宙塵埃在這兩個(gè)恒星的引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),此即“限制性三體問(wèn)題”.三體問(wèn)題是沒(méi)有解析解的,限制性三體問(wèn)題中的宇宙塵埃的運(yùn)動(dòng)具有混沌特性.我們可以利用Excel表格計(jì)算每個(gè)時(shí)刻宇宙塵埃的位置,畫(huà)出y-x圖,體會(huì)混沌運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn).

取塵埃不同的初始位置、初始速度,不同的時(shí)間間隔,Excel表格計(jì)算所得結(jié)果如圖5所示.圖中系列3表示宇宙塵埃位置.

圖5

綜合以上幾個(gè)結(jié)果,可以看出,雖然塵埃運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律是確定的,但其運(yùn)動(dòng)卻對(duì)初始值、時(shí)間間隔相當(dāng)?shù)拿舾?微小的擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生極大的變化.此即混沌運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn).

還可以注意到塵埃經(jīng)過(guò)雙星附近時(shí),速度變化明顯,此為“彈弓”效應(yīng)[4].

7 結(jié)論

數(shù)值計(jì)算的思路簡(jiǎn)單明了,可用于求解運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算積分等,有助于理解物理知識(shí),隨著計(jì)算機(jī)普及,學(xué)生利用計(jì)算機(jī)的能力提高,在大學(xué)物理課程中推廣利用 Excel作數(shù)值計(jì)算,學(xué)生能夠也樂(lè)于接受.

[1] [美]費(fèi)恩曼等著.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第一卷)[M].鄭永令等譯.上海:上?？萍汲霭嫔?2005.95～101

[2] [美]John Walkenbach著.Execl公式與函數(shù)應(yīng)用寶典[M].邱燕明等譯.北京:電子工業(yè)出版社,2004.21～38

[3] 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2004.275～278,326～329

[4] 張三慧編著.大學(xué)物理學(xué) 力學(xué)、熱學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.135～137

2010-09-06)