盧家花, 王元恒

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

假定 E是一個(gè)實(shí) Banach空間,E＊是 E的對(duì)偶空間,J:E→2E＊是由下式定義的正規(guī)對(duì)偶映象:

設(shè) C是 E的一個(gè)非空閉凸子集,f:C×C→R,其中 R為實(shí)數(shù)集.均衡問題就是求 p∈C,使得對(duì)?y∈C有下列不等式成立:

把式 (1)的解集記為 EP(f).若映射 T:C→E＊,并設(shè) f(x,y)=〈Tx,y-x〉,?x,y∈Ω,則 x∈EP(f)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?y∈Ω,〈Tx,y-x〉≥0.大量物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)的問題往往可歸結(jié)為求均衡點(diǎn),即求式 (1)的解.

設(shè) E是一個(gè)光滑嚴(yán)格凸自反的 Banach空間,C是 E的一個(gè)非空閉凸子集,可以定義函數(shù) φ為

由文獻(xiàn)[1]知,對(duì)任意的 x∈E作廣義投影ΠC:E→C等價(jià)于求 φ(x,y)的最小值.若 ΠCx=x,則

當(dāng) E為 Hilbert空間時(shí),φ(x,y)=‖x-y‖2.

把映射 T:C→C的不動(dòng)點(diǎn)集記為 F(T).若對(duì)?x∈C和 p∈F(T)有 φ(p,Tx)≤φ(p,x),則稱 T為半點(diǎn),把 T的漸近不動(dòng)點(diǎn)集記為 F^(T);若 F^(T)=F(T),則稱 T為相對(duì)非擴(kuò)張的.易知半相對(duì)非擴(kuò)張是相對(duì)非擴(kuò)張的推廣.

若 E是一致光滑的,則 J在每一有界集上是一致范-范連續(xù)的.

2009年,文獻(xiàn)[3]在一致凸和一致光滑的 Banach空間 E中證明了由

所生成的 2個(gè)迭代序列{xn}和{un}在一定條件下強(qiáng)收斂于 z=ΠF(x0).其中:ΠF:E→F為廣義投影;F:=F(T)∩F(S)∩EP(f).

2009年,文獻(xiàn)[4]又引進(jìn)并證明了由

所產(chǎn)生的迭代序列{xn}在一定條件下強(qiáng)收斂于ΠT-1(0)∩EP(f)(x0).

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在一致凸和一致光滑的 Banach空間 E中,利用文獻(xiàn) [4]的方法,在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,引入新的關(guān)于有限個(gè)半相對(duì)非擴(kuò)張映射的混合迭代序列證明了當(dāng) {δn},{αn},{βn},{γn},{rn}滿足一定條件時(shí),式 (2)中的序列 {xn}強(qiáng)收斂于ΠF(x0).其中:

引理 1[5]在一致凸和光滑的 Banach空間 E中,{xn},{yn}是 E的 2個(gè)序列,如果 φ(xn,yn)→0且序列{xn},{yn}中有一個(gè)有界,那么‖xn-yn‖→0.

引理 2[1]設(shè) E是光滑、嚴(yán)格凸、自反的 Banach空間,C是 E的非空閉凸子集,x∈E,z∈C,則 z=ΠCx當(dāng)且僅當(dāng)〈y-z,Jx-Jz〉≤0,?y∈C.

引理 3[1]設(shè) E是自反、嚴(yán)格凸和光滑的 Banach空間,C是 E的非空閉凸子集,y∈E,則φ (x,ΠCy)+φ (ΠCy,y)≤φ(x,y),? x∈C.

引理 4[6]設(shè) E是一致凸的 Banach空間,Br(0)是 X的閉球,則存在一嚴(yán)格增凸泛函 g:[0,∞)→[0,∞)且 g(0)=0,使得 ‖λx+μy+γz‖2≤λ‖x‖2+μ‖y‖2+γ‖z‖2-λ μg(‖x-y‖).其中:? x,y,z∈Br(0);λ,μ,γ∈[0,1],λ +μ+γ=1.

引理 5[5]設(shè) E是光滑和一致凸的 Banach空間,r>0,則對(duì)?x,y∈Br,都存在一嚴(yán)格增、連續(xù)的凸泛函 g:[0,2r]→R,使得 g(0)=0且 g(‖x-y‖)≤φ(x,y).

為解決 f:C×C→R的平衡問題,先假設(shè) f滿足以下條件 (簡(jiǎn)稱 f的條件):

1)f(x,x)=0,? x∈C;

2)f是單調(diào)的,即 f(x,y)+f(y,x)≤0,?x,y∈C;

引理 6[7]設(shè) C是光滑、嚴(yán)格凸、自反的 Banach空間 E的一個(gè)非空閉凸子集,r>0,x∈E.如果 f:C×C→R是滿足 f的條件 1)—條件 4)的雙函數(shù),那么存在 z∈C,使得

引理 7[8]設(shè) C是一致光滑、嚴(yán)格凸、自反的 Banach空間 E的一個(gè)非空閉凸子集,f:C×C→R滿足 f的條件 1)—條件 4),r>0,x∈E,定義一映射 Tr:E→C為

則有以下結(jié)論成立:

1)Tr是單值的;

2)Tr是固定非擴(kuò)張的等價(jià)于〈Trx-Try,JTrx-JTry〉≤〈Trx-Try,Jx-Jy〉,? x,y∈E;

3)F(Tr)=EP(f);

4)EP(f)是閉凸集.

引理 8[9]設(shè) C是光滑、嚴(yán)格凸、自反的 Banach空間 E的一個(gè)非空閉凸子集,f:C×C→R滿足 f的條件 1)—條件 4),r>0,則對(duì) x∈E及 q∈F(Tr),有

選擇2015年12月—2017年12月接受治療的100例急性膽源性胰腺炎患者為對(duì)象，隨機(jī)分為兩組，每組各50例，對(duì)照組男28例，女22例，年齡20～73歲，平均年齡為（42.21±10.67）歲；觀察組男26例，女24例，年齡21～74歲，平均年齡為（42.32±10.56）歲。兩組患者均進(jìn)行檢查確診為對(duì)急性膽源性胰腺炎，患者在了解實(shí)驗(yàn)基本信息后，簽署研究同意書。對(duì)兩組患者各指標(biāo)進(jìn)行比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05）。

定理 1 設(shè) E是一致凸和一致光滑的 Banach空間,C是 E的非空閉凸子集,雙函數(shù) f:C×C→R滿足 f的條件 1)—條件 4),令{T1,T2,…,TN},{S1,S2,…,SN}是 C上的兩族閉半相對(duì)非擴(kuò)張映射族,假設(shè){βn},{γn}是 [0,1]中的序列 ,滿足下列條件 :

同理可得

令 un=Trnyn,可得

由 Hn的定義知 p∈Hn,即 F?Hn.

下證 p∈F?Wn.用歸納法,當(dāng) n=0時(shí),F?C?W0.假設(shè) F?Wn,下證 F?Wn+1.因?yàn)?xn+1=

由 Wn的定義知,p∈Wn+1,所以 p∈Hn∩Wn,即 F?Hn∩Wn,則 xn是有定義的.

式 (4)+式 (5)可得

所以 φ(xn,x0)是有界的,由上可知 φ(xn,x0)是收斂的.因?yàn)?/p>

所以{xn}是有界的.再由引理 3得

由Wn的構(gòu)造知,對(duì)任意的正整數(shù) m,n,若 m≥n,則均有Wm?Wn且 xm=ΠWm(x0)∈Wn,因此

令上式中的 m,n→∞,有 φ(xm,xn)→0.再由引理 1得‖xm-xn‖→0(m,n→∞),從而{xn}是柯西列.又因 E是 Banach空間且Wn是閉凸的,所以{xn}是收斂的.

再由引理 1得:

由式 (12)和引理 4得

則

對(duì)式 (13)移項(xiàng)并整理得

第 5步,證明 x＊∈EP(f).由引理 8得

由式 (11)及 xn→x＊,可得 un→x＊(n→∞).于是當(dāng) n→∞時(shí),對(duì)式 (14)取極限得 f(y,x＊)≤0,?y∈C.令 yt=ty+(1-t)x＊,? y∈C,0

最后證明 x＊=ΠF(x0).對(duì)式 (7)取極限可得〈x＊-z,Jx0-Jx＊〉≥0,z∈F? Hn∩Wn,由引理 2得x＊=ΠF(x0).定理 1證畢.

注 1 當(dāng) n=2時(shí),定理 1的結(jié)果即為文獻(xiàn)[3]的結(jié)果,但證明方法不同.因此,本文結(jié)果改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3-4,7-9]等相應(yīng)的結(jié)果.

[1]王元恒,曾六川.Banach空間中廣義投影變形迭代法的收斂性[J].數(shù)學(xué)年刊,2009,30A(1):55-62.

[2]宣渭峰,王元恒.雙復(fù)合修正的 Ishikawa迭代逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(4):401-405.

[3]Wattanawitoon K,Kumam P.Strong convergence theorems by a new hybrid projection algorithm for fixed point problems and equilibrium problems of two relatively quasi-nonexpansive mappings[J].NonlinearAnalysis:Hybrid Systems,2009,3(1):11-20.

[4]CengL C,Mastroeni G,Yao J C.Hybrid proximal-pointmethods for common solutions of equilibrium problems and zeros ofmaximalmonotone operators[J].J Optim TheoryAppl,2009,142(3):431-449.

[5]Kamimura S,TakahashiW.Strong convergence of a proximal-type algorithm in a Banach space[J].SI AM J Optim,2002,13(3):938-945.

[6]Cho Y J,Zhou Haiyun,Guo Ginti.Weak and strong convergence theorems for three-step iterations with errors for asymptotically nonexpansive mappings[J].ComputMath Appl,2004,47(4/5):707-717.

[7]Blum E,OettliW.From optimization and variational inequalities to equilibrium problems[J].Math Student,1994,63(4):123-145.

[8]TakahashiW,Zembayashi K.Strong and weak convergence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2009,70(1):45-57.

[9]TakahashiW,Zembayashi K.Strong convergence theorem by a new hybrid method for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings[J].Fixed Point TheoryAppl,2008,2008:528476.