張建鋼

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

Lotka-Volterra系統(tǒng)(LV系統(tǒng))是指下面的常微分方程組:

式(1)中:xi表示第i個(gè)物種的種群密度;aij表示種間作用系數(shù);λi是與環(huán)境相關(guān)的參數(shù)．這類系統(tǒng)廣泛存在于物理、力學(xué)、化學(xué)、工程及社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域．

由于方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)與作用矩陣A=(aij)n×n的代數(shù)性質(zhì)密切相關(guān)，因此，根據(jù)矩陣A的特點(diǎn)，通常將LV系統(tǒng)分為3類:互利合作型(或相互競爭型)、保守型及耗散型．

前兩類系統(tǒng)已被大量研究，耗散型系統(tǒng)尤其是穩(wěn)定耗散系統(tǒng)的研究則相對較少．文獻(xiàn)［1］對3維穩(wěn)定耗散系統(tǒng)的充要條件作了分析;文獻(xiàn)［2］對3維實(shí)耗散矩陣的充要條件作了詳盡的探討．一般性判斷一個(gè)矩陣是否為穩(wěn)定耗散有相當(dāng)?shù)碾y度，通過分類限定條件分析穩(wěn)定耗散矩陣A的條件不失為一種有效的方法．例如，文獻(xiàn)［3］用圖表示LV系統(tǒng)，不同的作用矩陣可以唯一地對應(yīng)一個(gè)圖，對作用矩陣A所表示的圖G(A)進(jìn)行分類是合理的．鑒于此，文獻(xiàn)［4］進(jìn)一步討論了穩(wěn)定耗散矩陣的判定問題，并提出了最大穩(wěn)定耗散圖的概念，對5維系統(tǒng)進(jìn)行了拓?fù)浞诸惣皠?dòng)力學(xué)研究．文獻(xiàn)［5］對4維穩(wěn)定耗散系統(tǒng)的代數(shù)條件進(jìn)行了充分研究;文獻(xiàn)［6］對6維最大穩(wěn)定耗散系統(tǒng)作了拓?fù)浞诸惣皠?dòng)力學(xué)研究．本文對7維穩(wěn)定耗散系統(tǒng)進(jìn)行拓?fù)浞诸悾Y(jié)合耗散圖的特點(diǎn)，按大類分析了系統(tǒng)最大穩(wěn)定耗散的代數(shù)條件，并選擇2類系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性質(zhì)剖析．

1 預(yù)備知識

為便于討論，先介紹一些基本概念．

定義1［3］若存在正定對角陣D＞0，使得AD+DAT是半負(fù)定的，則稱矩陣A是耗散的．

注1 定義1中的AD+DAT可由DA+ATD替代．2種定義是等價(jià)的［7］．

定義2［3］若矩陣A與?A中的元素滿足?ajk=0?ajk=0，則稱?A為A的一個(gè)擾動(dòng)．

若作用矩陣是耗散的(穩(wěn)定耗散的)，則稱對應(yīng)的LV系統(tǒng)(1)是耗散的(穩(wěn)定耗散的)．

文獻(xiàn)［3］按這樣的規(guī)則引進(jìn)作用矩陣A的圖形表示G(A):G(A)共有n個(gè)頂點(diǎn)，若aij≠0或aji≠0(i≠j)，則頂點(diǎn)i和j之間有邊相連;若aii=0，則頂點(diǎn)i用?表示;若aii≠0，則頂點(diǎn)i用·表示．

定義4［4］設(shè)G(A)為作用矩陣A的表示圖，若A是穩(wěn)定耗散的，但A^不是穩(wěn)定耗散的(A^是指G(A)添加任意一條或幾條邊得到的圖所對應(yīng)的任意一個(gè)矩陣)，則稱G(A)為最大穩(wěn)定耗散圖．

對于耗散的矩陣，不難驗(yàn)證aii≤0，(i=1，2，…，n)．關(guān)于穩(wěn)定耗散矩陣，有下面結(jié)論:

命題2［7］若A為穩(wěn)定耗散矩陣，i與j為G(A)相鄰的2個(gè)點(diǎn)，則aiiajj＞aijaji．

命題3［7］若A為穩(wěn)定耗散矩陣，則G(A)中的每個(gè)圈至少有一個(gè)滿足aii＜0，ajj＜0的強(qiáng)連接［i，j］．

命題 4［4］若 ajj＜0(j=1，2，…，n)，則 A∈SD當(dāng)且僅當(dāng)存在 D=diag(d1，d2，…，dn)＞0，使得 DA ＜0．

命題5［4］若所有的aii=0，或某個(gè)akk＜0，且對所有i≠k有aii=0，則A∈SD當(dāng)且僅當(dāng):1)G(A)是無圈的;2)aij≠0?aijaji＜0．

命題6［4］若不止一個(gè) aii＜0，不失一般性，假設(shè) aii＜0(i≤k)及 ajj=0(j＞ k)，M=(aij)(1≤i，j≤示G(A)中刪除同時(shí)滿足i≤k和j≤k的連接［i，j］后所得的圖，則A∈SD當(dāng)且僅是無圈的;2)?diag(d1，d2，…，dn)＞0，使得D0M ＜0，diaij+djaji=0對一切i＞k或j＞k成立．其中，D0=diag(d1，d2，…，dk)．

2 主要結(jié)果

2．1 7維最大穩(wěn)定耗散圖的分類

根據(jù)穩(wěn)定耗散矩陣的上述性質(zhì)及最大穩(wěn)定耗散圖的定義，經(jīng)過篩選可得定理1(鑒于篇幅所限，不再給出相應(yīng)的圖)．

定理1 對所有7×7穩(wěn)定耗散矩陣，正好對應(yīng)229種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最大穩(wěn)定耗散圖．

2．2 穩(wěn)定耗散矩陣的代數(shù)條件

結(jié)合定理1的分類結(jié)果，下面分4大類討論矩陣成為穩(wěn)定耗散的充要條件．

第1大類，不含黑點(diǎn)或只含1個(gè)黑點(diǎn)的圖(共59種)．運(yùn)用命題4，易得定理2．

定理2 在所有7維最大穩(wěn)定耗散圖中，對不含黑點(diǎn)或只含1個(gè)黑點(diǎn)的圖G(A)，對應(yīng)的作用矩陣是穩(wěn)定耗散的充要條件是:?i≠j，aij≠0?aijaji＜0．

第2大類，只含2個(gè)黑點(diǎn)的圖(共79種)．此處僅以圖1為例給出結(jié)論，針對其他情形，除下標(biāo)及形式稍加變化外，結(jié)論都與此相類似．

圖1 7維最大穩(wěn)定耗散圖中僅含2個(gè)黑點(diǎn)的例圖

定理3 對圖1所示的只含2個(gè)黑點(diǎn)的圖G(A)對應(yīng)的作用矩陣A是穩(wěn)定耗散的充要條件是:

3)當(dāng) a12a21=0時(shí)，有

當(dāng)式(2)或式(3)滿足時(shí)，都有

又由于d1a11＜0，于是xDAxT≤0恒成立，也即有x(DA+ATD)xT=2xDAxT≤0恒成立．因此，A為耗散矩陣．對A任意充分小的擾動(dòng)?A同樣滿足定理3中的3個(gè)條件，于是?A也為耗散矩陣，因此A∈SD．

必要性 由圖1可知，a11≠0，a22≠0，a33=a44=… =a77=0;同時(shí)，根據(jù) A是耗散的知，a11≤0，a22≤0，因此 a11＜0，a22＜0．由于 A∈SD，故由命題 2 可得 a13a31＜0，…，a54a45＜0．因此，1)成立．由于 A是耗散的，故可找到 D=diag(d1，d2，…，d7)＞0，使得對?x∈R7，有 xDAxT≤0，即

于是，令 x=(0，0，0，x4，1，0，0)，得(d4a45+d5a54)x4≤0 對一切 x4都成立．此時(shí)，d4a45+d5a54=0．再分別令 x=(0，0，0，0，x5，1，0)，x=(0，0，0，0，0，x6，1)，x=(1，0，0，0，0，0，x7)，x=(1，0，x3，0，0，0，0)，x=(0，1，x3，0，0，0，0)，得 d5a56+d6a65=0，d6a67+d7a76=0，d1a17+d7a71=0，d2a23+d3a32=0，d1a13+d3a31=0．因此，

第3大類，只含3個(gè)黑點(diǎn)的圖(共58種)．此處僅以圖2為例給出結(jié)論，針對其他情形，除下標(biāo)及形式稍加變化外，結(jié)論都與此相類似．

圖2 7維最大穩(wěn)定耗散圖中僅含3個(gè)黑點(diǎn)的例圖

定理4 對圖2所示的只含3個(gè)黑點(diǎn)的圖G(A)，對應(yīng)的作用矩陣A是穩(wěn)定耗散的充要條件是:

必要性 由圖2及命題2，易證1)成立．根據(jù)命題6，?D=diag(d1，d2…，d7)＞0，使得 D0M ＜0，diaij+djaji=0 對一切 i＞3 或 j＞3 成立．其中 D0=diag(d1，d2，d3)．于是

注2 只含4，5，6個(gè)黑點(diǎn)的情形共有32種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這些系統(tǒng)都有與定理4類似的結(jié)論．

第4大類，全為黑點(diǎn)的圖(共1種)．

定理5 在所有7維穩(wěn)定耗散圖中，對全為黑點(diǎn)的圖G(A)，對應(yīng)的作用矩陣A是穩(wěn)定耗散的充要條件是:

1)aii＜0，i=1，2，…，7;

2)?D=diag(d1，d2，…，d7)＞0，使得 D*A*＜0，D*B*＜0，其中 D*，A*，B*分別為將 D，A，B 刪除最后一行與最后一列后所得到的矩陣，B=A-1．

證明 結(jié)合命題4及文獻(xiàn)［7］中的定理2，容易證得本結(jié)論．

2．3 穩(wěn)定耗散矩陣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

下面討論7維穩(wěn)定耗散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．由于種類太多，本文僅討論全白點(diǎn)圖的情況，如圖3所示，將它們所對應(yīng)的LV系統(tǒng)分別標(biāo)記為S(1)，S(2)，…，S(11)．

圖3 7維最大穩(wěn)定耗散圖(全白點(diǎn)情形)

為此，假定系統(tǒng)有正平衡點(diǎn)q=(q1，q2，…，q7)，于是系統(tǒng)(1)可表述為

由于圖3中的各個(gè)圖的頂點(diǎn)均為白點(diǎn)，故aii=0(i=1，2，…，7)．又由于圖3具備樹型結(jié)構(gòu)，故運(yùn)用定理1及文獻(xiàn)［8］的命題2．1可知它們對應(yīng)的系統(tǒng)也是保守系統(tǒng)．因此，存在D=diag(d1，d2，…，d7)＞AD為反對稱矩陣．本文假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)作了上述尺度變換．

針對以上系統(tǒng)，選擇S(11)，S(9)進(jìn)行研究．

定理6 系統(tǒng)S(11)存在1個(gè)過點(diǎn)q的2維不變子流形，它被系統(tǒng)的周期軌充滿;系統(tǒng)S(9)存在2個(gè)過點(diǎn)q的2維不變子流形，每個(gè)子流形被系統(tǒng)的周期軌充滿．

證明 設(shè)作用矩陣A為反對稱矩陣．系統(tǒng)S(11)的方程為

平衡點(diǎn)q處的線性化矩陣為

經(jīng)計(jì)算得特征值為:

因?yàn)閍21i＞0，qi＞0，所以λ6，λ7為一對共軛純虛根．由Lyapunov次中心穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng) S(11)存在過q的2維不變子流形，它被系統(tǒng)的周期軌充滿．

系統(tǒng)S(9)的方程為

平衡點(diǎn)q處的線性化矩陣為

經(jīng)計(jì)算得特征值為:

其中:

因此λ4，λ5為一對共軛純虛根，λ6，λ7為一對共軛純虛根．由Lyapunov次中心穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)S(9)存在2個(gè)過q的2維不變子流形，每個(gè)子流形被系統(tǒng)的周期軌充滿．

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