劉海飛，李心丹

（南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093）

基于EMD方法的股票價格預(yù)測

劉海飛，李心丹

（南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093）

文章將經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ‥MD）引入到中國金融市場數(shù)據(jù)預(yù)測中，利用EMD正交分解的特殊功能，提出了一種較為準(zhǔn)確的金融市場時間序列預(yù)測其走勢的方法。并與傳統(tǒng)實(shí)踐上相對比較成熟的小波分析方法（WA）進(jìn)行對比分析，實(shí)證研究表明：經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǎ‥MD）較小波分析方法擬和精度更高、預(yù)測功能很強(qiáng)。此方法為金融市場數(shù)據(jù)研究提供了一個強(qiáng)有力新的分析工具，在理論和實(shí)踐上有其重要的指導(dǎo)意義。

金融市場；時間序列；EMD分法；小波分析；預(yù)測

0 引言

金融市場的波動性研究一直以來都是國內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。金融時間序列走勢的準(zhǔn)確合理預(yù)測意味著投資者高額的市場回報和政府監(jiān)管部門對市場的有效監(jiān)管，是投資和證券理論界與實(shí)務(wù)界所共識的很有意義研究課題，金融時間序列預(yù)測模型的研究已成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)和當(dāng)今的前沿課題。許多學(xué)者在此領(lǐng)域提出了多種有效分析方法，如短期預(yù)測方法：回歸分析、指數(shù)平滑、自回歸滑動平均模型(ARMA)、廣義條件異方差模型(GARCH)[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰度模型、小波分析、遺傳算法及它們的各種改進(jìn)型等；長期預(yù)測方法：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Holt－Winters 方法[2]、Theta 模型[3]、模糊理論[4][5]、小波包分析[6]等。由于數(shù)據(jù)和方法本身苛刻條件的限制使得模型預(yù)測結(jié)果或多或少都存在令人惋惜的缺憾。如時間序列模型適合于線性時序的預(yù)測，當(dāng)用于預(yù)測非線性時間序列時，準(zhǔn)確性較差；小波分析方法中數(shù)據(jù)基本假定為平穩(wěn)序列，當(dāng)用于非平穩(wěn)時間序列預(yù)測時準(zhǔn)確性不高；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近非線性的能力，然而當(dāng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測股價時間序列時，其結(jié)果不是很理想；中國證券市場的混沌性暗示著金融時間序列的長期不可預(yù)測性和短期預(yù)測的可行性，但混沌模型與其他方法對股市進(jìn)行預(yù)測時，也為未能得到令理論界和實(shí)務(wù)界較滿意的效果。

本文提出一種全新的金融時間序列預(yù)測EMD方法[7]，并與傳統(tǒng)相對比較成熟的小波分析預(yù)測（WA）方法進(jìn)行對比分析表明:EMD方法的擬和與預(yù)測的精度較小波分析方法大幅提高，驗(yàn)證了此方法在金融時間序列預(yù)測應(yīng)用中的強(qiáng)有效性。

1 EMD與WA預(yù)測方法簡介

1.1 EMD（Empirical Mode Decomposition）經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸忸A(yù)測方法

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?它的優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)Ψ蔷€性、非平穩(wěn)過程的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化和平穩(wěn)化處理,分解的最終函數(shù)彼此之間是正交的，從而在分解的過程中盡可能的保留了數(shù)據(jù)本身的特性。其基本思路是用波動上、下包絡(luò)的平均值去確定“瞬時平衡位置”,進(jìn)而提取出內(nèi)在模函數(shù)。內(nèi)在模函數(shù)（Intrinsic Mode Function），記為I(t)）的計(jì)算過程主要有3個步驟:

(1)找出原序列Y(t)的各個局部極大值,為更好保留原序列的特性,局部極大值定義為時間序列中的某個時刻的值,其前一時刻的值不比它大,后一時刻的值也不比它大。然后用三階樣條函數(shù)進(jìn)行插值,得到原序列Y(t)的上包絡(luò)序列值Ymax(t)。同理,可以得到下包絡(luò)序列值Ymin(t)。

(2)對每個時刻的Ymax(t)和Ymin(t)取平均,得到瞬時平均值m(t):

(3)用原序列Y(t)減去瞬時平均值m(t),得到類距平值序列h(t):

對于不同的數(shù)據(jù)序列,h(t)可能是內(nèi)在模函數(shù),也可能不是。若h(t)中極值點(diǎn)的數(shù)目和跨零點(diǎn)的數(shù)目相等或至多只差一個,并且各個瞬時平均值m(t)都等于零,則它就是內(nèi)在模函數(shù)，否則,把h(t)當(dāng)作原序列,重復(fù)以上步驟,直至滿足內(nèi)在模函數(shù)的定義,求出內(nèi)在模函數(shù)為止。求出了第一個內(nèi)在模函數(shù)I1（t）,也即從原序列中分解出第一個分量。然后,用原序列減去I1(t),得到剩余值序列r1(t):

至此,提取第1個內(nèi)在模函數(shù)的過程全部完成。然后,把r1(t)作為一個新的原序列,按照以上步驟,依次提取第2,第3,…,直至第N個內(nèi)在模函數(shù)IN(t)。之后,由于rN(t)變成一個單調(diào)序列,再也沒有內(nèi)在模函數(shù)能被提取出來。如果把分解后的各分量合并起來,就得到原序列Y(t):

1.2 WA（Wavelet Analysis）小波分析預(yù)測方法

（1）小波定義：設(shè) Ψ(t)∈L2(R)，其傅立葉變換為 Ψ(ω)，滿足允許條件時，則稱 Ψ(ω)是一個基本小波，連續(xù)情況下小波，其中 a為伸縮因子，b為平移因子，給定任意函數(shù)f(x)∈L2(R)的連續(xù)小波變換及其重構(gòu)公式為：

（2）小波分解與重構(gòu)的基本原理：小波分解的逼近包含了信號較低頻的成分，細(xì)節(jié)包含了較高頻的成分，利用小波的分解與重構(gòu)可以得到不同頻率成分，根據(jù)需要可以選擇不同尺度對信號進(jìn)行分析，以此將原始信號Y分解成Y=G1+G2+…+GN+DN式中，G1,G2,…,GN分別為第一層、第二層到第N層分解得到的高頻信號 （即細(xì)節(jié)信號）；DN為第N層分解得到的低頻信號（即逼近信號）。通過對G1,G2,…,GN與DN進(jìn)行預(yù)測，然后通過小波重構(gòu)計(jì)算方法就能實(shí)現(xiàn)對原始信號Y的擬和與預(yù)測。

2 實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)采集與方法描述

本文數(shù)據(jù)來自證券之星網(wǎng)站（www.stockstar.com），選取我國上證指數(shù)（000001）從2001年 6月1日至 2005年3月31日之間的每日收盤價，共916個有效樣本數(shù)據(jù)，采用對數(shù)收益率數(shù)據(jù)（對數(shù)收益率，即rt=lnPt-lnPt-1，其中Pt為第t天的日收盤價）作為研究對象，全部數(shù)據(jù)分為兩段，時段2001年6月1日至2005年3月18日的數(shù)據(jù)為模型估計(jì)階段數(shù)據(jù)（共907個數(shù)據(jù)），剩余時段為預(yù)測區(qū)間（共9個數(shù)據(jù)），用以數(shù)據(jù)的預(yù)測檢驗(yàn)。分別利用EMD和WA方法和matlab編程[8][9]對股市時間序列建模與預(yù)測。其中WA方法中使用一維離散平穩(wěn)小波多尺度分析過程。令Y=(Y(1),Y(2),…,Y(K))為原始收益率時間序列，分別經(jīng)WA的4尺度和EMD方法的9層分解后得到：

其中，i=1,2,…,N,t=1,2,…,K,且 K 為最大樣本值, μN(yùn)(t)和rN(t)為誤差項(xiàng)。在t≤T時刻的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分解的基礎(chǔ)上，通過（7）（8）式做出K步預(yù)測。對WA方法而言，由于小波分解可以將原時間序列分解為趨勢項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)和周期項(xiàng)，分別對趨勢項(xiàng)線性擬和，周期項(xiàng)正弦函數(shù)擬和，隨機(jī)項(xiàng)ARMA模型擬和，最后重構(gòu)在一起得到預(yù)測函數(shù)：

對EMD方法而言，通過檢驗(yàn)，每個序列都是平穩(wěn)的序列，通過ARMA模型擬和，最后復(fù)合到一起得到預(yù)測函數(shù)：

最后通過小波重構(gòu)與EMD重構(gòu) （即將不同的IMF函數(shù)復(fù)合）得到預(yù)測圖形。

2.2 實(shí)證與結(jié)果分析

2.2.1 數(shù)據(jù)的性質(zhì)描述

時間序列原始數(shù)據(jù)Y的圖形如下：

在圖1中，描述出了上證指數(shù)收益率序列的走勢圖，具體數(shù)據(jù)性質(zhì)見表1。

表1 原始時間序列Y的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可知：收益率時間序列的偏度為0.864510＞0，峰度為8.807155＞3，其分布顯著偏離正態(tài)分布，且收益率序列ADF（PP）統(tǒng)計(jì)量值-14.36635（-29.67906）小于它們在不同顯著性水平（1%和5%）下的臨界值（-3.4402和-2.8651），統(tǒng)計(jì)值落在臨界值以外，表明收益率序列為平穩(wěn)序列。收益率序列平穩(wěn)性恰恰符合小波分析預(yù)測方法的數(shù)據(jù)基本假定，在此假定基礎(chǔ)上對此收益率數(shù)據(jù)分別進(jìn)行兩種不同方法的分解，得出兩種不同方法的擬和精度。小波重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差err=0.01339和EMD重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差err=6.9969e-006，可以看出EMD的誤差顯著小于小波分析方法的誤差，取得了令人滿意的效果。

2.2.2 不同尺度小波分解與重構(gòu)圖

在圖2中，表示出原始離散數(shù)據(jù)Y序列、一維離散平穩(wěn)小波重構(gòu)序列和最終兩者擬和預(yù)測的誤差序列，誤差序列反映了擬和值與實(shí)際值的偏離，定義偏離的標(biāo)準(zhǔn)誤差（MSE）N為：，其中 Y(t)為實(shí)際值，為擬和值，由計(jì)算可得其擬和的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：0.01339，可見小波擬和精度是很高的，它完全能適應(yīng)實(shí)踐的各種需要，被公認(rèn)為是一種很有效的分析工具。

在圖3中，分別描繪出了原始數(shù)據(jù)在不同尺度下頻率數(shù)據(jù)圖，從中可以清晰的看出通過一維離散平穩(wěn)小波分析得出9層且尺度為4的不同的高頻與低頻數(shù)據(jù)，以此可以對不同頻率的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以適應(yīng)不同的需要。

2.2.3 EMD分解與重構(gòu)圖

在圖4、5中，同樣給出了原始數(shù)據(jù)Y的EMD重構(gòu)序列和最終兩者擬和的誤差序列，以及9個不同彼此正交的內(nèi)在模函數(shù)（IMF）。從直觀上看，小波重構(gòu)的誤差序列數(shù)據(jù)離散度要大于EMD方法的誤差序列數(shù)據(jù)離散度，再由計(jì)算可得其擬和的標(biāo)準(zhǔn)誤差（MSE）為6.9969e-006，可知通過EMD分解后再擬和誤差顯著減小，擬和精度大幅度提高，驗(yàn)證EMD方法的強(qiáng)效性。

在圖6中，由EMD和WA兩種不同方法估計(jì)出各自的預(yù)測函數(shù)進(jìn)行樣本外預(yù)測圖，預(yù)測的觀測值共9個。定義預(yù)測誤差（MSE）為：，其中 Y(t)為實(shí)際值，為預(yù)測值，由圖可知兩種方法預(yù)測圖形都與原始數(shù)據(jù)圖形近乎一致，兩種方法對平穩(wěn)數(shù)據(jù)短期預(yù)測誤差都非常高，經(jīng)計(jì)算分別為7.1043e-006和0.01333，可見EMD方法不失為一種數(shù)據(jù)預(yù)測有效的好方法。

3 結(jié)論與展望

本文提出了一種新的預(yù)測方法，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒治龇椒ǎ‥MD），對平穩(wěn)的收益率序列作了建模與預(yù)測分析，并就金融市場數(shù)據(jù)分別用EMD和WA方法進(jìn)行了實(shí)證研究，比較分析結(jié)果表明：EMD方法較傳統(tǒng)上比較成熟的WA方法更具有效性，擬和與預(yù)測精度顯著提高。而EMD對非線性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的處理更具有其自身的優(yōu)越性，即分解出的不同的IMF是正交的，這樣能盡可能多的保留了原始數(shù)據(jù)的基本特性。此方法為處理非線性、非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)提供了一種強(qiáng)有力的分析工具。

鑒于EMD方法本身的特點(diǎn)，它不僅可以運(yùn)用到金融市場數(shù)據(jù)的短期預(yù)測，同樣也可以用于長期預(yù)測。EMD方法可以同其他多種方法綜合使用，相信誤差會進(jìn)一步降低，精度會進(jìn)一步提高。EMD方法有廣泛的實(shí)踐應(yīng)用價值，有助于推動我國金融領(lǐng)域的預(yù)測與決策問題的深入研究，同時也能極大的促進(jìn)預(yù)測理論的進(jìn)一步發(fā)展。

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F830.91

A

1002－6487（2011）10－0059-03

國家自然基金重點(diǎn)項(xiàng)目（70932003）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70671053，70701016，10726072，70901037）；國家社會科學(xué)基金項(xiàng)目（07CJL014）；教育部科技創(chuàng)新工程重大項(xiàng)目培育資金項(xiàng)目（708044）；南京大學(xué)人文社會科學(xué)項(xiàng)目資助

劉海飛（1980-），男，安徽阜陽人，博士，副教授，研究方向：金融工程、計(jì)算金融、行為金融。

（責(zé)任編輯/亦 民）