魏 波，呂 喆

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150080）

RC并聯(lián)電路的交流阻抗譜

魏 波，呂 喆

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150080）

交流阻抗譜技術(shù)在實(shí)際研究中具有廣泛應(yīng)用，利用交流阻抗譜分析了單時(shí)間常數(shù)和雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路的頻率特性，給出了單時(shí)間常數(shù)和雙時(shí)間常數(shù)的復(fù)平面阻抗譜特點(diǎn)。

RC并聯(lián)電路；阻抗譜；時(shí)間常數(shù)

由一個(gè)電阻和電容并聯(lián)組成的RC電路（見圖1）在模擬電路和數(shù)字電路等方面有廣泛的應(yīng)用。電阻和電容參數(shù)選取的差異以及它們在電路中的連接方式不同，可以使它們組成不同形式的RC電路并表現(xiàn)出不同的功能。電阻、電容及其串并聯(lián)電路對頻率具有不同的響應(yīng)特征，用以構(gòu)建濾波電路和移相電路等［1－2］。交流阻抗譜技術(shù)是一種以小振幅的正弦波電位為擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)電測量方法，是通過對很寬的頻率范圍內(nèi)測量阻抗的變化來研究待測系統(tǒng)，具有測試速度快、對研究體系干擾小等特點(diǎn)，因而得到廣泛應(yīng)用［3－4］。例如離子導(dǎo)電陶瓷的晶粒－晶界導(dǎo)電區(qū)分［5－6］，電極電化學(xué)過程的分析［3］等。本文利用交流阻抗譜技術(shù)，測量了單時(shí)間常數(shù)和雙時(shí)間常數(shù)RC電路的阻抗和頻率響應(yīng)特性，分析了時(shí)間常數(shù)對復(fù)雜RC串并聯(lián)電路阻抗譜圖的影響規(guī)律。

1 實(shí)驗(yàn)原理

在交流條件下，電阻和電容的復(fù)阻抗分別為

式中：j為虛數(shù)單位。RC并聯(lián)電路總復(fù)阻抗的倒數(shù)等于兩個(gè)并聯(lián)元件復(fù)阻抗的倒數(shù)之和，即：

則阻抗的實(shí)部和虛部分別為

由（5）（6）兩式可以得到相位角的正切為：

把式（7）帶入式（5）或（6），同時(shí)消去角頻率ω后可以得到

這是一個(gè)在復(fù)平面上的圓心位于（R／2，0），半徑為R／2的圓方程。模是實(shí)部與虛部的平方和的正平方根

另外，角頻率ω與頻率f之間關(guān)系滿足

2 實(shí)驗(yàn)裝置和方法

對于單時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路，具體方法為把電阻（標(biāo)稱值10 kΩ，記為R1）和陶瓷電容（標(biāo)稱值103p F，記為C1）并聯(lián)后進(jìn)行阻抗譜測試。而對于雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路，則把R1、C1和R2、C2分別進(jìn)行并聯(lián)后再進(jìn)行串聯(lián)，然后測試。其中R1、C1值不變（10 kΩ，103p F），而R2C2并聯(lián)電路分兩種情況，一種為R2固定不變（取20 kΩ），而C2分別取1μF、0.1μF、4700 p F和103p F。另一種為C2固定不變（取1μF），R2分別取10 kΩ、20 kΩ、25.5 kΩ和51 kΩ。使用法國Biologic VSP雙通道電化學(xué)工作站在室溫下測試其阻抗譜。交流擾動(dòng)幅度為10 m V，頻率范圍為1～0.1 Hz。

3 單時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路的阻抗譜分析

如圖2所示，給出了R1＝10 kΩ，C1＝103p F的RC并聯(lián)電路的復(fù)平面阻抗譜圖（Nyquist圖）。考慮到Z′＞0，Z″＜0，其軌跡為位于第四象限的半圓，圓半徑為5 kΩ?？梢钥闯觯诟哳l率時(shí)f→∞，半圓與實(shí)軸相交于原點(diǎn)（0，0）。在低頻率時(shí)f→0，半圓與實(shí)軸相交于點(diǎn)（R1，0），即阻抗譜中低頻部分與實(shí)軸的截距為RC電路中的電阻值。在半圓的最高點(diǎn)處有Z′＝Z″，tanθ＝-ωRC＝-1，θ＝ -45°。此時(shí)并聯(lián)電路的模為

圖1 單時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路的復(fù)平面阻抗譜圖

圖2 RC并聯(lián)電路模隨頻率的變化關(guān)系（a）和相角隨頻率變化關(guān)系（b）

由于頻率范圍變化大，故而在測量時(shí)使頻率按照對數(shù)規(guī)律變化，因而在繪制反映電路的阻抗和相位隨頻率變化關(guān)系的波特圖（Bode圖）時(shí)橫坐標(biāo)也用對數(shù)標(biāo)度。相應(yīng)結(jié)果在圖3中給出。對公式（10）取常用對數(shù)得，

4 雙單時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路的串聯(lián)阻抗譜分析

雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路如圖3所示，它由兩個(gè)不同時(shí)間常數(shù)（τ1＝R1C1和τ2＝R2C2）的RC并聯(lián)電路串聯(lián)構(gòu)成。圖4給出了不同C2時(shí)（R1、C1和R2不變）的阻抗譜圖，具體電阻和電容參數(shù)在圖中列出?？梢钥闯鲈贑2＝1μF時(shí)，阻抗譜表現(xiàn)為兩個(gè)相切的半圓。高頻和低頻對應(yīng)半圓的半徑分別為5 kΩ和10 kΩ。兩個(gè)半圓的時(shí)間常數(shù)分別為τ1＝10-5s和τ2＝2×10-2s，兩者相差3個(gè)數(shù)量級。隨著C2的減小，低頻半圓的時(shí)間常數(shù)τ2也隨之減小，高頻半圓和低頻半圓的之間的界限也逐漸模糊。當(dāng)C2＝103p F時(shí)已無法區(qū)分高低頻半圓?？梢姡瑢τ陔p時(shí)間常數(shù)電路，時(shí)間常數(shù)需相差兩個(gè)數(shù)量級以上才能明顯區(qū)分兩個(gè)半圓。相應(yīng)的模和相角隨頻率的變化關(guān)系在圖6中給出。

圖3 雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路示意圖

圖4 改變C2時(shí)雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路阻抗譜圖

圖5 改變C2時(shí)雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路模隨頻率的變化關(guān)系（a）和相角隨頻率變化關(guān)系（b）

在高頻區(qū)域，在lg| Z|隨頻率的關(guān)系是斜率約為-1的直線。而在低頻區(qū)則都趨向于R1＋R2。對于C2＝1μF時(shí)兩個(gè)特征頻率對應(yīng)的拐點(diǎn)可以分辨出。當(dāng)C2減小之后則變得不清晰。在相角圖中可以看出，四種情況中相角都是從高頻的-90°趨于低頻的0°，高低頻區(qū)域重合較好。但在中頻區(qū)，可以明顯看到C2＝1μF時(shí)出現(xiàn)峰值為f＝14.6 Hz的負(fù)峰。隨著電容的減小而向高頻區(qū)移動(dòng)并變得不清晰。圖7給出了只改變R2值時(shí)的交流阻抗譜。兩個(gè)RC電路的時(shí)間常數(shù)相差約三個(gè)數(shù)量級。在R2＝10 kΩ，C2＝1μF時(shí)，阻抗譜為兩個(gè)半徑均為5 kΩ的半圓。隨著R2值的增加，第二個(gè)半圓的半徑也隨之增大。以上給出了雙時(shí)間常數(shù)RC電路的阻抗特點(diǎn)，通過對它們的理解有助于對實(shí)際研究得到阻抗譜的分析。

圖6 改變R2時(shí)雙時(shí)間常數(shù)RC并聯(lián)電路的阻抗譜圖

5 結(jié) 語

本文分析了RC并聯(lián)電路的交流頻響性質(zhì)，給出了單時(shí)間常數(shù)和雙時(shí)間常數(shù)的復(fù)平面阻抗譜特點(diǎn)。實(shí)際上，交流阻抗技術(shù)在材料研究、地球科學(xué)［7］、表面處理［3］和生命科學(xué)［3］等領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用，而利用等效電路對阻抗譜分析恰是目前常用的手段。通過掌握RC并聯(lián)電路的阻抗譜性質(zhì)及特點(diǎn)，有助于理解和分析實(shí)際研究中測得的交流阻抗譜數(shù)據(jù)。

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AC Impedance Spectra of RC Parallel Circuits

WEI Bo，LV Zhe

（Harbin Institute of Technology，Heilongjiang Harbin 150080）

AC impedance spectra are widely used in practical research.In this paper，the frequency response properties of RC parallel circuits with single or double time constants were analysized by AC impedance spectra.

RC parallel circuit；impedance spectra；time constant

TM131.4

A

1007-2934（2011）05-0058-03

2011-06-22