冉詩勇

（溫州大學(xué)，浙江溫州 325035）

利用Matlab模擬布朗運(yùn)動測量實(shí)驗(yàn)

冉詩勇

（溫州大學(xué)，浙江溫州 325035）

利用matlab工具模擬了布朗運(yùn)動測量的實(shí)驗(yàn)。通過一正態(tài)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)模擬從而產(chǎn)生布朗運(yùn)動步距。在假定粒子所受拖曳力滿足斯托克斯關(guān)系的情況下，通過擬合多個(gè)粒子的均方位移隨時(shí)間的變化曲線得到斜率，從而進(jìn)一步可得出擴(kuò)散系數(shù)和波爾茲曼常數(shù)。同時(shí)，根據(jù)模擬結(jié)果也對如何減小實(shí)驗(yàn)誤差作了分析。

布朗運(yùn)動；計(jì)算機(jī)模擬；擴(kuò)散系數(shù)

布朗運(yùn)動本質(zhì)可認(rèn)為是一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，懸浮在氣體或液體中的微粒周圍各方向的氣體或液體分子撞擊微粒，產(chǎn)生一種凈漲落力，從而使微粒無規(guī)運(yùn)動［1－2］。

布朗運(yùn)動可以利用光學(xué)顯微鏡進(jìn)行測量，結(jié)合計(jì)算機(jī)和視頻采集、圖像處理分析技術(shù)，可以定量分析在溶液中粒子的布朗運(yùn)動［3］。一般做法是在顯微鏡下跟蹤記錄微米量級粒子的運(yùn)動，然后分析采集到的運(yùn)動圖像序列得到粒子的二維運(yùn)動軌跡，然后求粒子的均方位移，然后對多個(gè)粒子的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，得到均方位移-時(shí)間曲線，通過擬合曲線的斜率，得出一系列實(shí)驗(yàn)參數(shù)如擴(kuò)散系數(shù)，波爾茲曼常數(shù)，系統(tǒng)溫度等實(shí)驗(yàn)參數(shù)［4］。

本文在從這些實(shí)驗(yàn)的典型實(shí)驗(yàn)參數(shù)出發(fā)，從計(jì)算機(jī)模擬這一角度對布朗運(yùn)動進(jìn)行研究，模擬了多個(gè)粒子的布朗運(yùn)動軌跡，對多個(gè)粒子的均方位移數(shù)據(jù)平均以減小誤差，然后通過擬合均方位移-時(shí)間曲線得出斜率，進(jìn)而得到粒子擴(kuò)散系數(shù)和玻爾茲曼常數(shù)，并與理論值相比較。

1 實(shí)驗(yàn)原理

對于一維情況，粒子布朗運(yùn)動均方位移

在模擬或?qū)嶒?yàn)中，可以對＜r2＞二維－t圖進(jìn)行線性擬合，得到斜率k，從而D＝k／4。布朗運(yùn)動粒子在t到t＋Δt的時(shí)間內(nèi)x或y方向的移動步距δ分布滿足高斯分布：

由于粒子在各個(gè)維度運(yùn)動等價(jià)，可以將式（1）推廣到二維或三維情形，因此有

其中：d等于1，2或者3，分別對應(yīng)于一維，二維或三維情況。

對于顯微鏡下的粒子跟蹤法測量實(shí)驗(yàn)，通常只對焦平面上的二維運(yùn)動軌跡作測量，因此有

2 計(jì)算機(jī)模擬

模擬分以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

（2）接下來將這一組隨機(jī)分布量依次疊加，得到粒子在每一時(shí)刻的坐標(biāo)（x，y）即每個(gè)時(shí)刻相對于初始位置的位移，這一過程可通過matlab中的cumsum函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

（3）計(jì)算不同時(shí)刻位移的平方：r2＝x2＋y2。

（4）上述步驟只對一個(gè)粒子進(jìn)行了模擬，這樣擬合得到的數(shù)據(jù)誤差是很大的，為減小誤差，需要對多個(gè)粒子進(jìn)行模擬然后對數(shù)據(jù)作平均，這一步驟可通過一個(gè)for循環(huán)語句實(shí)現(xiàn)。這樣

其中＜r2＞為第i個(gè)粒子的均方位移，n為模擬的粒子個(gè)數(shù)。然后畫＜r2＞ -t圖，用最小二乘法線性擬合＜r2＞-t圖的斜率k，這樣D＝k／4。

3 參數(shù)選取

圖1 模擬得到的3個(gè)典型的粒子布朗運(yùn)動軌跡

圖2 對10，100，1000，10000個(gè)粒子的軌跡跟蹤測量數(shù)據(jù)平均得到的＜r2＞- t模擬數(shù)據(jù)值，線性擬合以及理論預(yù)測曲線比較

4 模擬結(jié)果與分析

圖1顯示了3個(gè)粒子的布朗運(yùn)動軌跡，很好地體現(xiàn)了布朗運(yùn)動的無規(guī)行走特性＜r2＞-t。圖即通過對多個(gè)這樣的布朗運(yùn)動軌跡計(jì)算位移均方差然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均得到。圖2依次顯示了通過對10，100，1 000和10 000個(gè)粒子的軌跡跟蹤測量數(shù)據(jù)平均得到的＜r2＞-t模擬數(shù)據(jù)值，線性擬合以及理論預(yù)測曲線。可以看出，如果僅僅對10個(gè)粒子的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，模擬數(shù)據(jù)與理論預(yù)測的線性趨勢相差甚遠(yuǎn)，隨著模擬粒子個(gè)數(shù)的增加，數(shù)據(jù)越來越接近線性趨勢，擬合誤差也相應(yīng)減小。當(dāng)模擬的粒子個(gè)數(shù)高達(dá)10 000個(gè)以上時(shí)，模擬數(shù)據(jù)已幾乎與理論預(yù)測完全一致了。圖3顯示了多次測量下四種不同個(gè)數(shù)粒子情況下所得到的擴(kuò)散系數(shù)值。根據(jù)模擬預(yù)先設(shè)定的參數(shù)，可以計(jì)算出擴(kuò)散系數(shù)理論預(yù)測值D＝0.978μm2／s。在僅僅只對10個(gè)粒子平均的情況下，D值測量標(biāo)準(zhǔn)差為0.31μm2／s，會經(jīng)常出現(xiàn)有偏離理論預(yù)測值甚遠(yuǎn)的情況。而隨著模擬粒子個(gè)數(shù)的增加，其測量值的標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減?。▓D3），所得出的擴(kuò)散系數(shù)精確度有明顯提高。在1 000個(gè)粒子的情況下，每次測量的擴(kuò)散系數(shù)誤差已基本可控制在3%。圖3嵌圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)差隨著模擬粒子個(gè)數(shù)的開方倒數(shù)成線性關(guān)系。

圖3 多次測量下四種不同個(gè)數(shù)粒子情況下所得到的擴(kuò)散系數(shù)值（嵌圖：D值測量標(biāo)準(zhǔn)差隨著模擬粒子個(gè)數(shù)的開方倒數(shù)成線性關(guān)系）

本模擬結(jié)果也可為顯微鏡下通過粒子跟蹤方法測量粒子運(yùn)動軌跡所需要平均的粒子個(gè)數(shù)提供參考，為減小擴(kuò)散系數(shù)的測量誤差，可以增加跟蹤粒子的個(gè)數(shù)，一般在100～1 000左右的粒子個(gè)數(shù)可以達(dá)到相對比較高的精確度。在實(shí)驗(yàn)上，跟蹤100個(gè)左右的粒子是可行的。由100個(gè)粒子的模擬數(shù)據(jù)即圖2b可觀察到隨著模擬時(shí)間的增加，模擬數(shù)據(jù)偏離理論預(yù)測的趨勢越來越明顯，而在最初的較短的10 s模擬時(shí)間內(nèi)，偏離趨勢尚不明顯，因此實(shí)驗(yàn)上為進(jìn)一步減小誤差，可相應(yīng)減少測量時(shí)間。而在實(shí)驗(yàn)上跟蹤分析1 000左右的粒子運(yùn)動軌跡則需要較多的工作量，盡管這樣可以減小誤差。而計(jì)算機(jī)模擬可只用一個(gè)循環(huán)過程便可得到多個(gè)粒子的軌跡，因此計(jì)算機(jī)模擬相較實(shí)驗(yàn)具有處理時(shí)間短的優(yōu)越性，可在最短的時(shí)間內(nèi)展示布朗運(yùn)動實(shí)驗(yàn)的物理內(nèi)涵。

圖4 在x，y方向上耦合有0.1σ，0.2σ定向運(yùn)動的＜r2＞-t圖與純布朗運(yùn)動的情況相比較

5 總 結(jié)

本文從顯微鏡測量布朗運(yùn)動實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)模擬角度出發(fā)，模擬了自由粒子的布朗運(yùn)動，模擬得到的擴(kuò)散系數(shù)和玻爾茲曼常數(shù)與理論預(yù)測符合良好，模擬得到的擴(kuò)散系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與所模擬的粒子個(gè)數(shù)的平方成反比。綜上，計(jì)算機(jī)模擬方法可與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，通過測量擴(kuò)散系數(shù)或者進(jìn)一步測量玻爾茲曼常數(shù)，為理解布朗運(yùn)動的物理本質(zhì)提供一種簡潔輔助的手段。

［1］ Einstein，A.Investigations on the theory of the Brownian movement［M］.NY：Dover.1956.

［2］ Stachel J.愛因斯坦奇跡年［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

［3］ 冉詩勇.利用光學(xué)顯微鏡測量布朗運(yùn)動［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2009，72（4）：56-59.

［4］ Nakroshis P，Amoroso M，Legere J.Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion.American Journal of Physics［J］.2003，71（6）：568-573.

［5］ Uhlenbeck G E，Ornstein L S.On the theory of the Brownian motion［J］.Phys.Rev.1930（36）：823–841.

［6］ Feyman R P，Leighton R B，Sands M.費(fèi)曼物理學(xué)講義：1卷［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2006.

［7］ 王誠泰.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1991.

Simulation of Brownian Motion Experiment Using Matlab

RAN Shi-yong

（Wenzhou University，Zhejiang Wenzhou 325035）

Brownian motion experiment was simulated using Matlab.The step lengths for a Brownian particle movements were generated by a random function，which generated arrays of random numbers whose elements are normally distributed.From the mean squared displacement of the simulated particles versus time curves，the diffusion constant and Boltzmann constant were obtained，assuming that the drag force on an individual particle was well defined by the stokes’law.The simulation measurements agreed well with theoretical prediction.According to the results，we also analyzed how to decrease experimental error.

Brownian motion；computer simulation；diffusion coefficient

O552.1

A

1007-2934（2011）06-0067-04

2011-06-25