杜 勇，吳曉鈴

（鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

0 引言

隨著現(xiàn)代軋鋼技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)軋鋼設(shè)備工作的穩(wěn)定性以及軋鋼產(chǎn)品的質(zhì)量提出了更高的要求，而軋機(jī)主傳動(dòng)工作的穩(wěn)定性與軋制生產(chǎn)的安全性及軋件的質(zhì)量有著直接的關(guān)系。 軋機(jī)的主傳動(dòng)系統(tǒng)可看成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，它由主電機(jī)、軋輥、聯(lián)軸器、減速器、齒輪座和連接軸等部件構(gòu)成，電機(jī)、軋輥、聯(lián)軸器、減速器和齒輪座為慣性元件，連接軸等可視為彈性原件[1]。 在軋制生產(chǎn)過程中，拋鋼、咬鋼等軋制行為會(huì)造成主傳動(dòng)系統(tǒng)的載荷突變，常常會(huì)使其出現(xiàn)扭振現(xiàn)象，系統(tǒng)的扭振會(huì)造成軋輥工作不穩(wěn)定，影響產(chǎn)品的質(zhì)量，當(dāng)振動(dòng)過于強(qiáng)烈時(shí)，甚至還會(huì)導(dǎo)致軋制設(shè)備損壞，影響生產(chǎn)安全。 以往在研究系統(tǒng)的振動(dòng)時(shí)，往往將其當(dāng)作線性模型來處理，而實(shí)際生產(chǎn)過程中往往存在大量的非線性因素，所以這樣的近似處理是不準(zhǔn)確的[2-3]。 為此，筆者在考慮系統(tǒng)非線性因素的情況下，建立了軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的2 自由度非線性扭振模型， 利用近似解析法中的多尺度法，求出了系統(tǒng)共振時(shí)的一階近似解，并通過Matlab 軟件仿真得到了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線， 分析了非線性阻力和非線性剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 軋機(jī)非線性扭振模型

1.1 模型圖示

為便于分析計(jì)算，可將軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)簡化為2 自由度非線性扭振模型，其模型如圖1 所示。

圖1 軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)2 自由度非線性扭振模型Fig.1 Two-freedom nonlinear torsional vibration model of mill main drive system

圖1中，M1，M2為作用在左右軋輥上的等效軋制力矩，J1，J2為軋輥的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ1，θ2為軋輥軋制時(shí)軋輥的扭轉(zhuǎn)角位移，k1，k3為軋輥與主電機(jī)間的等效扭轉(zhuǎn)剛度，c1，c3為軋輥與主電機(jī)間的等效阻尼，c2'為兩軋輥間的等效阻尼。

1.2 相關(guān)計(jì)算

考慮系統(tǒng)的非線性因素，利用Duffing 振子定義系統(tǒng)的非線性剛度、Vanderpol 振子，來定義系統(tǒng)的非線性阻尼[4]，因此有， k'1=k1+Δkθ21，k'2=k2+Δk(θ1-θ2)2，k'3=k3+Δkθ22，c'1=c1+Δcθ21，c'2=c2+Δc (θ1-θ2)2，c'1=c1+Δcθ21，由機(jī)械振動(dòng)學(xué)理論，筆者可得該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

為方便求解，可將主傳動(dòng)系統(tǒng)看成近似的左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此有：J1=J2，c'1=c'3,k'1=k'3,M1=M2。 可只考慮系統(tǒng)左輥的振動(dòng)行為，振動(dòng)方程可簡化為：

令θ10=x，α1+α3＝α，ξ1+ξ2＝ω2，v1=v，τ＝t，則式（3）可轉(zhuǎn)化為：

由機(jī)械振動(dòng)理論可知，系統(tǒng)的固有頻率ω 接近外界激勵(lì)角頻率ν 時(shí)，產(chǎn)生的共振現(xiàn)象稱為主共振；系統(tǒng)的固有頻率ω 接近外界激勵(lì)角頻率υ 的整數(shù)倍或者分?jǐn)?shù)倍時(shí)產(chǎn)生的共振現(xiàn)象，稱為次共振[5]。 據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)的主共振和次共振現(xiàn)象進(jìn)行分析。

2 系統(tǒng)共振區(qū)求解

2.1 主共振求解

采用多重尺度法進(jìn)行求解，設(shè)ε 為小參數(shù)，δ 為頻率調(diào)制參數(shù)。 主共振為當(dāng)參激頻率ν 接近固有頻率ω 的振動(dòng)，所以令：

引入不同尺度的時(shí)間變量：

又有非線性振動(dòng)中不同尺度時(shí)間變量的函數(shù):

將式（7）對(duì)時(shí)間的微分按ε 的冪次展開，如下：

只討論方程的一次近似解，可令:

將式（9）代入方程（4），并將其展開，可得：

設(shè)式（11）的解為：

將式（12）代入式（11）的右邊：

式（13）中cc 代表前面項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)，為避免出現(xiàn)久期項(xiàng)，要求函數(shù)A 滿足：

由式（15）可得主共振一階近似解：

令α=0，θ=0，可得主共振的幅頻關(guān)系式為：

2.2 次共振求解

2.2.1 超諧波共振

將方程（4）的右邊冠以小參數(shù)ε，將式（8）代入方程，可得：

此時(shí)令方程（18）的解為:

將式（21）代入式（20）右邊含e3iwT0的項(xiàng)，并令右邊含e3iwT0項(xiàng)的系數(shù)為零，來消除久期項(xiàng)有：

令a=0，φ=0, 得到超諧波共振的幅頻特性曲線方程為：

由式（24）可得超諧波共振的一階近似解：

同樣，可導(dǎo)出a、φ 的常值解as，φs應(yīng)滿足：

2.2.2 亞諧波共振

當(dāng)v≈3ω 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生亞諧波共振，此時(shí)設(shè)v 與3ω 的差值為ε 的同階小量，即：

將式（28）代入式（20）右邊含ei(v-2ω)T0的項(xiàng)，并令eiωT0的系數(shù)為零，消除久期項(xiàng)，可得到：

令φ＝σΤ1-3θ，式（30）可化為：

則亞諧波共振的一階近似解為：

導(dǎo)出亞諧波下的幅頻響應(yīng)特性曲線：

3 數(shù)值仿真

根據(jù)4 200 中厚板軋機(jī)的實(shí)際物理參數(shù)值，經(jīng)過計(jì)算，取下列參數(shù)的近似值，分別為：α1=0.0053，α2=0.012，α3=0.046，β=0.2，γ=0.005，μ=0.008。

根據(jù)這些參數(shù)值和主共振下的頻率方程式（17），利用Matlab 進(jìn)行編程仿真，其系統(tǒng)幅頻特性曲線如圖2 所示。

圖2 非線性剛度β 變化時(shí)的主共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Main resonance amplitude-frequency response curve of nonlinear stiffness β changes

圖2為主共振在非線性剛度β 變化時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，隨著非線性剛度β 增大，頻率響應(yīng)曲線向右偏移，且β 越大，偏移越明顯。當(dāng)β 取0.2 和0.5 時(shí)，均出現(xiàn)跳躍區(qū)域（β=0.2 時(shí)的跳躍區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)2、4、6、8 圍成的區(qū)域， 而點(diǎn)3、5、7、10構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?0.5 的跳躍區(qū)）。 從圖中還可以看出，擾動(dòng)角頻率逐步增大時(shí)，幅值大小會(huì)發(fā)生變化：當(dāng)β=0.2 時(shí)，其幅值按照1-2-6-8-10 的路線變化；當(dāng)?shù)近c(diǎn)6 時(shí)，發(fā)生突躍，直接到點(diǎn)8；β=0.5 時(shí)，幅值變化路線則為1-3-7-9-10,7、9 兩點(diǎn)間有跳躍。 當(dāng)擾動(dòng)頻率發(fā)生從大到小的變化時(shí)，β=0.2 的幅值變化路線為10-8-4-2-1，點(diǎn)4 向點(diǎn)2 跳躍，β=0.5 的幅值則按10-9-5-3-1 的路線變化，點(diǎn)5 跳躍到點(diǎn)3。當(dāng)β=0 時(shí)，即系統(tǒng)無非線性剛度，圖2 中幅頻曲線無偏移、無跳躍。 這說明系統(tǒng)的振蕩僅僅與非線性剛度相關(guān)，與線性剛度、非線性阻尼、線性阻尼等均無關(guān)。 幅頻曲線偏移量越大，則幅值跳躍差值越大，系統(tǒng)振蕩越厲害。 由此可知，非線性剛度會(huì)引起系統(tǒng)振蕩，并且隨著非線性剛度的增大，其振蕩更為明顯，而振蕩會(huì)影響軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖3 非線性阻尼γ 變化時(shí)的主共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Main resonance amplitude-frequency response curve of nonlinear damping γ changes

圖4 非線性剛度β 變化時(shí)的超諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Ultraharmonic amplitude-frequency response curve of nonlinear stiffness β changes

圖3 是非線性阻尼γ 變化時(shí)的主共振幅頻響應(yīng)曲線。 從上述圖2 分析可知，幅頻曲線的跳躍僅與非線性剛度相關(guān)，所以從圖中不難知道，隨著非線性阻尼γ 的增大，振幅減小。

由于式（32）超諧波頻率響應(yīng)方程中未含非線性阻尼項(xiàng)，這里只需考察非線性剛度的影響。由圖4可知，當(dāng)非線性剛度β=0 時(shí)，曲線無偏移，這說明在超諧波情況下，系統(tǒng)的振動(dòng)仍然只同非線性剛度有關(guān)，隨著β 的增大，幅頻曲線有偏移，且存在跳躍，即系統(tǒng)存在振動(dòng)。3 條曲線振幅的最大值近似相等，這表明，非線性剛度對(duì)振幅幅值沒有多大的影響。

圖5 為亞諧波共振下非線性剛度β 變化時(shí)的頻率響應(yīng)曲線。 亞諧波的情況與超諧波一樣， 方程（32）不含非線性阻尼項(xiàng)，故只需考慮非線性剛度。從圖中可以看出， 非線性剛度β 使頻率響應(yīng)曲線向右偏，因此存在振動(dòng)，而且隨著β 的增大，振幅幅值減小，偏移量增大。

圖5 非線性剛度β 變化時(shí)的亞諧波幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 Subharmonic amplitude-frequency response curve of nonlinear stiffness β changes

4 結(jié)論

綜上所述，本文建立了2 自由度軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振模型，參考系統(tǒng)振動(dòng)過程中的非線性因素，發(fā)現(xiàn)共振幅頻響應(yīng)曲線的偏移只與非線性剛度有關(guān)，非線性阻尼影響振幅的幅值。 非線性剛度值越大，偏移越厲害，系統(tǒng)振蕩越強(qiáng)烈，系統(tǒng)也越發(fā)不穩(wěn)定，對(duì)軋機(jī)主動(dòng)系統(tǒng)的危害越大。

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