黃 露，唐駕時

（湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

五維混沌Chen系統(tǒng)的電路實現(xiàn)及其控制方法分析

黃 露，唐駕時

（湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

在研究Chen系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過增加兩個狀態(tài)環(huán)節(jié)，新構(gòu)建了一個五維混沌系統(tǒng).提出了基于Mathmatic環(huán)境下的模型仿真以及EWB電路仿真軟件下的電路設(shè)計過程.并對該五維系統(tǒng)采取了自適應(yīng)反饋控制，有效地控制了系統(tǒng)的混沌.從理論分析、數(shù)學(xué)計算以及模擬電路實現(xiàn)等方面，分析該系統(tǒng)的基本動力學(xué)行為，并證實它具有一定的實用價值.

混沌系統(tǒng)；Chen系統(tǒng)；自適應(yīng)反饋控制；EWB；Lyapunov理論

近年來，混沌問題的研究是非線性科學(xué)領(lǐng)域的熱點問題之一[1].混沌理論在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，比如圖像加密，保密通訊，信息工程等等，其具有巨大的潛在應(yīng)用價值[2-3].高維混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì)，目前，已經(jīng)研究和發(fā)現(xiàn)很多的高維混沌系統(tǒng)[4-7].如四維的超混沌Lorenz系統(tǒng)[8]，四維超混沌Chua系統(tǒng)[9]，四維超混沌Chen系統(tǒng)[10]等等.因為在非線性電路中，高維混沌系統(tǒng)的應(yīng)用具有更高的能力與效率，所以對高維混沌系統(tǒng)的研究的確具有實際價值.

美國加利福尼亞大學(xué)伯克利分校的蔡少堂教授提出了一個三階自治混沌電路，即蔡氏電路[11]，由于該電路結(jié)構(gòu)簡單，動力學(xué)特性明顯，且數(shù)學(xué)上的研究已經(jīng)得到充分證明，并且具有很好的非線性特性，因而得到了廣泛的關(guān)注.越來越多的混沌系統(tǒng)都通過電路得到了實現(xiàn).混沌現(xiàn)象存在于各式各樣的電路系統(tǒng)中，混沌的電路實現(xiàn)是實現(xiàn)混沌的基本方法之一.其對于研究非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性，證明混沌吸引子的存在與否，驗證混沌控制與同步方法等等方面起到很重要的作用.Chen利用混沌反控制的方法發(fā)現(xiàn)了Chen系統(tǒng)，此系統(tǒng)是一個三維的混沌系統(tǒng).本文通過在Chen系統(tǒng)中增加兩個新的狀態(tài)變量，構(gòu)建了一個五維的混沌系統(tǒng)，并且通過電路的仿真得到實現(xiàn).同時在系統(tǒng)中增加兩個控制器k1和k2，采用自適應(yīng)反饋控制方法對該系統(tǒng)的混沌進行控制，使系統(tǒng)的混沌過程達到所期望的效果.

1 系統(tǒng)構(gòu)建及特性分析

Chen系統(tǒng)描述見式（1）

其中a、b、c均為實參數(shù)，a=35，b=3，c=30時，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).采用狀態(tài)反饋的方法，在此系統(tǒng)中增加兩個反饋控制器w和v，這樣就能得到一個五維的混沌Chen系統(tǒng).系統(tǒng)描述見式（2）：

其中，x、y、z為系統(tǒng)的變量，w和v為反饋控制器的狀態(tài)變量，常數(shù)a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)，d和e為控制的增益.當(dāng)a=35，b=12，c=3，d=0.1，e=4時，該系統(tǒng)有一個典型的混沌吸引子.此系統(tǒng)是一個典型的五維混沌系統(tǒng)，其非線性項均為二次項.該混沌系統(tǒng)的構(gòu)建是合理的，并且其具有復(fù)雜的動力學(xué)特性.由系統(tǒng)（2）得到式（3）：

計算得到：-a+b-c+d-e=-35+12-3-0.1-4=-30.1＜0，系統(tǒng)（2）為耗散系統(tǒng).這就意味著，當(dāng)t→0時，系統(tǒng)的軌線最終漸近到一個特定的零體積元，即一個吸引子上.為求解系統(tǒng)（2）的平衡點，令方程的各項都等于0，求解得到其中的一個平衡點S0=（0，0，0，0，0）.在平衡點S0處線性化系統(tǒng)（2）得到Jacobian矩陣為：

由det（J0-λI）=0，得到其特征根方程.解特征根方程，得到對應(yīng)平衡點S0處的特征值為 35，12，3，0.1，4.第二個特征值為正數(shù)，其余為負(fù)數(shù)，因此，平衡點S0為一個不穩(wěn)定的鞍點.

混沌吸引子相鄰軌線之間呈現(xiàn)彼此排斥的趨勢，并以指數(shù)速率相分離，而Lyapunov指數(shù)可以用來定量描述軌線間彼此排斥和吸引的量[11].通過計算得到系統(tǒng)（2）的 Lyapunov指數(shù)[12]：LE1=0.30283，LE2=-0.06843，LE3=-0.068970，LE4=-4.035782，LE5=-25.954088.可以看出，其中有一個正的Lyapunov指數(shù)，因而可以知道，該五維系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

2 數(shù)值仿真

利用Mathmatic分析軟件，得到系統(tǒng)（2）在x-w，z-w等平面的相圖見圖1.

圖1 x-w,z-w各平面的相圖Fig.1The plane phase diagram of x-w,z-w

3 電路仿真設(shè)計

為了驗證這個五維混沌系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，本文采用模擬電子電路的方法對該系統(tǒng)進行振蕩器電路的設(shè)計.電路設(shè)計采用的是EWB仿真軟件，該電路由線性電阻R，線性電容C，乘法運算器AD633，運算放大器NE5534組成.NE5534是一種高速低噪聲單運算放大器，其壓擺率可以達到13 V/μs，有著較大的電壓范圍，供電電壓可以從V到20 V.此外，NE5534的管腳與LM741兼容，是代替LM741的理想選擇.

從前面的分析我們可以知道，由于該混沌系統(tǒng)方程必須在x，y，z，v，w分別取初值1，1，1，0，0的時候，系統(tǒng)才能進入混沌狀態(tài).因此，在設(shè)計電路時，必須給電容C1，C2，C3賦初值，該電路才能進行振蕩.具體作法如下：我們通過一個雙路的單刀雙擲開關(guān)和一個外接1.5 V的電源對電容充電，然后再把電容接入電路中.通過這一過程，該混沌電路就能進行振蕩.具體電路圖見圖2.

根據(jù)混沌系統(tǒng)電路原理圖，可以得到以下方程式（5）:

圖2 混沌系統(tǒng)電路原理圖Fig.2 The circuit principle diagram of Chaos system

電路的具體參數(shù)取值如下：C1=C2=C3=C4=C5=0.01 μF，R1=R6=R27=10 kΩ，R2=350 Ω，R7=350 Ω，R3=R8=R9=R11=R16=R17=R19=100 kΩ，R24=R25=120 kΩ，R10=300 Ω，R15=10 Ω，R18=400 Ω，R23=350 kΩ，R26=350 kΩ，R26=300 kΩ，R28=400 kΩ，R4=R5=R12=R13=R20=R21=R22=R29=R30=1 kΩ.

電路仿真實驗結(jié)果見圖3，與圖1的仿真結(jié)果相比較，可以看出結(jié)果基本一致.所以仿真結(jié)果是有效的.

圖3 電路仿真實驗中各平面相圖Fig.3The plane phase diagram of circuit simulation experiment

由于EWB軟件采用的是實際電路元件模型，所以其仿真實驗和實際電路的實驗應(yīng)該是基本符合的.通過上面的理論分析以及仿真實驗結(jié)果，可以證實本文構(gòu)建的非線性系統(tǒng)（2）確實是一個五維的混沌系統(tǒng)，它顯示了混沌系統(tǒng)所具有的各種特性.由于該系統(tǒng)可以用振蕩電路來實現(xiàn)，因此，實際應(yīng)用中，通過構(gòu)建PCB板，可以將該系統(tǒng)運用到工程應(yīng)用中.

高維的混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的混沌特性，相對于三維的混沌chen系統(tǒng)，五維混沌chen系統(tǒng)在保密通信、信息加密等方面的作用更大.而且電路構(gòu)建簡單，實現(xiàn)并不復(fù)雜，因此該系統(tǒng)的構(gòu)建是合理與現(xiàn)實的，具有一定的實用價值.

4 自適應(yīng)反饋控制

混沌系統(tǒng)的控制，按其控制方式有反饋混沌控制與非反饋混沌控制兩種類型.其目的是通過恰當(dāng)?shù)姆椒ê屯緩?，有效的抑制系統(tǒng)的混沌行為，使得李雅普諾夫指數(shù)下降到期望的水平，通過對系統(tǒng)的控制獲得工程實際中需要的新的動力學(xué)行為.一般情況下，通過在系統(tǒng)中增加控制器來實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制.所以，選擇恰當(dāng)?shù)目刂破?，就能對混沌系統(tǒng)進行有效的控制.而控制器的選取，要求必須在原有的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)的影響盡可能小.

混沌的控制方法有很多，現(xiàn)在采用比較多的有：OGY控制法；自適應(yīng)控制法；連續(xù)控制法等等.目前對chen系統(tǒng)的控制研究是一個熱點問題，人們已經(jīng)采用了很多方法對chen系統(tǒng)進行了有效的研究，這些方法有自適應(yīng)反饋控制、微分反饋控制、線性反饋控制等等.

本文將采用自適應(yīng)反饋控制法，對構(gòu)建的五維混沌系統(tǒng)進行控制.自適應(yīng)反饋控制方法是通過控制目標(biāo)響應(yīng)與實際響應(yīng)之間的差值來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，從而使系統(tǒng)的實際響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)能達到近似同步的控制方法.在控制系統(tǒng)的運動過程中，系統(tǒng)不斷的識別被控制的狀態(tài)和參數(shù)，并將系統(tǒng)當(dāng)前運行的得到的指標(biāo)與實際期望的指標(biāo)加以比較.進而得到系統(tǒng)的誤差值，反饋給輸入環(huán)節(jié)，調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)，使得系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定到實際期望的指標(biāo)或者根據(jù)自適應(yīng)的規(guī)律來改變控制作用，以保證系統(tǒng)運行在所期望指標(biāo)下的最優(yōu)或近似于最優(yōu)狀態(tài).具體原理如下：首先，假設(shè)所研究的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生混沌特性的動力學(xué)模型能夠被構(gòu)造出來，例如系統(tǒng)可以用邏輯映像來描述.其次，利用數(shù)學(xué)上的定量最小二乘法，設(shè)計一個參數(shù)估計器，使得估計器的參數(shù)改變與系統(tǒng)的混沌行為無關(guān).但是可以通過改變估計器的參數(shù)來實現(xiàn)對所假設(shè)的動力學(xué)模型的參數(shù)進行回歸估算.然后，利用所估算的參數(shù)模型算出系統(tǒng)的適當(dāng)?shù)妮斎肓浚鸫握{(diào)整，使系統(tǒng)的混沌過程達到所期望的周期信號.只有當(dāng)它達到所期望的參考信號時，控制器才起作用，從而實現(xiàn)了對所需周期信號的有效控制.該自適應(yīng)控制方法具有很多優(yōu)點，它并不局限于離散系統(tǒng)，對連續(xù)系統(tǒng)同樣適用.自適應(yīng)反饋控制方法也適合控制多參數(shù)的非線性系統(tǒng)，精度高，可以保持較小的轉(zhuǎn)變時間.

本文將通過對新構(gòu)建的五維chen混沌系統(tǒng)中增加兩個控制器，來實現(xiàn)對混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)反饋控制.在系統(tǒng)（2）中增加兩個控制器k1和k2，得到受控系統(tǒng)見式（5）：

根據(jù)Routh-Hurwitz定理，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征根均具有負(fù)實部.通過計算求得特征根λ1=-a=-35，λ2=b+k1，λ3=-c=-3，λ4=-d=-0.1，λ5=-e+k2.其中λ1、λ3、λ4都小于零，因此只要滿足b+k1＜0，即可以使得系統(tǒng)在S0（0，0，0，0，0）趨于穩(wěn)定.所以當(dāng)k1＜-b，k2＜4時，該五維chen系統(tǒng)線性化后的到的特征方程的根均具有負(fù)實部.數(shù)值仿真中，未加控制器時得到系統(tǒng)的在x-t和y-t處的時域圖見圖4.

圖4 x-t、y-t時序圖Fig.4 Timing diagram of x-t、y-t

加入控制器k1和k2后，當(dāng)k1取值-13，k2取值 3時，數(shù)值仿真得到的時域圖見圖5.

相比之下，可以看出控制效果十分明顯，說明該控制器的選取是合理的.自適應(yīng)反饋控制中，可以看出控制器的參數(shù)k1和k2的選取與參數(shù)a、c、d無關(guān)，只要求k1＜-b，k2＜e便可以控制到平衡點S0，數(shù)值試驗結(jié)果驗證了理論的正確性.

這里介紹的自適應(yīng)反饋控制混沌的方法有效的控制chen混沌系統(tǒng)，對該五維chen系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和仿真表明，多變量的反饋能更加有效的控制混沌到平衡點，與單變量的自反饋控制相比較增加控制器的維數(shù)可以改善和提高控制的效能.

5 結(jié)論

本文對新構(gòu)建的五維混沌Chen系統(tǒng)的混沌特性和復(fù)雜的動力學(xué)行為進行理論分析，包括Lyapu?nov指數(shù)、平衡點、相圖、時序圖等等.運用EWB軟件設(shè)計了一個非線性電路，進行了電路模擬仿真，證實了此系統(tǒng)的混沌行為.

1）使用Mathmatic，對新構(gòu)建的系統(tǒng)進行分析計算，理論上證明了該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).

2）在理論可以證明的基礎(chǔ)上，利用模擬電路的振蕩器原理，采用放大器、電阻和電容來實現(xiàn)信號的起振，設(shè)計了一個振蕩電路，來實現(xiàn)電路的混沌現(xiàn)象.

3）利用自適應(yīng)反饋控制方法，在系統(tǒng)中增加兩個反饋控制器k1和k2，使得系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象得到有效控制.并得出結(jié)論，多變量對改善系統(tǒng)的混沌和提高控制效能更加有效.

本文在原有的Chen系統(tǒng)基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一個五維系統(tǒng)，并實現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌吸引子.由于此系統(tǒng)能用實際電路來實現(xiàn)，故具有一定的實用價值.

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Analysis of Circuit Realization and Controlling Method of the Fifth Dimension Chen System

HUANG Lu，TANG Jiashi
（
College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan Uuniversity，Changsha410082，China）

Based on the study of Chen systems,a new fifth dimensional chaotic system was built by adding two control links.It introduced model simulation under Mathmatic condition and the circuit designing process under EWB condition.It used the feedback system to control the fifth dimension system and effectively controlled the system of chaos.The ba?sic dynamic behaviors of the system were studied with theoretical analysis,mathematical calculation and simulation cir?cuit implementation.Some certain practical value has been confirmed.

chaotic system；Chen system；adaptive feed-back control；EWB；Lyapunov theory

O 322

A

1674-4942（2011）03-0283-05

2011-04-20

國家自然科學(xué)基金資助項目（11172093）

黃 瀾